线性代数期末复习试题

1、C 也可逆.2009-2010 学年第一学期线性代数 B一、填空题（每空3 分，共24 分）1 设1,2 , 3 均为 3 维向量，已知矩阵A(1,2, 3)，B( 123,3 192 27 3,21428 3)，且 A1，那么 B。2. 设分块矩阵 CAO， A ， B 均为方阵，则下列命题正确的个数为。OB（A ）若 A ， B 均可逆，则（B ）若 A ， B 均为对称阵，则（C）若 A ， B 均为正交阵，则（D ）若 A ， B 均可对角化，则C 也为对称阵C 也为正交阵C 也可对角化234134513.设 D，则 D 的第一列上的所有元素的代数余子式之和为。456178914.设向

2、量组（ I）：1 ,2 ,L , r 可由向量组（ II ） :1, 2 ,L ,s 线性表示，则（注：此题单选）。（A ）当（B ）当（C）当（D ）当r s 时，向量组（ II ）必线性相关r s时，向量组（ II ）必线性相关r s 时，向量组（ I ）必线性相关r s时，向量组（ I ）必线性相关5.已知方阵 A 满足 2 A23 AO，则 (AE) 1。6.当矩阵 A 满足下面条件中的时，推理“若 ABO，则 BO ”可成立。（注：此题可多选）（A） A可逆（ B） A 为列满秩（即A 的秩等于 A 的列数）（C） A 的列向量组线性无关（D） AO7.设矩阵 A ， B 分别为 3

3、 维线性空间 V 中的线性变换 T 在某两组基下的矩阵，已知 1, 2为A 的特征值， B 的所有对角元的和为5 ，则矩阵 B 的全体特征值为。8.设 Jn 是所有元素均为1的 n 阶方阵（ n2），则 Jn 的互不相同特征值的个数为。200100112二、（ 10 分）已知矩阵 A011 ，B052 ，C101，矩阵 P, X031021030满足PAB，PXC，求矩阵 X 。'.x13x2x30三、 (10 分 ) 设线性方程组x14x2ax3b ，问当参数 a,b 取何值时，2x1x23x351）此方程组无解？2）此方程组有唯一解？3）此方程组有无穷多解？四、（ 10 分）设 A

4、 为 4 阶方阵， 4 维列向量 b0，R A2 ，若 p1, p2 , p3, p4 都是非齐次方程组 Axb 的解向量，且满足232p1p2201， p2 p3， p3p4010421（ 1）（ 6 分）求齐次方程组 Ax 0 的一个基础解系。（ 2）（ 4 分）求 Ax b 的通解。五、（ 16 分）将二次型f x1 , x2 , x3x124x226x324x1 x24x1 x38x2 x3 用正交变换化为标准形。六、（ 14 分）设 V 为所有 2 阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间，定义V 上的变换 T 如下：对任意 xV，T XAXXTA，其中 A12， XT表示 X的转置

5、21矩阵。（1）（ 6 分）证明 T 是 V 上的一个线性变换。（2）（8 分）求 T 在 V 的基 E11100100000， E120， E211， E2201000下的矩阵。b1a1a2b2a2a3七、（ 1）（ 8 分）已知向量组 a1 , a2 ,L , an 线性无关， 向量组 b1,b2 ,L , bn 满足Mbn 1an 1anbnana1分别讨论当 n4 和 n5 时，向量组 b1,b2 ,L , bn 是否线性相关？（2）（ 8 分）设1 ，2 为方阵 A 的两个不同的特征值，1, 2为 A相应于1 的两个线性无关的特征向量，2,3 为 A 相应于 2 的两个线性无关的特征

6、向量，证明向量组1,2,3,4线性无关。'.2007-2008 学年第一学期线性代数B2007-2008 学年第一学期线性代数B一、（ 24 分，填空与选择题）1.设 A 是 m 阶方阵， B 是 n 阶方阵，且 Aa ， Bb ， CEA，BO则 C。2.设 A，B ， AB 均为可逆矩阵，则矩阵A 1B 1 也可逆，则其逆矩阵为（）。A. B(AB) 1AB. A1(A B)1B1C. (A1B 1)TD. (ATBT) 11 A11 A*3.若 A是 5阶方阵，且A4，则（）42A.1B.1C.8D.以上答案均不正确。244.设 1,2, 3,4 是齐次线性方程组Ax0的基础解系

7、，则下列向量中不再是Ax0的基础解系的为（）。（A） 1, 12 , 123 , 1234（B） 12 ,23 ,31 ,41（C） 12 ,23 ,31 ,41（D） 12 ,23 , 31 ,415.若 3 阶方阵 A 的特征值为1, 0, 2 ，则与方阵 BA3A2E 相似的对角矩阵为。6.设 1,2 , 3 是非齐次线性方程组Ax b 的解，1k23 ，则是 Axb 的解的充分必要为k，1k 23 ，则是 AxO 的解的充分必要为k。7.设 A、B 为 n 阶方阵，且秩相等，即R( A)R(B) ，则有（）。A.R( AB)0B.R( AB)2R( A)C.R( A, B)2R( A)

8、D.R( A, B)R( A)R(B)8.已知实二次型为正定二次型f x1, x2 , x3x124x222x322ax1 x22x2 x3 ，则实常数a 的取值范围为。'.112二、（10 分）设矩阵 A022，已知多项式 g xx32x2 1 ，求行列式 g A 。103101三、（8分）设 A和 B都是 3阶方阵， E 为单位阵， ABEA2B，其中 A020，101求 B 。13311四、（ 10 分）已知向量组 10 ， 2n ， 35与向量组 13， 2110m22有相同的秩，并且3 可由1 , 2 线性表示，求 m, n 的值。五、（ 10 分）已知线性方程组x1ax22x31x1x2ax32，问 a 取何值是方程组有无穷多解？并用其对应的齐次线性方程组的5x15x24x31基础解系表示其通解。六、（ 12 分）设三阶实对称矩阵A 的秩为 2， 126 是 A 的二重特征值， 若1221都是 A 的属于特征值6 特征向量，求A 及它的另一个特征值与特征向