考研数三真题及解析

1、.1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上.)(1)2 xx_.2 2x2 dx(2)已知 f ( x)1, 则 limx_.2x) f ( x0x)x 0 f (x0(3)设方程 exyy2cos x 确定 y 为 x 的函数 , 则 dy_.dx0a10L000a2L0(4)设 AMMMM, 其中 ai0, i 1,2,L , n, 则 A 1_.000Lan1an00L0(5)设随机变量 X 的概率密度为2x,0x1,f ( x)其他，0,以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件X

2、1 出现的次数 ,则P Y22_.二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.)1arctan x2x 1(1)曲线 yex2的渐近线有( )( x 1)(x 2)(A) 1条(B) 2条(C) 3条(D) 4条(2)设常数0, 而级数an2 收敛 , 则级数( 1)nan( )n 1n 1n2(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与有关(3)设 A 是 m n 矩阵 , C 是 n 阶可逆矩阵 , 矩阵 A 的秩为 r , 矩阵 BAC 的秩为 r1, 则( )(

3、A)rr1(B)rr1(C)rr1(D)r与 r1的关系由 C 而定.(4)设 0P( A)1,0P(B)1,P( A B)P(A B)1, 则( )(A)事件 A和 B互不相容(B)事件 A和B 相互对立(C)事件 A和 B互不独立(D)事件 A和B 相互独立(5)设 X1, X 2,L, X n 是来自正态总体N (, 2 ) 的简单随机样本, X 是样本均值 ,记21n2, S21n( X2,S( XiX )iX )1n1 i 12n i 121n221n( X i2,S3n( Xi), S4n i)1 i 11则服从自由度为 n1的 t 分布的随机变量是()(A)X(B)tXtS2S1

4、n1n1(C)X(D)tXtS4S3nn三、 ( 本题满分 6分 )计算二重积分(x), 其中D(x, y) x2y2xy1.ydxdyD四、 ( 本题满分 5分 )设函数 y y( x) 满足条件y 4y4y0,求广义积分y( x)dx .0y(0)2, y (0)4,五、 ( 本题满分 5分 )已知 f ( x, y)x2 arctan yy 2 arctan x ,求2 f .xyx y六、 ( 本题满分 5分 )设函数 f ( x) 可导 , 且 f (0)0, F ( x)xn 1ntn)dt ,求 limF ( x)tf(x.0x0x2n七、 ( 本题满分 8分 )已知曲线 yax

5、 (a0) 与曲线 ylnx 在点 ( x0 , y0 ) 处有公共切线 , 求 :(1)常数 a 及切点 (x0 , y0 ) ；.(2)两曲线与 x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积Vx .八、 ( 本题满分 6 分)假设 f ( x) 在 a,) 上连续 , f(x) 在 a,内存在且大于零 , 记F ( x)f ( x)f (a) ( x a) ,xa证明 F (x) 在 a,内单调增加 .九、 ( 本题满分11 分)设线性方程组x1a1x2a12 x3a13 ,x1a2 x2a22 x3a23 ,x1a3x2a32 x3a33 ,x1a4 x2a42 x3a43.(1)

6、证明 : 若 a1, a2 ,a3, a4 两两不相等 , 则此线性方程组无解；(2) 设 a1a3k, a2 a4k (k0) , 且已知1 ,2 是该方程组的两个解, 其中1111, 21,11写出此方程组的通解 .十、 ( 本题满分8 分 )001设 Ax1y 有三个线性无关的特征向量, 求 x 和 y 应满足的条件 .100十一、 ( 本题满分8 分)假设随机变量X1, X 2, X3, X 4 相互独立 , 且同分布P Xi 0 0.6, P X i 1 0.4(i 1,2,3,4) ,X1X 2求行列式 X的概率分布 .X 3X 4.十二、 ( 本题满分8 分)假设由自动线加工的某

7、种零件的内径X ( 毫米 ) 服从正态分布N (,1) , 内径小于10 或大于 12 的为不合格品 , 其余为合格品 , 销售每件合格品获利 , 销售每件不合格品亏损 . 已知销售利润 T ( 单位 : 元 ) 与销售零件的内径 X 有如下关系 :1,X10,T20,10X12,5,X12.问平均内径取何值时 , 销售一个零件的平均利润最大?.1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分 .)(1) 【答案】 ln 3【解析】利用被积函数的奇偶性 , 当积分区间关于原点对称 , 被积函数为奇函数时 , 积分为0；被

8、积函数为偶函数时, 可以化为二倍的半区间上的积分. 所以知2x2x2x原式2 2x2 dx2 2x2 dx2x2 dx0 221x2 dx20 2ln (22ln 6ln 2ln 3.x2 )0(2) 【答案】 1【解析】根据导数的定义, 有 f( x0 ) lim f ( x0x)f ( x0 ) .x0x所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式, 从而求得极限值 . 由于limf ( x0x0limf ( x0x0( 2)limx02x)f (x0x)x2x)f (x0 )f ( x0xf ( x0 2x) f ( x0 ) 2xx) f ( x0 )f ( x0x) f (x0 )lim

9、2 f ( x0 ) f ( x0 ) 1.x 0x所以原式limx11 .x0 f (x02x)f ( x0x)1yexysin x(3) 【答案】 y2 yxexy【解析】将方程 exyy2cos x 看成关于 x 的恒等式 , 即 y 看作 x 的函数 .方程两边对 x 求导 , 得xyyexysin x .e ( yxy ) 2 yysin xyxexy2 y【相关知识点】两函数乘积的求导公式：f ( x)g(x)f ( x)g( x) f ( x) g (x) .00L01an10L00a1(4)【答案】1L000a2MMMM00L10an 1010B 1【解析】由分块矩阵求逆的运算

10、性质,有公式A,B0A 101a11a11a2且a2OOan1an00L01an10L00a1所以 , 本题对 A 分块后可得 A 101L00.a2MMMM00L10an1(5)【答案】 964111 , 求得二项分【解析】已知随机变量X 的概率密度 , 所以概率 PX2 2xdx204布的概率参数后 ,故Y B(3,1).4P Y2C32464由二项分布的概率计算公式 ,所求概率为42139 .【相关知识点】二项分布的概率计算公式：.若 YB(n, p) , 则 P YkCnk pk (1p)n k ,k0,1,L , n ,二、选择题 ( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分, 满分 1

11、5 分 .)(1) 【答案】 (B)【解析】本题是关于求渐近线的问题.1x2x1由于lim ex2arctan,x(x1)(x2)4故 y为该曲线的一条水平渐近线 .41x2x1又2arctan.lim ex(x1)(x2)x 0故 x0 为该曲线的一条垂直渐近线, 所以该曲线的渐近线有两条 .故本题应选 (B).【相关知识点】水平渐近线：若有limf (x) a , 则 ya 为水平渐近线；x铅直渐近线：若有lim f ( x), 则 xa 为铅直渐近线；x a斜渐近线：若有 alim f (x) ,blim f ( x)ax 存在且不为, 则 yax b 为斜渐xxx近线 .(2) 【答案

12、】 (C)【解析】考查取绝对值后的级数. 因( 1)n | an |1 an21 11 an21,n222 n222n2( 第一个不等式是由 a 0,b 0,ab1 (a2b2 ) 得到的 .)2又an2 收敛 ,1收敛 ,( 此为 p 级数：1 当 p1 时收敛；当 p1 时发散 .)n1n 1 2n2n1 n p121( 1)n | an |所以n 1 2an2n2 收敛 , 由比较判别法 , 得n 1n2收敛 .故原级数绝对收敛, 因此选 (C).(3) 【答案】 (C)【解析】由公式r ( AB)min( r (A), r (B) , 若 A 可逆 , 则r ( AB)r (B)r (

13、EB)r A 1 ( AB)r ( AB) .从而 r ( AB)r (B) , 即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩, 所以选 (C).(4) 【答案】 (D)【解析】事实上, 当 0P(B)1时, P( A | B)P(A | B) 是事件 A与 B 独立的充分必要条件 , 证明如下：若P(A|B)P(A|B), 则P( AB)P( AB) , P( AB) P( B) P( AB)P(B) P( AB) ,P(B)1 P(B)P( AB)P( B) P( AB)P( AB) P(B) P( A) ,由独立的定义 , 即得 A 与 B 相互独立 .若 A 与 B 相互独立 , 直接应用乘法公

14、式可以证明P(A|B) P(A|B) .P(A|B) 1 P(A|B) P(A|B).由于事件 B 的发生与否不影响事件A 发生的概率 , 直观上可以判断 A 和 B 相互独立 .所以本题选 (D).(5) 【答案】 (B)【解析】 由于 X1, X 2 ,L , X n 均服从正态分布 N (, 2),根据抽样分布知识与t 分布的应用模式可知X:N (0,1),其中 XnnX ) 2( Xi2Xi1:( n1) ,21nn1 i 1即XX: t (n1) .1nS22( XiX )n(n1) in11因为 t 分布的典型模式是: 设 X : N(0,1), Y :2TX记作 T : t(n)

15、 .服从自由度为 n 的 t 分布 ,Y / n1 nXi ,n i 1n: t(n1).( X iX ) 2(n) , 且 X ,Y 相互独立 , 则随机变量因此应选 (B).三、 ( 本题满分6 分 )22【解析】 方法 1：由 x2y2x y 1 , 配完全方得 x 1y13 .222.令 x11r sin, 引入极坐标系 (r ,) , 则区域为r cos , y22D(r , ) 02 ,0 r3 .223故(xy)dxdyd2 (1r cosr sin)rdr0D032132(cossin)d4d22003213sincos23.d040222223 .方法 2：由 x2y2x y

16、1, 配完全方得x1y1222引入坐标轴平移变换：u1, vy1, 则在新的直角坐标系中区域D 变为圆域x22D1(u, v) | u2v23 .2而 xyuv1, 则有 dxdydudv , 代入即得( xy)dxdy(uv1)dudvududvvdudvdudv .DD1D1D1D1由于区域 D1 关于 v 轴对称 , 被积函数 u 是奇函数 , 从而ududv0 .D1vdudv0 , 又dudv D13同理可得,D1D12故( x y)dxdy3.D2四、 ( 本题满分 5分 )【解析】先解出y( x) , 此方程为常系数二阶线性齐次方程, 用特征方程法求解 .方程 y 4 y4 y

17、0 的特征方程为2440,解得 122.故原方程的通解为y(C1 C2 x)e 2 x .由初始条件y(0)2, y (0)4 得 C12,C20,.因此 , 微分方程的特解为y2e 2 x .再求积分即得0y( x) dx2e 2 xdx0limblime 2x b1.e 2 xd 2xb0b0【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程ypyqy 0 ：首先写出方程 ypyqy 0的特征方程： r 2prq0 , 在复数域内解出两个特征根 r1 , r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 r1 , r2 , 则通解为 y C1erx1 C 2er2 x;(2)两个相等的实数

18、根 r1r2 , 则通解为 yC1C2 x erx1 ;(3)一对共轭复根 r1,2i , 则通解为 ye xC1 cos x C2 sin x .其中 C1,C2 为常数 .五、 ( 本题满分5 分 )【解析】由复合函数求导法, 首先求f, 由题设可得xf2xarctan yx2yy21xx1y2x21x2yxy2xarctanyx2 yy32 x arctanyxx2222y .yxyx再对 y 求偏导数即得2 f2x1 12x21x2y 2.x y1y2 xx2y2x2y 2x【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u(x, y), v(x, y) 都在点 (x, y) 具有对 x

19、及对 y 的偏导数 , 函数 zf (u,v) 在对应点 (u, v) 具有连续偏导数 , 则复合函数z f ( (x, y),(x, y) 在点 ( x, y) 的两个偏导数存在, 且有.zzuzvuv ；xu xv xf1 xf2 xzzuzvufv .yu yv yf1 y2 y六、 ( 本题满分 5 分)【解析】运用换元法, 令 xnt nu ,则F ( x)xn 1f ( xnn1 xnf (u) duF( x)xn 1n).tt)dtf ( x由于 lim F ( x)0n 0为“ 0 ”型的极限未定式, 又分子分母在点0 处导数都存在 , 运用洛必达x 0 x2 n0法则,可得F

20、 ( x)F ( x)xn 1 f ( xn )limx2nlimlim2nx2 n 1x0x0 2nx2n 1x01f (xn )1f ( xn )f (0),limxnlimxn02n x 02n x 0由导数的定义 , 有原式1f (0) .2n【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：(t )f (x)dx , (t) ,(t ) 均一阶可导 , 则若 F (t )(t )F(t)(t ) f(t)(t )f(t ) .七、 ( 本题满分 8 分)【解析】 利用 ( x0 , y0 ) 在两条曲线上及两曲线在( x0 , y0 ) 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出 a, x0

21、, y0 , 然后利用旋转体体积公式bf 2 ( x)dx 求出 Vx .a(1)过曲线上已知点 ( x0 , y0 ) 的切线方程为yy0k (xx0 ) , 其中 , 当 y ( x0 ) 存在时 ,ky ( x0 ) .由 y a x 知 ya. 由 yln x 知 y1.2x2x由于两曲线在 (x0 , y0 ) 处有公共切线 , 可见a1得 x012x0,a2 .2x0.1分别代入两曲线方程, 有 y0a11y01.将 x0a2ln1 lna2a2a2于是a1 , x01e2,ea2从而切点为 (e2 ,1) .(2)将曲线表成 y 是 x 的函数 , V 是两个旋转体的体积之差,

22、套用旋转体体积公式, 可得旋转体体积为Vxe21x )2dxe22dx2e22xdx(lnx)e4ln0e121e2e2e2e2x ln 2ln xdxe2xx2.24112212【相关知识点】由连续曲线yf ( x) 、直线 x a, xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋Vb2 ( x)dx .转一周所得的旋转体体积为：fa八、 ( 本题满分6 分)【解析】 方法 1:F ( x)f( x)( xa)f ( x)f ( a)12 f ( x)( xa)f ( x)f (a) ,xa2xa令( x)f (x)( xa)f (x)f (a)( xa),由( x)f( x)( xa)f( x

23、)f( x)(xa) f(x) 0( xa),知( x) 在 a,上单调上升 , 于是(x)(a)0 .故F ( x)(x)0 .x2a所以 F (x) 在 a,内单调增加 .f ( x)( x a)f (x)f ( a)1f (x)f ( x)f (a) .方法 2:F ( x)x2aaxx a由拉格朗日中值定理知f ( x)f (a)f() , (ax) .xa1于是有F (x)x f( x)f () .a由 f ( x) 0知 f( x) 在 a,上单调增 , 从而 f ( x)f ( ) ,故 F(x)0.于是 F (x) 在 a,内单调增加 .【相关知识点】 1.分式求导数公式：uu

24、 v uvvv22. 拉格朗日中值定理：如果函数f (x) 满足在闭区间 a,b 上连续；在开区间 a,b内可导 ,那么在 a, b 内至少有一点 (ab) , 使等式 f (b) f (a)f ( )(b a) 成立 .九、 ( 本题满分11 分)【解析】 (1) 因为增广矩阵A 的行列式是范德蒙行列式, a1, a2 ,a3, a4 两两不相等 ,则有A(a2a1 )( a3a1)( a4a1 )(a3a2 )(a4a2 )(a4a3 )0 ,故r ( A) 4 . 而系数矩阵 A 的秩 r ( A) 3 , 所以方程组无解 .(2) 当 a1 a3 k, a2 a4k (k0) 时 , 方程组同解于x1kx2k 2 x3k3 ,x1kx2k 2 x3k 3.1k因为2k 0 , 知 r ( A) r ( A) 2 .1k由 nr ( A) 3 2 1 , 知导出组 Ax0 的基础解系含有1 个解向量 , 即解空间的维数为 1.由解的结构和