利用导数研究不等式问题

1、全国名校高中数学复习优质课时训练专题汇编(附详解)专題育目数及具冈用第21练利用导数研究不等式问题训练目标(1)利用导数处理与不等式有关的题型；(2)解题步骤的规范 训练.训练题型(1)利用导数证明不等式；(2)利用导数解决不等式恒成立问题及存在性问题；(3)利用导数证明与数列有关的不等式.解题策略(1)构造与所证不等式相关的函数；(2)利用导数求出函数的 单调性或者最值再证明不等式；(3 )处理恒成立问题注意参 变量分离.1.已知函数 f(x) = x2 ax aln x(a R).(1)若函数f(x)在x= 1处取得极值，求a的值;x3 5X211在(1)的条件下，求证：f(x)A3 +

2、"24x+6.2.(优质试题 烟台模拟)已知函数f(x) = x2 ax, g(x)= In x, h(x) = f(x)+ g(x).(1)若函数y= h(x)的单调减区间是d，1 ，求实数a的值;若f(x) ；g(x)对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.3.(优质试题 山西四校联考)已知f(x) = In x x+ a+ 1.(1)若存在x (0,+ X)使得f(x) A成立，求a的取值范围;1 1求证：在(1)的条件下，当x>1时，2X2+ ax a>xln x+2成立.14.已知函数 f(x)= (2 a)ln x + -+ 2ax.x(1)当a<

3、;0时，讨论f(x)的单调性;(2)若对任意的 a ( 3, 2),xi ,2 1,3，恒有(m+ In 3)a2ln 3>|f(xi)-f(x2)咸立，求实数m的取值范围.5.(优质试题 福州质检)设函数f(x)= ex ax 1.(1)当a>0时，设函数f(x)的最小值为g(a),求证：g(a) 求证：对任意的正整数n,都有1n +1+ 2n+1 + 3n+1+ nn+1<(n+ 1)n全国名校高中数学复习优质课时训练专题汇编(附详解)xx答案精析1. (1)解f'x(= 2x-a-a，由题意可得f'(特0,解得a= 1.经检验,xa= 1时f(x)在x=

4、 1处取得极值，所以a= 1.(2)证明由(1)知，f(x) = x2 x- In x,f x3 5x2令 g(x)=f(x) ( rn + 4x + 6 丿in3-3r +3x- ln x- £,由 g'x)= x2-3x+ 3-1 x- 1x - 3(x- 1) = (XxgO)，可知 g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+上是增函数，所以 g(x)司(1) = 0,所以 f(x)亠x3+ T-4x11+百成立.2.解(1)由题意可知, h(x)= x-ax+ In x(x>0),全国名校高中数学复习优质课时训练专题汇编(附详解)f1】由 h'x(v0，

5、解得 x Q, 1 丿,<1、即h(x)的单调减区间是(2, 1J,二 a= 3.由题意知X2 ax目n x(x>0),In xa$ -(x>0).人In x令 Mx) = X=(x>0),X2+ In x 1则M刈= XT y= X2+ In X 1 在(0,+X上是增函数，且 x= 1 时，y= 0.当 x (0,1)时，bx)v0;当 x (1，+ X时，6刈>0,即Mx)在(0,1)上是减函数，在(1,+x上是增函数， 二(Kx)min =(K1) = 1,故 a勻.即实数a的取值范围为(X, 1.3. (1)解原题即为存在x>0,使得 In x x

6、+ a+ 1 为,-a In x+ x 1,令 g(x) = In x+ x 1,.1X 1则 g x(= x+ 1 = -y令 g'x(= 0,解得 x= 1.当 0VXV1 时，g'x)vO，g(x)为减函数, 当x>1时，g'x)>0, g(x)为增函数,g(x)min = g(1) = 0 , a g(1) = O.故a的取值范围是0,+)11(2)证明原不等式可化为 2 + ax- xIn x-a-2>0(x>1, a0).1 1令 G(x) = 2X2+ ax-xIn x-a-2，贝J G(1) = 0.由(1)可知 x-In x-

7、1>0,则 G'x) = x+ a-In x-1 汝一In x- 1>0, G(x)在(1,+上单调递增, G(x)>G(1) = 0 成立,1 、+ ax - xin x- a2>0 成立,即 x2 + ax- a>x In x+ 2 成立.4.解(1)求导可得 Fx)=宁一1 + 2a=(2x-1 1令 f'x(=0,得 X1=-, X2=a，当a=- 2时，f'x)切，函数f(x)在定义域(0,+乂内单调递减;1 1当一2<a<0 时，在区间(0, 2), (-a，+x上 f'x)v0, f(x)单调递减,在区间(

8、2，- 1)上f'x(>0，f(x)单调递增;当a< 2时，在区间(0,1,(2 上f'x)v0, f(x)单调递减，在区间(一a 1上Fx)>0, f(x)单调递增.由(1)知当a ( 3, 2)时，函数f(x)在区间1,3上单调递减,所以当 x 1,3时，f(x)max = f(1)= 1 + 2a,f(x)min = f(3) = (2 a)ln 3 + 3 +6a.问题等价于：对任意的a ( 3, 2),恒有(m+ In 3)a 2ln 3>1 + 2a(2 a)ln 3 36a 成立，即am>3-4a,2因为a<0，所以mv3a 4

9、,因为 a ( 3, 2),所以只需m珂舊一4)min ,所以实数m的取值范围为(一乂：5.证明 (1)由a>0及f'x)= ex a可得，函数f(x)在(汽In a)上单调递减, 在(In a,+x上单调递增,故函数 f(x)的最小值为 g(a) = f(ln a)= eln a aln a 1 = a aln a 1,则 g'a)= ln a,故当 a (0,1)时，g'a)>0;当 a (1，+ 乂时，g'a)v0,从而可知g(a)在(0,1)上单调递增, 在(1,+乂上单调递减，且g(1)= 0,故g(a)切.由(1)可知，当a= 1时，总有f(x)= g X 1为,当且仅当x= 0时等号成立，即当x>0时，总有e=- nh，可得(注卜“1对以上各式求和可得:>x + 1.于是，可得(X+ 1)n+ 1<(ex)n+1 = e(n+ 1)x.x=n+r，可得 in+1 丿2令x+仁即X 专可得ri+1e 1<e- (n T ；x=n2,可得ri+11<e (n-2)；n+1丿'n + 1 +f、n+ 1厂<。"+e S Je 5 刀+ + e 1n”n、一 n 彳 彳一n.e (1 e) e 11 e 1,= = < <1 1e 1e