直线与圆锥曲线位置关系及应用的思考

1、直线与圆锥曲线位置关系及应用的思考直线与圆锥曲线位置关系及应用是高考中经常遇到的一个重要知识 点，主要表现在两个方面：直线与圆锥曲线的公共点的有无及多少问 题；当直线与圆锥曲线相交所截得的弦长问题；当判断直线和圆锥曲 线公共点的个数及位置时，通常将直线与圆锥曲线的方程联立转化为讨 论二元二次方程组解的个数问题，进而化为一元二次方程的根的多少问 题，但此时特别注意二次项系数的讨论。另外值得注意的是：当直线与 圆锥曲线有一个公共点时未必相切，如：抛物线与平行（或重合）于其 对称轴的直线；双曲线与平行于其渐近线的直线，都只有一个公共点， 但不相切而是相交。同时对几种圆锥曲线各自的几何性质的不同，还可

2、 以利用数形结合的思想，以形助数的方法进行。关于直线被圆锥曲线所 截的弦长问题通常是这样解决的。设二次曲线f（x,y） 0与直线y kx m， 如果消去方程组f（X，y） 0中的y，所得关于x的二次方程ax2 bx c 0y kx m（a 0），则直线被二次曲线截得的弦长丨Vi k2|x, x2| V1 kT4aC a（其中Xi，X2是方程ax2 bx c 0两根，即是直线与二次曲线两交点的横 坐标）；若消去的是x，得到关于y的二次方程ay2 by c 0 （ a 0 ），则 弦长丨 J 2|yi y2 ji $ b 4aC （其中yi，是方程ay2 by c 0两 k k |a根，即是直线与

3、二次曲线两交点的纵坐标）。下面就各种情况加以分析讨第1页共10页化归思想:2 2例1 ：椭圆乞!_5 m直线与椭圆：此种情况较为简单，运用一般方法即可。1与直线y kx 1 ( k R),恒有公共点，则m为什么实数?解：联立方程组得2x5y2ymkx1 消去 y 得(m 5k)x2 10kx 5 5m 0，当1m 5k 0时，由 0得k2公共点，贝S m 1,即当m5 即m 1 5k2，要想直线与椭圆恒有1时，直线与椭圆恒有公共点。二、数形结合思想利用数形结合思想对上题还可以这样来解:解：t直线y kx 1恒过定点P(0,1),要想直线与椭圆恒有公共点,05只须点P在椭圆内或在椭圆上，从而有1

4、一m0 ,由于 m 0m 1m例2：已知曲线C : y十与直线1: ym仅有一个公共点,求m的取值范围。错解:曲线C : y2： x2可化为x2 4y220联立y x mx2 4y220消去 y 得：5x2 8mx 4m2 20 0 由 0 得 m 5。在上面解法中由于方程与原方程并不等价，因为y0,故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分，像这种类型题目常采用数形结合思想才能得到解答。正解:如图，当直线I与曲线相切于P点时只有一个公共点，可得m 5另外当把直线I进行平移到经过A点不合题意，继续平移到经过点 B时，均符合题意，易知2 5 m 2.5，故 m 5 或 2 5 m 2： 5。综述：解此

5、类题目时，在将方程变形时应注意范围的变化，这样才不会出现错误，即采用数形结合思想去解题，这种解题思路也是符合当 今高考改革的需要。三、分类讨论直线与双曲线：这一类是三种圆锥曲线较为复杂的一种情况，当转 化为讨论方程组的问题后，还有对交点的位置讨论几种情况。2例3:直线y kx 1，双曲线Z y21，当k为何实数时，直线和双曲4线有一个公共点；有两个不同的公共点；两个公共点分 别在双曲线的左右两支上；两个公共点在双曲线的右支上。解：联立方程组y2x4kx 1y2 1 消去 y得(1 4k2)x2 8kx 8 0 当1 4k2 0即k 1或1时，直线与曲线有一个公共点；2 2当1 4k2 0则0时

6、，即k 或 时，直线与曲线有一个2 2第3页共10页公共点 当1 4k2 0，则由0得丄k 2时，直线与曲线有两个2 2公共点； 设方程两根为论,x2，则当0且xm 0时符合题意，即32 64k2 0且 爲 0 当 丄k -时，两交点在双曲线1 4k222的左右分支上。0 12 由可知，当满足Xi X20即1 k 时，直线与双曲线的22x1x20两交点在右支上。本题是通过方程组的解的个数来判断直线与双曲线交点的个数及位 置，解题时运用了重要的数学方法一一分类讨论，而且是“双向讨论” 既要讨论二次方程首项系数1 4k2是否为零，又要讨论判别式的三种情 况，此时务必注意思路清晰。另外本题还可以采取

7、数形结合思想，这种 方法关键是抓住有一个公共点时，即相切和与双曲线的渐近线平行的几 条直线为界限绕直线所过定点旋转时，结合图形通过观察发现符合题意 的k值。此种解法虽然直观，但需要具备一定的观察能力，若能很好掌 握此法对于解答客观题有一定的好处，同时它也是高考中必需具备的能 力之一。直线与抛物线：这一类型关键是要注意与其对称轴平行的情况不能 遗漏，还要注意直线所过点与抛物线的位置关系。例4:已知过P(0,1)作直线I，且与抛物线y(a 1) y ay a 0 2x只有一个公共点的直 线有几条？分析：此类求直线方程问题，务必要记住讨论直线的斜率存在与不存 在两种情况，而恰好k不存在这种情形很多考

8、生不易掌握，常被遗忘， 因此作为每一位授课老师在复习此处时倍加留心随时强调。解：(1)直线斜率不存在，则过P(0,1)的直线方程x 0，而该直线与 抛物线y2 2x的对称轴平行，故I与抛物线y2 2x只有一个公共点(2)若直线斜率k存在，设直线I方程：y kx 1由 y 21 消去 y 得：k2x2 2(k 1)x 1 0y2 2x1当k 0时，得x 2即直线与抛物线y2 2x只有一个公共点y 1当k 0时，若直线与抛物线只有一个交点11贝y4(k 1)2 4k2 0k -，即卩 y -x 122综上所述：所求直线为：x 0或y 1或y x 12另外，对于这一类题目若遇到参数时，一定要注意对参

9、数进行讨论，如：例5:已知直线I : y (a 1)x 1与曲线y2 ax恰好有一个公共点， 求实数a的取值范围。解：由题意得，联立方程得y (a1)x 1消去x,得y ax 当a 0时，x 1 , y 0，有一个公共点(1,0)，为两直线交点； 当a1时，x 1 , y 1，有一个公共点(1, 1)，此时直线I与曲线对称轴平行； 当a1且a 0时，由 0得a 4时，I与曲线相切。5四、方程与函数思想：例 6：如右图，在 Rt ABC 中，BAC 90 , A(、2,1)、B(.2,1) , S abc 2(平方单位)，动点P在曲线E( y 1) 上运动，若曲线E过点C且满足 |PA |PB的

10、值为常数。(I)求曲线E的方程；(H)设直线l的斜率为1,若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程。分析：利用定义法求曲线E的方程，利用直线与圆锥曲线的位置关 系求M点的轨迹方程。解: (I)T|AB2/2 , S abc1|ACABV2 |AC1，又 |BC2AC|2AB|2，从而 I BC3又 PA |PB AC BC 4 2血 P点在以A、B为焦点，长半轴为a 2，半焦距为c .2，短半轴为b - 2的椭圆E ( y 1 )上。2 2二曲线E的方程为口一L 1(y 1)42(H)设直线I : y x m，代入E的方程，消x，可得2 2 2 23y 2(m 2)

11、y m 2 0。令 f(y) 3y2(m 2)y m 2 ,方程f(y) 0,有两个不小于1,且不相等的实根时，有4(m 2)212(m22)0f (1) m2 2m 3 0m 213解之，得3 m 1,6设PQ的中点为M(x,y)，PQ两点的坐标分别为P(X1，yJ , Q(X2,y2)。所以5 y 1于，将m 3y 2代入y x m得y x 1， (5 y 1 6)即为M点的轨迹方程。233总之，通过以上几个例题的分析，从而启发我们可以得到关于直线与圆锥曲线的公共点问题有如下结论：设直线I : y2kx m :椭圆C1 :务ab21( a b 0)，双曲线 C2 :2 x2ab21( a

12、0，b 0)，抛物线 C3: y22px ( p 0)1. 把直线方程分别代入三个曲线方程，并整理得到:八 22,2、22,222t 2(b a k )x2akmxamab0“22,2、2c2,2222(b a k )x2akmxamab0k2x22(kmp)xm202. 由式：当b2 a2k2 0时，故只需讨论其判别式得到交点情况;由式：当b2 a2k2 0时，即k卫(直线I与其渐近线平行)a再看2a2km是否为零，即m是否为零，得到直线与曲线一个交点或无 交点，当b2 a2k20时，只需讨论其判别式得到交点情况。由式：讨论k2的情况，当k2 0时，直线平行于抛物线的对称 轴，故只有一个交点

13、，当k2 0时，也只需讨论其判别式得到交点情 况。3. 当直线斜率不存在时，可得直线方程为 x n ,分别讨论，从而 得到相应答案。除了上面关于直线与圆锥曲线公共点多少以外，其中当直线与圆锥 曲线相交且有两个公共点的一类问题及关于直线对称问题，也是高考考 查考生对解析几何这类方面知识掌握如何的重点之一，此时，对大 多数考生来说，也许是“难点”所在，从而导之失分较多，所以在复习 这一知识点时，对教师来说予以重视，结合例题分析讲解要透彻，从而 让学生能够很好地掌握它们，以便适应高考的需要。例7：已知抛物线y2 4x上恒有两点关于y kx 3对称，求k的取值 范围。分析：该题不但是考查直线与抛物线相

14、交问题，关键是有关两点关 于直线对称方面知识的应用，解题时若不能正确处理好题目所给条件及 内在联系，这对于考生来说很可能无从下手。解：设 A , B关于直线 y kx 3(k0)对称，设 A(xyJ , Bg, y?) , AB中点M&oyo)，则设AB方程为x ky m ,代入y2 4x，得y2 4ky 4m 0第8页共10页.y0 I1 X22k , Xo2k2 m2M(xo，y。)在直线 y kx 3上，. 2k k(2k2 m) 32k3 2kk3，又AB与抛物线4x交于两点，故32k 2k 3-16k16m0，即0k.(k 1)(k2 k 3) 0得 1 k 0 k当k 0时，直线为

15、y 3，显然不合题意。综述有：k| 1 k 0。另外我们在复习时，会遇到当直线与圆锥曲线相交时直线被圆锥截 得的弦长的问题，在用到有关化归思想的基础上，主要又应用到另外的 数学思想“设而不求思想”。例8:已知椭圆中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y x 1与椭 圆交于P和Q两点，且OP OQ， PQ -1，求椭圆方程。分析：中心在原点，焦点在坐标轴的上椭圆的焦点所在轴不能确定 时，可将方程设为mx2 ny2 1 ( m 0, n 0)，尤其是P、Q两点坐标只设 不求，这在解析几何中是经常使用的方法，也是高考中经常遇到的解题 思路。解：依题意，设椭圆方程 mx2 ny21 ( m 0, n 0 )，将直线方程代入椭圆方程，得(m n)x2 2nx n 1 0，若直线与椭圆相交，贝卩必有 0， 即4n2 4(m n)(n 1) 0,化简得：m n mn 0第9页共10页设 P(xi，yj , Q(X2,y2)，由 OP OQ 得 xm y2 0而 y1 x11， y2 x2_1， X1 x2代入上式得m nm n卫1 0,化简得m nm n m n又由PQ 也及弦长公式&1代入上式得2xiX2X1X21又 x1x2k2