FIR滤波器和IIR滤波器的格型结构

1、4.3.5全零点格型结构lattice structure)。1973年，Gray和Markel提出一种新的系统结构形式，即格型结构（ 这是一种很有用的结构，在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。这种结构的优点是，对有限字长效应的敏感度低，且适合递推算法。这种结构有三种形式，即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点和零极点格型结构。下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。其他两种个性结构将留到第4.3节讨论。格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。图7.11示出其中的第m极。与FIR滤波器的直接型结构一样，全零点格型结构也是没有反馈支

2、路的，第1级第2飯+第M-1级第M级的）也）J小a几-工（鬼）_0 /A1 11 z11I44I:门g肿£0)纽3)幼打（鬼）£対_0)x（型）f% K府O以鬼）f血） 心护图7.10全零点格型结构(26)3图7.11全零点格型结构的基本单元让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。图7.10中，以x（n）为输入序列，后接 M个格型级，这样就形成M个滤波器：第 m（m=1,2,.,M ）个滤波器有两个输出，即上输出fm（n）和下输出gm（n）。以fm（n）为输出的滤波器称为前向滤波器；以gm（n）为输出的滤波器称为后向滤波器。对于M个前向FIR滤波器，它们的

3、系统函数为:Hm(Z)=Am(Z),m 1,2,.,M(18)式中，Am（z）是多项式:mAm(z) =1am(k)zkzt1 <m <M(19)这里，为了数学推导的方便，令式子右边第1项为1；下标m代表滤波器序号，也代表滤波器的阶数，例如，给定a(0) =1以及a(1),a(2),.,a(M )，则第4个滤波器的系统函数为H4(z) =1 +a4(1)z-* +a4(2)z 工 +a4(3)z' +a4(4)z*设第m个滤波器的输入、输出序列分别是x(n)和y(n),则m(21)y(n) =x(n) +送 am(k)x(n k)k 二其直接型实现如图12所示。7Z曲(2)

4、"V觀(也1) "V搐(怖)图7.12 FIR滤波器的一种直接实现形式m =1阶滤波器的输出可表示为y(n ) = x(n)+£1 x(n1)(22)该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。图中，两个输入端联在一起，激励信号为x(n)。从两个输出端得到的信号分别为f/n)和g (n):.rt.= x(n) + k0X(n -1)= k0X( n) x( n1)(23)其次我们考虑二阶 FIR滤波器，它的直接型结构输出为y(n) =x(n) +a2 (1)x(n-1) + a2(2)x( n2)= x( n) x(n-1) x(n-2)1 a?。)a2(2)

5、T(24)上式将输出y(n)表示为两个向量的内积，T表示向量转置。相应地，这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元(图10前面的两级)来实现。，图中，第一级的输出为fi(n )=x( n)+kix( n 1)lgi(n) =k1X(n) -x(n -1)(25)下2( n) = f1( n) + k2g1 (n-1)g2(n) *£(n) +g1(n1)将式(25)中的fi(n)代入式(26)中，得mf2(n) =x(n) + KxCn -1) +k2k1x(n -1) +x(n 2)=x(n) +匕(1 + k2)x(n -1) +k2x(n -2)现在令式(24)和式(27)的系数

6、相等，即a2(2) = k2,a2(1) =ki(1 + k2)(28)(39)6于是，得二阶格型结构的参数k2 =a2(2),a2(1)k1 =1七2 (2)(29)其中，k2 =&2(2)这个结果是很容易理解的。从图7.12看，如果滤波器阶数 m = 2，则时延为2的输入输出传输值为 a2(2)，而从图7.10看，从输入到上端输出有三条可能的支路,而其中时延为2的支路传输值为k1。如果这两个流图等效， 则应有k2 =a2(2)。因此可以推论，若有m个格型级，则其最右边的支路km与直接型结构的参数 am(m)相等:km =am(m)(30)为了得到其它支路传输值km4,km丄,K与直

7、接型结构的参数之间的关系，我们需要从图7.10 所示的M阶格型结构的最右边做起：根据M阶滤波器的直接型参数，依次求M -1，M -2,M -3,.,1阶滤波器的直接型参数。这是降阶递推。只要求出m阶滤波器的系数组am(k),k =1,2,.,m，则格型结构的支路传输= am(m)。式(29)表明，二阶格型结构的两个参数k1和k2可以根据直接型结构的参数求出。继续这个过程，可以得到一个 m阶直接型FIR滤波器和一个 m阶或m级格型滤波器之间的等 效性。按照图7.10，格型滤波器可用递归方程描述为fo(n) =g0( n) =x(n)(31)fm(n) = fm4( n)+kmgm4( n T),

8、m = 12,M-1(32)gm( n) =kmfm4( n) + gm4(门一1),m = 1,2，,M-1(33)滤波器的输出，即(34)因此，第M-1级滤波器的输出相当于M-1阶FIRy(n) = fM 4(n)因为FIR滤波器和格型滤波器的输出fm(n)可以表示为fm(n)=1： am(k)x(n k)am(O) =1(35)而这个式子是两个序列的卷积和，所以它遵从z变换关系(36)Fm(Z)= Am(Z)X X(z)F0(z)现在我们来看二级格型滤波器的另一个输出g2(n)。由图 7.10 得g2( n) =k2fi(n) +gi( n-1)= k2x( n) + k,x( n-1)

9、 +k,x(n-1) +x(n-2) =k2X(n) +k1(1 k2)x( n -1) +x(n 2)= a2( 2)x( n) + a2(1)x( n -1) +x(n 2)=x( n) x(n1) x(n -2)a2 (2)a2(1)1(37)可见，对于g2(n)为输出的后向滤波器，滤波系数组为a2(2)a2(1)1，而对于以 f2(n)为输出的滤波器，滤波系数组按相反次序排列，为1 a2(1)a2(2)。根据以上分析。可见m级格型滤波器的输出gm(n)可以用卷积和形式表示为gm(n)Pm(k)x(n -k)(38)k=0式中,滤波系数 Pm(k)与产生输出fm(n) = y(n)的另一

10、滤波器有关，只不过操作次序相反。例如,如果m = 6，a6 (0) =1,a6(1)2, a6 =4, a6 (3) = 7, a6(4) = 5,a6 (5) = 3, a6(6) = 6，%(6) =1沖6(5) =2,斥(4) =4,% (3) =7,%(2) = 5, p6(1) = 3, %(0) = 6Pm(k) =am(m-k),Pm(m) =1k = 0,1,.,m在Z域中，式(38)变为Gm(Z)= Bm(Z)X(Z)(40)BGm(Z)Bm(Z)K(41)这里，Bm(z)是下输出端相对于输入端的系统函数;mBm(Z)=2 Pm(k)Z 上k=0(42)因为 Pm(k) =a

11、m(m k)，故mmBm(z) =：S am(m-k)z=2 am(j)zjk=0j=0m"临 am(j)zjj=0-m A / 二 =Z An(Z )(43)这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。现在我们回到式(31) ( 33)的递推方程组,并把它们变换到Z域Fo(z) =Go(z) =X(z)(44)Fm(Z)=Fm(Z)+kmZGm4(Z),m = 1,2,.,M-1(45)Gm(Z)= kmFm4(Z)+ZGmj(Z),m = 1,2,.,M-1(46)各式除以X(z)并利用前面的关系式，可得(47)人二 Bo(z) =11Am(Z)=Am4Z)+ kmZ Bm4(

12、Z),m =1,2,.,M-1(48)1Bm(z)=kmAnn4(z)+Z Bm4(Z),m =12,.,M-1(49)11(50)m = 1开始按升阶递推法求出直接因此，在Z域，一个格型级可用矩阵方程描述为Am(Z)LRkmAUz)Bm(Z)km 1 j(zBm(z)J利用式(47) -( 49)可以根据格型滤波器系数，从 型滤波器系数。例给定三级格型滤波器如图13所示。确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。"（叭K1 = 13 24,2 = 12, K疔 1,3图13给定三级格型滤波器解 根据式（48）,得A（z）=A0（z）+kiZBo （z）因此，对应于单级格型的FIR

13、滤波器系数为 印（0）=1。16（1） =k1 =，因Bm（z）是Am（z）的反转多项式，故414B1（z） =- +z4其次，对于m=2得格型滤波器，根据式（48）得A2（z） =A（z） +kiZBi（z）=18 2因此，对应于二级格型的FIR滤波器系数为31&2（0）=1， a2（1） =（2）= 。此外821B2（z）=-2最后，添上第三个格型级，得出多项式3 _2_3+氓+z8A3（z）=A2（z）+k3z4B2 （z）=1+坐 zr'z2483-3因此，与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为a3（0） “比=T,a3=：,a32483a3（0）二1,%。

14、）= T,a3 蔦,a3 （3）2483假定已知M阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式A （z）,我们希望确定相应的格型滤波器的系数组ki，i =12.,M。对于第M个格型级，可直接得出kiM =Am（M）,所以,只需从M -1开始降阶递推过程。为了得到kMj，只需求出多项式Am 二(Z) =1 + Am 二(1)zr.十 Am(M -1)ZM就可以得到kM=AM_L（M -1）。根据式（48）和式（49），可以得到降阶递推关系:Am( Z)= ArnJz) +lkmZBm(Z)=Am(Z)+kmBmZ) -kmAm(Z)于是,A (z)Am(Z)-kmBma(z)=1-kmm = M 1,

15、M(51)例 设FIR滤波器的系统函数为H（z） =Am （z） =1 +13zr|z，248确定对应于该FIR滤波器的格型系数。1解 首先，直接得出ks =a3（3）=,而且315 A 13 -2-3B3（z）=-+ z + z +z3824在m = 4的情况下，利用式（51）降阶递推，得A (3)-k3B3(z) =1+3zr1z'8 2g1k；1 1 3因此，k2 =a2（2）=和 B2（z） = + - z，+z°。2 2 8最后，在m =2的情况下，再降阶递推，得A2(2)-k2B2 (z)因此,1k1 =A（1）= 4图13示出所得三级格型滤波器。4.3.5 II

16、R系统的全极点格型结构IIR滤波器的全极点系统函数H(Z)为(12)1H(z)=M1-2 akZk4与M阶FIR系统函数相比较，可见这两种系统互为逆系统。我们在第节以研究了 FIR系统的(全零点)格型结构。现在我们要基于式(12)找出IIR系统的全极点格型结构。最简单的途径就是研究逆系统的信号流图，从中找出规律。给定一阶FIR系统函数为(13)(14)H=X|=c+k1z则差分方程为y(n) =cx(n) +k1x( n -1)图19是相应的信号流图13O咖(15)(16)一阶FIR系统逆系统的系统函数为H'(Z)=YZUX(z) c + kz其差分方程为y(n)二丄啟n)-k1y(n

17、-1)c图20示出相应的信号流图。图20 一阶FIR系统的逆系统所以，可以按照图 21所示的中间步骤从原系统得到逆系统:（1）（2）（3）（5）统。将原系统流图的直通通路全部反向（图原系统流图的直通通路传输值取倒数（图 指向直通通路的支路传输值改变符号（图改变输入、输出位置（图按照习惯，改画图21d）21d，使输入端在左,何业）图21从一阶于是，可以用上述方法从图21a)。21b )。21c)。输出端在右，即可得到图20所示的逆系(f)FIR系统得到其逆系统的中间步骤7.10的全零点格型结构得到图7.22的全极点结构第1级第2圾第M-1级第就级久何G代） a 的-Y仝/环7 1飭3）g f N

18、 ：:g就a幼一2.3）g；也）图7.22全极点格型结构已知IIR系统函数为Hur (Z)=1 +24dc 厂 ,，求其格型结构系数并画13 4 丄5 / 亠1 JZ +-z +-z83出该结构。解：13 A 5 二 13已求出F|R系统函数为Hfir（zT+-z-z-1z的格型结构，如图167.23所示。咒(趨)*ZZK = 13 24,庄2 = 1图7.23 3阶FIR系统的格型结构1今逆系统Hiir(z)=而m，根据上述求逆系统流图的方法，可知图14是Hiir(z)的流图。Z© = 13/24,图7.24例的全极点结构例 已知IIR系统函数为H(Z)=1Z21-1.7Z +1.

19、53Z-0.648Z3，求其格型结构系数并画出该结构。解 利用MATLAB函数dir2latc可以由已知的直接型结构求出格型结构系数。本例的MATLAB程序如下：b = 1 -1.7 1.53 -0.648;k = dir2latc(b)运行结果：k = 1.0000-0.70260.7385-0.6480ZZ所得的格型结构示于图7.25。在按全极点格型结构计算方法计算图7.26的系数k,k2,.,kN时，同时算出了Bm（z）。(19)图7.25 例的全极点结构4.3.6 IIR系统的零-极点格型结构既有极点又有零点的IIR系统函数为MS bkZ上H(z) B(z) 7H (Z) =NA1+2

20、：akz 主kA它的格型结构示于图 7.26。由图可以看出:(1) 如果G =C, =. =Cn =0。=1，则图7.26和图7.22的全极点系统的格型结 构完全一样。(2)如果k1 =k2 = . =kN =0，则7.26变成一个N阶FIR系统的直接实现形式。Y点。显然，下上半部对下半因此，图7.26的上半部对应全极点系统1/A(z)，其输出点在图中的半部对上半部无任何反馈。于是，参数k1,k2,.,kN仍可按全极点系统的方法求出。部有影响。所以系数组Ci和b不会完全相同。现在的任务是求出Ci，i =0,1，N。19第W级第N-1级图7.26零点-极点系统的格型结构上一节论述FIR全零点格型

21、结构时，曾介绍前向、后向滤波器的系统函数。现在，由图7.26可以看出：下半部的N个输入就是N个后向滤波器的输出gm(n)，m =0,1，N。将图7.26与图7.10对比一下，可知对于图7.26来说，后向滤波器的系统函数是Gm(Z)Bm(Z Y(z)m = 1,2,., N(18)图7.26中，下半部的N个输入端，用实心圆点标出。定义整个系统的输入端到下半部 的N个输入端之间的系统函数为Hm(Z)=Gm(Z)/X (Z)故得Hm(Z)=即Z)G,0(Z) =Bm (Z)/A(Z)G0(z) X(z)(20)整个系统的系统函数应是H0（Z）,H1（Z）,.,Hn（Z）加权后的总和，即NNH(ZZ

22、CmHm(z)=Zm z0m=0CmBm (Z) = B(Z)A(z) " A(z)(21)式中,Bm(z) =zdAm(z-*)（上一节的公式在求解k1,k2,.,kN时，将同时产生出 Am（z）和Bm（z）。详见第节。将式（）代入式（21），得NB(Z)=S bmZ"mAm()mz0(22)F面说明系数组c的递推计算法。m阶多项式的形式如下:AJZ)"+am(1)Z+amZ2 +.+am(m)Z(23)将式（23）代入式（22），可求出多项式系数bm与cm和am（i）的关系为Cn =bN(24)Nbm =Cm + 2 Ciai(i m),i zzm 十(25)这样，若给出图7.26中的系数组Cm，则可求出该系统的系统函数分子多