固体物理第五章晶体中电子在电场与磁场中的运动课件

1、第五章：晶体中电子在电场和磁场中的运动 在前面四章基本理论的基础上，从本章开始研究晶体的电学、磁学和光学性质等。后面几章的内容属于专题和应用的性质。本章从内容上分为：4-1 准经典运动4-2 恒定电场电场作用下电子的运动4-3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释4-4 恒定磁场中电子的运动*4-5 回旋共振*4-6 德.哈斯-范.阿尔芬效应5.1 准经典运动晶体中电子的运动严格地讲是量子的，但在这里采取准经典近似。1. 波包和电子速度： 在量子力学中一个态的经典描述近似成立，用波包来代表该态。所有动量和坐标有近似数值，由测不准原理限制。 波包是指该粒子空间分布在r0附近r范围, 动量取值在 附

2、近 范围内， ，波包中心r0为粒子的位置，中心 称粒子的动量。 晶体中用Block波组成波包，包含不同E态，Bloch波表示为：用k0附近的k组成波包，令k=k0+k, k很小， E(k)按k展开： 组成波包时k限制在 , 波包函数为：其中事实：在此，公式中可以没有 ！,只是为了表示的方便？ 波函数主要集中在u = v = w = 0，即 波包中心在 把波包看作一个粒子，其速度为：前面很小，指远小于布里渊区的线度 2/a, 则波包线度2/ 远大于原胞尺度，只有在这个限度内把电子看作准经典粒子。 因子 只使得波包出现精细结构。 电子看作准经典粒子，其速度为k0时的平均速度。带顶和带底电子速度为零

3、, 不同于自由电子速度随k增大单调增大。2. 外力作用下状态的变化和准动量 外力在dt内对电子做的功为： ,引起电子内能的变化为： ，则： 将 代入，得： 在平行vk方向， 在垂直方向有类似的关系 ，则 在恒定外力作用下，电子在k 空间做匀速运动，与经典规律相比，具有动量 性质，称准动量，不同于动量，因不是动量算符的本征值。 基本的方程:3. 加速度和有效质量A. 加速度dv/dt为： 与牛顿定律类比： 二阶张量代替 称二阶张量为倒有效质量张量。引入有效质量张量： 若 沿主轴方向， 倒有效质 量对角化，有效质量是张 量，加速度与外力方向可 以不同，有效质量把周期 性势场的影响包含 在其中。 有

4、效质量在带顶和带底化 为标量。5.2 恒定电场作用下晶体中电子的运动以紧束缚近似为例，一维简单近似下：如果J10, k = 0点为带底k = /a点为带顶电子速度有效质量在恒定电场作用下：）电子在k空间做匀速运动，设力沿轴正方向。经典理论中电子运动限制在带内，E(k)随时间周期变化）电子速度随时间振荡）m*0, 外力大于周期势场的作用，外力使电子速度增大m*0, 外力小于周期势场的作用，电子速度减小m,外力与周期场作用力相等，加速度为零，电子速度最大）速度振荡意味着电子在实空间振荡外力作用在周期势场上附加了一部分，发生能带的倾斜。经典理论中电子在带内跃迁，在带顶遇到势垒，发生反射，由ABCA相

5、当于电子从带底带顶带底的运动振荡现象缘于电子完成一个周期振荡之前受到散射，难于观察到量子理论电子有一定几率穿过势垒，几率:dEgB5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释1. 满带不导电 能带对称性中 En(k)=En(-k) ， 则：v(k)=-v(-k) 在满带中，每个电子有电流i = -qv(k),但k和-k态电子的电流抵消，总电流为零。 一维晶体在外场中，电子在力F=-qE下以相同速度 在轴上运动，从B.Z.一端移走的电子从另一端移进，带总是 满带 满带不能导电！ 2. 导体和非导体的模型 部分填充的带，没有外电场平衡时 电流相互抵消，在外电场下分布不对称， 产生电流。 电场不对称的原

6、因? 外电场的方向: E* 非导体 电子恰好填满最底的一系列能带，再高的能带全空，非导体分为半导体和绝缘体，取决于带隙宽度。 *导体 除全部填满的一系列能带，还 存在部分填充能带 * 半金属：导带和价带交叠或导带底价带顶重合 3. 近满带和空穴1）近满带的电流 满带缺少少量电子，要处理大量电子运动很麻烦，但处理电子空位就要容易得多。假设只有一个k态没有电子，满带电子的电流 为零, 显然近满带的电流为k态对应电子电流的负值：即： I=qv(k) 。 近满带的电流相当于带正电q的粒子，速度为空态k电子速度引起的。这就是所谓空穴的概念！（空的状态）2）电磁场的作用 假设向近满带放入一个电子形成满带。

7、电磁场作用下满带电流仍为零，则作用在k态电子的外力为：则：空态k 常在满带顶附近，对应电子的有效质量 m*0, 将上式：近满带电流的变化相当于带正电荷q具有正效质量为 的粒子，这个假想的粒子称空穴。电子和空穴通称载流子。空穴为K空间电子空的状态。不同于晶格中的空位。5.4 在恒定磁场中晶体中电子的运动两种描述方式：（1）准经典理论：图象清晰，分析问题方便（2）量子理论：给出量子结果, 求解磁场存在时的薛定谔方程, 但存在很大的难度，因为周期性势场的存在使问题复杂！1. 恒定磁场中准经典运动 基本运动方程： 分析得：沿磁场方向k分量不变 电子在k空间等能面上运动， E(k)不随时间变化以自由电子

8、为例： 选B沿kz方向， B=(0,0,B),则运动方程：Kz保持不变，在Kxky平面做匀速圆周运动回转角频率：在实空间电子做螺旋运动。 2. 近自由电子的量子理论： 无磁场，电子哈密顿量为：存在磁场，引进矢量势A， , 用p+qA取代p, 则波动方程: 如果B沿z轴，矢量势A=(By,0,0), 则： H中不含x, z，则与对易，相应的波函数： 总的波函数： 代入波动方程：则，(y)满足的方程为：可以简化为谐振子方程：及：简化为简谐振动方程：其中：谐振子的波函数为： 相应本征值为： n,整数根据量子理论： 在x-y平面做圆周运动对应一种谐振子，能量是量子化的，量子化的能级称郎道能级 : .

9、晶体中电子的有效质量近似：只需用晶体电子的有效质量m* 代替自由的质量m即可。 可见：对晶体中电子运动状态的描述，引入有效质量概念，能使问题大大的简化，并能对电子运动状态进行很好的描述！5.5 回旋共振：测量晶体电子的有效质量晶体电子在磁场中做螺旋运动，回转频率为：，在垂直磁场方向加上频率为的交变电场，当 ，交变电场的能量被电子共振吸收，该现象称回旋共振。测量，得到m*能带结构各向异性，测量不同磁场方向下电子的有效质量，得到能带结构。有效质量和能带都具有各向异性！5.6 德.哈斯范.阿尔芬效应）De Hass-Van Alphen效应： (）磁化率随磁场倒 数1/B周期振荡的现象。 电导率、比

10、热容等有类似现象，与金属费米面形状有关，用来测费米面结构。）二维自由电子气 无磁场，在x-y平面内 , 加磁恒定场， 量子态重新分布，量子态总数不 变，郎道能级高度简并。设电子气的 空间尺寸为LL，电子气的态密度为：郎道能级的简并度： 另外一种解释：电子做简谐振动，Y0取值在L范围，Kx取均匀点，则：计入自旋，则 :产生De Hass-Van Alphen效应的原因： 磁场中，形成一系列高简并的独立能级，使电子气系统的能量随磁场强度B发生变化。定性讨论。甲：某磁场B下，恰好使能级上填满电子，而+1能级全D=N(电子数）或 (EF0自由电子0k费米能)， 磁场加入前后，系统能量相同乙：磁场减小，D减小，电子填入+1能级，郎道能级+1被电子占据几率: 0 p1/2 ,磁场加入后，系统能量增加。丙：磁场减小，系统能量增加， P=1/2 ，增大量最大，此时： 丁：磁场继续减小，磁场加入后， 系统能量增加，但比丙的增量小。 磁场变化：E周期变化，当能级 ，E出现峰值。 设：磁场为B1, 第个能级填满， E极小 则：D=N, 即：设：磁场为B2, 第+1个能级填满，则（+1）D=N, 即： E变化周期： 其中 SF是T=0k二维电子气费米圆的面积：T=0k,磁矩M=-E/ B,磁矩随磁场周期变化的现象就是De Hass Van-Alphen 效应3.