利用数轴解决集合运算问题

1、全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的 观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集 合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将 以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。、基础知识:1、集合运算在数轴中的体现: aPIB:在数轴上表示为A,B表示区域的公共部分 aUb：在数轴上表示为A,B表示区域的总和CuA:在数轴上表示为U中除去A剩下的部分(要注意边界值能否取到)2、问题处理时的方法与技巧:(1) 涉及到单变量的范围问题

2、，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关(2) 在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。(3) 涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域(4) 在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合(或表达式)入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题:（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到,则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数

3、的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。、例题精析:2009 安A =x 2x-1 c3,B3 J0i，则 Apl B =解出 A,BA =(1,2 ),B J严） 集合1、-1 U（3,址），作出数轴，则 A B即为它们的公共部分。2丿f 1、 答案：AnBtV例2 :设集合S = x X - 2 3,T =x|a VX ca+8,sUT = R，贝U a 的取值范围是思路：可解出S =（Y,-1）U（5,P），而T集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S的范围，由于sUt =r，而数轴上有一部分区域没有被 S包含，那说明t集合负责补S空缺的部分，由于参数决定其端点位

4、置，所以画出图像，有图像观察可得只手*a V -1需要：5a+ 85即可，解得：-3ac-1答案：3 a V T小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数全国名校高考数学复习优质专题学案汇编(附详解)决定T区间的端点(2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合(3)注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若a = -3或a = -1，则端点处既不在S里，也不在T里，不符题意。例3:对于任意的xR，满足(a-2)x2+2(a-2)x-4:0恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式x-4 +|x-3 a的解集是空集的所有实数

5、a构成集合B，则当a-2=0即a=2时，变为：40恒成立当aH2时，若要恒成立，则x -4| +卜-3 va解集为空等价于:涉 R,|x4 +An(CRB尸思路：先利用已知条件求出 A,B，再利用数轴画出aDCrB的范围即可2 解：由(a-2)x +2(a -2 )x-4 c0 恒成立，可得:ja -2c02= 一2 a c 2A =4(a 2 ) +16(a 2 )v0 二 A = ( -2,2 】ax-4|+|x-3h3cx4X -4| +|x -3| = 1,7 2x,x 3二 f(X hn =1 二 a 兰1 即 B =( Y,l二 CrB =(1严二 aRCrB =(1,2 】小炼有

6、话说：本题更多考察的地方在于 A,B集合的求解。A集合要注意a-2 = 0的情况，而不能默认为二次不等式，B集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端例4 :已知集合A = x点值的开闭。1 3怕=如2 -(2m + 1)x + m2 +mc0，若AplB，贝U实数m的取值范围为 思路：先解出A, B的解集，ACB芒0意味着A, B有公共部分，利用数轴可标注集合B两端点的位置，进而求出m的范围解:X1 + x+1 3当x1时，x十5兰3兰2心号 当一1x1 时，1-x+x+1 3= 23恒成立3当 x1 日寸，1 XX-1 -2

7、x2 (2m + 1)x +m2 + m 0/. (x (m+1 )Xxm )0X 0X -1 02X ) 2(x 1 )=1x j2(x-1 戶 J(5 -二 A= 1,3】2 2X -axx-a=x -(a +1)x+a3答案：a忘(3,畑小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系:p是q的充分不必要条件U P对应集合P是q对应集合Q的真子集2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理B，则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理 A之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。r X例

8、6 :已知函数 g(x) =ax +1, f(X )= Q2 ? 1,0 - x - 2，对灯x -2,2 眈迂x2,-2x0时,g(x 卢2a+1,2a+l严1j2a+1 3a 忘（0,1】当a =0时,g（x ） = 1，符合题意当a0时,g(x 卢2a +1, -2a +12a+13a 忘-1,0 )综上所述：a -1,1】答案：a- 1,1】例 7 :已知集合 A=x|xa2 或 x1,B=x|ax0, B = x lx2 + ax + b 兰 0, aU B = x |x + 20，aRb =x|1 x 0说明B将A集合覆盖数轴的漏洞堵上了，AnB=x|1x3说明B与A的公共部分仅有

9、（1,3，左侧没有公共 部分，从而B = x1,X2的位置只能如此（如图），可得：X1=-1,X2=3，由韦达定 理可得：a = -2,b = -3X例9 :在 R上定义运算後5*，若关于X的不等式x述（-小0的解集是x| -2兰X兰2,x R的子集，则实数a的取值范围是（）A. 2a2 B. 1a2 C. 3av1 或一1ca1 D. 3a0变为传统不等式：+门严， 不等式含有参数a ,考虑根据条件对a进行分类讨论。设解集为A，因为AG -2,2 , 所以首先解集要分空集与非空两种情况：当 A=0时，则a = -1 ;当AH0时，根 据a的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出 a的范围即可

10、解: x(x +1-a)0= 0= 0= a A T 时，A =(0,a +1 )匸2,2 】 二 a +1 兰2 二 a 兰1二一1 a 1若a+1cO=a -2 二 a 3 二一3 a C 1综上所述：a- -3,1答案：D例 10 :已知 f (X )=|mX -X-n(0n 1+m)，若关于x的不等式f (x) 0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围是(A. 3 m c6B. 1 m3C.0 cm v1D. -1vmv0解：所解不等为mx X-n，可以考虑两边平方后去掉绝对值,因式分解可得：(m1)x+ n(m+1)x-n0m +1 0=m:1，另一方面，解集区间内有3个整数，从

11、端点作为突破口分析，两个端点为X = -一, X = ， 因为 0cn c1 + m ， 所以 m -1m +1n 一X =匚m +1X的系数均大于零，即(0, 1，进而结合数轴分析可得三个整数解为0,-1,-2，所以另一个端点的取值范围为-3- c-2= 2(m-1)v n3(m-1)，而 0nv1+m ，所 m T以只要有交集，则可找到符合条件的 n,m，结合数轴可得：2(m-1)m +1，求出 m-(1,3)答案：m-(1,3)三、近年模拟题题目精选:(优质试题四川高三次联考)已知集合X 2, r,N =x|xT| a, R，若N匸M，则a的取值范围是全国名校高考数学复习优质专题学案汇编

12、（附详解）A. 0a1B. a1C. a c1D.0 a c12、（优质试题吉林九校二模,1)已知 M =x|-1x2,N =x|x3，贝U(CRM)nN=(A. 2,3B.C.(亠1U 2,3D.(_QC, 一1 U (2,3 3、（重庆八中半月考,1 ）设全集为R，集合A = x x-10、，则AnB=(A.-2,2 】B.-2,1)D. -2,母已知函数x=的定义域为M，g（x）=ln（x + 1）的定义域为N，则xU(CrN )=A.(=,运)B.-运,畑C.（-血，畑）D.(亠,725、（优质试题，浙江） 已知集合P =x| x -2 x0 ,Qx|1vx2则(CrP)n q=()A

13、.B. (0,2C. (1,2)D.1,26、（优质试题,山东)设集合 A = x|x-1| 2,B=y|y =2X,x 0,2 ，则 aPIB-A.0,2B. (1,3)C.(1,4)7、设集合 A=x|2x-3 兰 7,B =x|m+1x0时a-1 2解得：M+2,2小十-1”)，由N“M可知冷aT；-*-1,综上可得：a兰12、答案：D解析：CrM =(亠1U(2,畑)，在数轴上标出CrM ,N的区域即可得出(CrM)r|N3、答案：C解析：分别解出A,B中的不等式，A:-2x1，所以 (1,214、答案：A解析：f (X )的定义域：2 -x2X M =(-厂2厂)2 g(x )的定义域：x+1 g N =(-什护)，所以 CrN =(=, -1)，M U(CrN ) = (=,&)5、答案：C解析：解出P中不等式：x2，所以CrP = (0,2 )，贝U(CrP)nQ=(1,2)6、答案：D解析：集合A为解不等式:X 1 2= -2x-1 2=(-1,3 ),集合 B 为函数的值域，由X亡0,2 可知匹1,4 ，所以ADB =1,3)7、答案：m2m -1