二项式定理知识点总结

1、二项式定理、二项式定理:(a+ b；n =C0an +cnanb屮"+ Ckan±bk屮"+ C®( n n*)等号右边的多项式叫做(a +b n的二项展开式，其中各项的系数Ck (k =0,1,2,3n)叫做二项式系数。对二项式定理的理解:(1)二项展开式有n+1项(2)字母a按降幕排列，从第一项开始，次数由 n逐项减1到0；字母b按升幕排列，从 第一项开始，次数由 0逐项加1到n(3)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对 a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a=1, b = x，则(1+ x =

2、C0xn + C1x+ Ckxn十"+ C：xn( n 迂 N*)(a + bf展开，得到一个多项式;(4 )要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式另一方面，也可将展开式合并成二项式(a + b y二、二项展开式的通项：Tk=C：aZbk二项展开式的通项Tk十=Ckanbk (k =0,1,2,3n)是二项展开式的第k+1项，它体现了二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项(如含指定幕的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广 泛应用对通项 Tk+ Cfabk (k =0,1,2,3 n)的理解:(1)字母

3、b的次数和组合数的上标相同(2)a与b的次数之和为n(3)在通项公式中共含有a, b, n,k,Tk十这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例 1. cn +3C； +9Cn3 + 3n-1C：等于A. 4n Bo 3 4nCo4n-13* n4 -1D.3例2. （1 ）求（1+ 2x）7的展开式的第四项的系数;（2）求（X-）9 的展开式中X3的系数及二项式系数X三、二项展开式系数的性质:对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CO _ c n c 1_ c n -10 2 _ c n _2 厂 k _ 厂 n _k .n Cn，Cn Cn ，Cn 一Cn

4、， Cn 一Cn ，增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大,二项展开式的各系数的和等于2n，令 a=1, b=1 即 Cn+cn 卄 +C； =(1+1)n =2n;奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a = 1，b = -1即Cn+十=2例题：写出（X y）11的展开式中:二项式系数最大的项;项的系数绝对值最大的项;项的系数最大的项和系数最小的项;二项式系数的和;各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项（1 ）求多项式（ai

5、+a2十+an）n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。1例题：求多项式（x2+p-2）3的展开式X（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求（1+x）2（1-x）5的展开式中X3的系数例题：（1）如果在1 +寺丫的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的I2如丿有理项。(2 )求（X +丄_2 的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定 例题：已知（1 -2x

6、）7 = a。+3必 +a2X2 +川 +a7x7，求:(1) ai +a2 +11 +a7 ；(2) ai+a3+氏+a7 ；( 3) | a。| + | ai | +川+| a? | 六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面:(1)进行近似计算(2 )证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明:2n >2n(n >3,n N '取 2n = (1 +1的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当n不是很大，I x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 + x)n的近似值。例题：(1.05)6的计算结果精确

7、到 0.01的近似值是A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34(2)整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为± 1，若k为其他数，则需对幕的底数 k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b H0)，有确定的一对整数 q和r，满足a =bq + r , 其中b为除数，r为余数，r亡0, b】，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数,要注意转换成正

8、数 例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7n弋：72+C272+被9除得的余数是()A. OB。2Co 7D.81例题：当n忘N且n>1，求证2<(1 +-)n <3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题：本大题共.12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在（X-U31）0的展开式中,X6的系数为A. 27C60B.270C.D. 9C40已知 a + b0,b =4a,（a + b n的展开式按a的降幕排列,其中第n.项与第n+1项相等，那么正整数n等于A. 4B.C.

9、10D.11已知（ja+*）n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 :2,则A. 10B.11C.12D.135310被8除的余数是A. 1B.C.D.（1.05）6的计算结果精确到0.01的近似值是A. 1.23B.1.24C.1.33D.1.34二项式Rjx +厶VVX丿（n亡N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是A. 1B.C. 31 1设（3x3+x2）n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h,若t+h=2 72，则展开式的X2项的系数是A. 12B. 1C. 2D.在（1+x-x2）6的展开式中X5的系数为A. 4B. 5C. 6D.其中正确

10、命题的序号是.（把你认为正确的命题序号都填上）10.11.阴+y;)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是A. 330B. 462C.680D. 790(jx + 1)4(x -1)5的展开式中,x4的系数为A. 40B. 10C.40D. 45二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为且系数最大的一项的值为则x在0 , 2 n 内的值为A.-或工63B.巴或空6 612.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含X4项的系数是等差数列an=3 n 5 的A.第2项B. 第11项C. 第20项D.第24项二、填空题：本大题满分16分，每

11、小题4分，各题只要求直接写出结果x9的系数是21913.(X2 -)9展开式中414.若(2x + V3)2x=a0 +a1X + +a4X4，则(a。+ aa41+33 f 的值为15.若(x3+x )n的展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是 16.对于二项式(1-x) 1999，有下列四个命题:口 卄亠亠 十1000999展开式中000 = C1999 x展开式中非常数项的系数和是1; 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项;当x=2000时，(1-x) 1999除以2000的余数是1.三、解答题：本大题满分74分.17.（ 12分）若（坂+n展开式中第二、三、四

12、项的二项式系数成等差数列.（1） 求n的值;（2）此展开式中是否有常数项，为什么?118. - （12分）已知（一+2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.19. （12分）是否存在等差数列使 a1C0 +a2cn +a3cn - + an1cn = n 2n对任意n N*都成立？若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由.20. （12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高10%。如果人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到1亩）？21. ( 12分)设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n c N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.m!22.