圆知识点总结及对应练习

1、考点一、圆的相关概念1、圆的定义弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD） 半圆弧、优弧、劣弧2、圆的几何表示：以点0为圆心的圆记作“O 0”读作“圆0” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义DGA（1）（2）（3）（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号表示，以 A，B为端点的弧记作“希”读作“圆弧 AB ” 或“弧 AB ”（多用两大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧 个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于

2、弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：I 知二推三直径过圆心 垂直于弦 平分弦平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧圆的对称性考点四、1、圆的轴对称性2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对

3、的弦的弦心 距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1:也相等。推论2:推论3:形。考点七、同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角点和圆的位置关系设O 0的半径是r,点P到圆心0的距离为d,则有:dvru点P在O 0内；d=ru 点 P在O0 上;d&g

4、t;ru点P在O 0外。考点八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。考点九、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：如果O0的半径为r，圆心0到直线I的距离为d,那么:直线I与O0相交二d<r；直线I与O0相切二d=r；直线I与O0相离二d>r； 考点十、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在O 0中，四边ABCD是内接四边形 N C+ NBAD

5、=180。NB+ ND =180。NDAE =NC考点十一、切线的性质与判定定理过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN丄0A且MN过半径0A外端 MN是O 0的切线1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件：2、性质定理:推论1:推论2:切线垂直于过切点的半径（如上图）过圆心垂直于切线的直线必过切点。 过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。BDOBPC考点十二、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹

6、角。即： PA、PB是的两条切线 PA = PB ; PO 平分 NBPA考点十三、圆幕定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在O O中，弦AB、CD相交于点P，- PA ”PB= PC PD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项。即:在O O中，直径AB丄CD ,2 CE2 =AE BE2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。PA2 = PC ”PBE即:在O O中， PA是切线，PB是割线3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段

7、长的积相等(如右图)。即:在O O中， PB、PE是割线 PC "PB = PD PE考点十四、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。即：TO O1、O O2相交于A、B两点如图：O1O2垂直平分AB。 QO2垂直平分AB考点十五、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长：RtAOQzC 中, AB2 =COi2 =JoO22-CO22 ；(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 考点十六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是

8、三角形的三条内角平分线的交点，考点十七、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系2、圆心距3、圆和圆位置关系的性质与判定d>R+r d=R+rR-rvdvR+r ( R > r) d=R-r (R>r) d<R-r (R>r)设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离二 两圆外切U 两圆相交0 两圆内切0 两圆内含U4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的 连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十八、圆内正多边形的计算1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多

9、边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧， 是这个正多边形的外接圆。3、正三角形在O 0中 ABC是正就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就O D.角形，有关计算在B D O M 3; : 2R t B O 中进行：4、正四边形同理,5、正六边形同理四边形的有关计算在RtOAE中进行,0E: AE:0A=1:1: 72 :,六边形的有关计算在RdOAB中进行，IAB:0B:0A=1:丽：2.考点二十、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性、中心对称性注：边数为偶数的正多边形是中心对称图形, 考点二十一、弧长和扇形面积1、弧长公式n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为1802、扇形

10、面积公式3、圆锥的侧面积n 215扇=兀R2 = IR36021S = | 2叮=Jirl2其中I是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。考点二十二、内切圆及有关计算。(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。ABC中,/ C=90°，AC=b BC=a AB=c 则内切圆的半径 r= a + b-c(3)SAB(= 2r(a +b+c)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。精选考题考点一：与圆相关概念的应用1.运用圆与角(圆心角，圆周角)，弦，弦心距，弧之间的关系进行解题例 如图，A、B C是O 0上的三点，/ A0C=100，则/ ABC的度数为(A.

11、30°B. 45°C. 50°).D. 602.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例31已知O 0的半径为3cm, A为线段0M的中点，当0A满足：(1 )当0A=1cm时，点 M与O 0的位置关系是 .(2) 当0A=1.5cm时，点M与O 0的位置关系是 .(3) 当0A=3cm时，点M与O 0的位置关系是 41 O 0的半径为4,圆心 0到直线I的距离为3,则直线I与O 0的位置关系是 ).A.相交51 两圆的半径分别为A【例(【例B .相切C .相离D .无法确定3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是72cm 求正六边形的半

12、径，边心距和面积3. 正多边形和圆的有关计算 【例6】已知正六边形的周长为4. 运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2 DC=4,以AB为直径的半圆 0与DC相切于点 E,则阴影部分的面积为（结果保留.5. 运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比 是考点二：圆中计算与证明的常见类型1. 利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心2. 利用“直径所对的圆周角是直角”解题【例2】 如图，在O 0的内接 ABC中，CD是AB边上的高，求证：/ ACD=/ OCB.3. 利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若/ C= 45°, AB= Q , 则点B到AE的距离为 .4. 判断圆的切线的方法及应用判断