《导数的概念及其几何意义》教学设计

1、全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)导数的概念及其几何意义教学设计一、内容及内容解析1. 内容：(高中新课标数学课程内容)导数的概念及其几何意义 .2. 解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景 和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其 中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文 化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教 版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直 观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方 法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切

2、线斜率等问题中抽 象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此 进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1 .教学目标(1) 从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以 此培养数学抽象素养.(2) 通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.(3) 通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤， 进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2.目标解析(1) 导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问 题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导 数概念，不仅可以得到一

3、个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生 的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.(2) 导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元 联系”.因此，从函数在x=X0处的导数就是函数图象在对应点的切线的 斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)观想象素养的难得机会.(3) 导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为 未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一 般” “从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课

4、对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻 辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题. 要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图 象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限 就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也 是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、 求切线的斜率这些具体案例中抽 象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题， 需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出

5、来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平 均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念 .导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理 解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题 .教学中要通过具体案例 进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用 相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概 念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切 线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数 概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，

6、已经建立了不少 概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多 的体会与认识.号,学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要 借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度 .因此，借全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）助技术平台（如EXCE软件等）使学生直观感受极限的“逼近”的过程， 以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1. 注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现 了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速 度的逼近和割线斜率到切

7、线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立 导数的概念.2. 强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3. 引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切 线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题11在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心 相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t （单位：S）存在函数关系 h（t） =r.9t2 +4.8t+11.如何求出t=0.5s时刻的瞬时速度？师生活动预设：教师通过提示学生上

8、节课用平均速度逼近瞬时速 度的方法计算出t=1s , t=2s时刻的瞬时速度，提问：如何求出t=0.5s时 刻的瞬时速度？ 学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题. 教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程： 先计 算0.5,0.5+股时间段的平均速度，再令时间间隔圧无限趋近于0 ,平均速 度趋近于一个确定的值，这个（极限）值就是t=0.5s时的瞬时速度，同时 进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程， 体会无限逼近的思 想.追问：（1）现在我们算出t=1s, t=2s , t=0.5s时刻的瞬时速度，那么 对于某一时刻t0，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；

9、如果不全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）能，请说明理由.解：时间段Ito ,t0+加内的平均速度V J（to +凸t）® L/.9At_9.8to+4.8， At令皿TO，贝J V = /.9St-9.8to +4.8t -9.8to+4.8，可见瞬时速度是一个只与 to 有关的值，不妨记为v（to ）,即v（to ）=imV =翳 4.9皿9.8£ +4.8） =9.毬 +4.8 , 所 以运动员在某一时刻to的瞬时速度为V（to ） = 9.8to +4.8.师生活动预设：学生思考；教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算

10、，提出一般时刻的瞬时 速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫 .追问：类似地，我们还研究了抛物线y = x2在点某点处的切线斜率, 如点P（1,1 ），），其他点处切线的斜率能不能求？一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线 斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫 .【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般 函数y = f（X ），你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数 的概念.如果学生归纳概括有困难，可以给出下表帮助学生思考：函数平均变化率瞬时变化率（导数）2h(t)

11、=r.9t + 4.8t+11-h(t o+ 心)h(to)At曲-=-9.8to +4.82y =x2厂(Xo +也X)Xo2 k"Z鸩k=2XoXy =eXo 也Xo7 e-ek.lim ky =f(X)®f(Xo+ 也 X)f(Xo)ZAxlim UXo + Ax)-qxo)Ax 教师引导学生归纳概括出导数的概念， 学生在学案上归纳概括导 数的概念并拍照上传到技术平台； 教师通过信息技术平台展示学生的解 答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示. 教师给出函数的平均变化率、导数的定义：全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)对于函数y=f(x )，

12、设自变量X从Xo变化到Xo +AX，相应的，函数值y就 从f(xo )变化到f(Xo+Ax).这时，X的变化量为AX，y的变化量为y = f (沟+披)_ f (沟卜我们把比值凸y，即Ay f (xo- f (xo )叫做函数y=f(x从Xo到Xo+报的平均变化率.如果当Ax TO时，平均变化率 型趋近于一个确定的值，即型有极限, 则称f(x 在 X=Xo处可导，并把这个确定的值叫做y=f(X )在X = Xo处的导数 (derivative)，记作(沟 或 y'lx仝。，即卩"/、, S f (Xo +也X) f (Xo)f(Xo2AmAx=limAx.设计意图：通过具体案

13、例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学 研究的一般方法.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让 学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度v(0.5 )用导数怎么表示？点P(Xo,Xo2)处的切线斜率k用 导数怎么表示？师生活动预设：学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示v(0.5) = h'(0.5 ), V(to )=y'|xN .例 1 设 f (x)J ,求 f'(1 ).X1 _11 +Ax14f(1 +创f(1)IX( 1 f '(1 )= Ijm - lim 1_

14、 =limQZ3 纵 I 1 +心丿师生活动预设：学生思考.教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会 导数的概念.=1解：fo + n 十 Ax1全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)【问题3】 曲线y=x3(xR)上的点到直线3X y3=0距离的最小值 为.7y =x2上一点到 讨仝换成曲师生活动预设：教师先回忆上节课研究的抛物线 直线3x _y _3 =0距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线 线y =x3(x30)如何解决. 学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离

15、转化为平行线间的距离，当直线与曲线相 切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题 . 教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：现在我们需要求得曲线y =x3( xX0 )上一点(x , xo3 )( xo >0) 的切线，使其平行于直线3X y 3 =0，也就是让切线斜率等于？现在的关键是求出曲线y =x3( x30)上一点(X0,X03)( X0>0)的切线 斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定 义？师生活动预设：学生思考并讨论，如何定义曲线y=x3(xX0)上 一点(X0 , X03 X X0 0 )的切线.学生有可能给出如下回答：小

16、部分回答圆的切线定义方式， 大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线， 那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：适用.教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程 .全国名校高中数学优质专题汇编(附详解)追问：对于曲线y=x3(xF0)呢？一般曲线y = f (X )呢？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：适用.教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的 过程，并给出一般曲线y=f(x在一点处的切线定义：耳 1>叫+4T取曲线y = f(X上的一动点P(Xo +4 f(Xo +心X )，当点P(

17、Xo +X f (Xo +心X)沿着 曲线y=f(x趋近于点Po(Xo,f(Xo )时，害懺PF0趋近于确定的位置，这个确定 位置的直线F0T称为点F处的切线(tangent lin®.追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜师生活动预设：学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切 线斜率.教师投影切线斜率k%f(xo+；)-f(xo).追问：现在我们称 鹦 0+：)-中。)为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数y = f (X)在X = X0处 的)导数.追问：导数的几何意义就是？师生活动预设： 学生有可能给出如下回答：(曲线y= f(x)在点(Xo, f (Xo )处的

18、)切线斜率.追问：曲线y=x3(xXO)上的哪个点处的切线斜率为3 ？师生活动预设：教师提示：设点P(Xo ,Xo3 )(xo >O)处切线斜率为3 , 则 f，(Xo )=3. 学生在学案上计算Xo的值并拍照上传到畅言平台. 教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线y=x3(xKO)上的点到直线3X-y-3=O距离的最小值是？ 设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切 线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几 何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数y = f(x )在x=xo处的导数的 步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：全国名校高中数学优质专题汇编（附详解）rb第一步，求函数的平均变化率 型=f（xo乜X） f（x0）并化简；Ax心X第二步，求极限，令 go，得到导数f'（X0）巳西寮 设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题4】你认为下列命题哪些是正确的？ 瞬时速度是导数. 导数是切线斜率. 导数是特殊的极限. 曲线y= （f ）在点（xo, f（xo）处的切线方程是y （f 0 ）X-（0 X 0 X X师生活动预设：学生在技术平台上完成解答； 教师通过信息技术平台展