学案23两角和与差的正弦、余弦、正切

1、镇江市丹徒高级中学2015高三数学一轮复习理科导学案班级：高三班学号姓名第8页共6页总课题高三一轮复习-第四章三角函数4.3两角和与差的正弦、余弦、正切总课时课型第5、6课时复习课1.了解两角差的余弦公式的推导2能利用两角差的余弦公式导出两角和(差)的正弦、正切公式3. 能熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用4. 熟悉公式的正用、逆用、变形应用.教学重占八、难点指导教学准备1两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用2熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式同上讲练结合导学案导学步步高一轮复习资料自主学习两角和(差)的正弦、余弦及正切个案补充第1课时：一、基础知识梳理1 . (1)两角和与差的

2、余弦cos( a+ 3=COs( a 3=(2)两角和与差的正弦sin( a+ 3 =sin( a 3 =(3)两角和与差的正切(a, 3, a+B, aB均不等于 kn+n，k Z)tan( a+ 3 =tan( a 3 =其变形为：tan a+tan = tan( a+ 3(1 tan aan 3, tan a tan = tan( a 3(1 +tan aan 3.(4) 二倍角公式sin 2 a=cos 2 a= tan 2 a=(5) 降幕21+ cos2a. 21-cos2acos a =；sin a =21 +cosa =1 + sin Ct =(6) 二倍角切化弦公式.J si

3、n a 1 - cos° tan =21+ cosasi net2 .辅助角公式1sin a cosG = si nN21 cosa =_1 sin Ct =辅助角公式 ：asin X + b cos x 一 Ja2 + b21 asin X +, cos x iIJa2 +b2Ja2 +b2丿=g +b (sin X cos® + cosx sin 半)=Ja2 + b2 sin(x+申)(其中，辅助角 点(a,b)所在的象限决定,tan半).aW所在象限由二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1) 两角和与差的正弦、余弦公式中的角a, 3是任

4、意的.(2) 存在实数 a, 3,使等式sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立-(3) 在锐角 ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.(4) 当 a+ 3= n寸，(1 + tan a(1 + tan 3)= 2.2. cos 43 cos77 + sin 43 cbs 167 的值为.3 .(2013课标全国n )设0为第二象限角，若tan1-，贝U sin0+ cos0=4. (2012江西改编)若sin a+ cos a = 1则tan 2 a等于sin a cos a 25 .已知锐角 a, B满足 sin %=¥, cos 3= dO

5、0,则 a+ 3=6. tan 20" +tan 40" + Tstan 20' tan 40° =7. sin X + cosx =1 .-SIn X -2cosx =2cos +萌si 门診=.三、典型例题分析题型一：三角函数式的化简与给角求值例 1: (1) sin(3x) sin(3x) +cos(3x) 9os(3x)的值为.434335(2)已知a为第二象限的角，sina ，P为第一象限的角，cos P =.则513tan(2a - P)的值为_,亠 sin 15 cos15(3)化简：sin 15 + cos15sin7： + cos15：s

6、in8cosr -sin 15" sin8变式训练：2cos 10 sin 20 °古曰(1) ” 。的值是' >sin 70 求值：sin50*1 +y3tan102sin50 b + sin80°(1 +73tan10')Jl + cos10第二课时：题型二：三角函数的给值求值 例 2： (1)已知 0< 9<2< a<n 且 cos1 .-9，sin23求cos(a+ 9的值;3312、已知锐角 a, 9满足sin ( a+ 9= , sin 3=，求cosct的值.513a,变式训练：,.n 3 n(1)已知

7、0<9<4< a< Y，cos3.sin55,求 sin( a+ 9 的值.13(2012江苏)设a为锐角，若cos(a+ £)= 4则si冷 (2010广州高三二模)已知tanj+ a2, tan 3= gsin( a+ 9 2sin acos 3 , ,+(2)求的值.2sin asin 3+ cos( a+ 9(1)求tan a的值;例3: （1）已知sin ay5, Sin（ a 0 =四，a, 0均为锐角，则角0等于510a,(2)已知 sin a=5, sin P = -1°，且 a, P 均为锐角，则 a + P =510(3)已知 s

8、in a=色,sin P =也0，且a, P均为钝角，求a + P的值.510变式训练:(1)已知 a,氏(0, n,且 tan (a 0 = 2， tan B= 7，求 2 a B 的值-J5（2012江苏高考15改编）在 也ABC中，已知tan B =3tan A且若cosC ，求A的值. 5题型四 三角变换的简单应用例 4：已知函数 f(x)=sin2x+2J3sin xcosx+3cos2x，求（1）函数f （x）的单调增区间；（2）已知f （a） =3，且a亡（0,兀），求a的值。镇江市丹徒高级中学 2015高三数学一轮复习理科导学案班级：高三 班学号姓名2.Sin 22 30 co

9、s22 03Oy变式训练:2 1(2013 北京)已知函数 f(x)= (2COSX 1) sin 2x+ cos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；若a 2寸且f(a=¥，求a的值.五、课堂总结: 六、教(学)反思: 七、课后作业1、步练P243 A组;2、一轮复习作业纸。一轮复习作业纸：4.3两角和与差的正弦、余弦、正切、填空题1.已知 a ( n 0), sin a=贝U tan(a+ ：)=第5页共6页3.已知 tan a tan f是方程 x2 + /3x + 4= 0 的两根，且 a、( 2贝tan(a+ 3)=a+ f的值为.普，则COS(a+ f)等于4.

10、在 ABC中，已知三个内角 A, B, C成等差数列，则tan A + tan C + J3tan Atan C的值为5. 若 0< a<n n< 3<0, cos(n+ %)=1, cos(nf=6. (tan10o - 妁Lsin4O0 =镇江市丹徒高级中学2015高三数学一轮复习理科导学案班级：高三班学号姓名第21页共6页7 .若 sin-a161一，贝y cos3V 38定义运算=ad be,若 cossin aI cos asin 3cos 3=普，0< 3< a<n,则 3=、解答题9.设 cos（a哄一4，cosP）=13513a P （

11、二兀），a + P 亡（二，2兀），求 cos2a , cos2P。2 210.已知 tan a= 1, cos A 誓,a （才，n,n3 (0,-)，求tan(a+ 3)的值，并求出a+ 3的值.总课题高三一轮复习-第四章三角函数4.3两角和与差的正弦、余弦、正切总课时课型第5、6课时复习课1.了解两角差的余弦公式的推导2能利用两角差的余弦公式导出两角和(差)的正弦、正切公式3. 能熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用4. 熟悉公式的正用、逆用、变形应用.教学重占八、难点指导教学准备1两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用2熟练应用二倍角的正弦、余弦、正切公式同上讲练结合导学案导学

12、步步高一轮复习资料自主学习两角和(差)的正弦、余弦及正切个案补充第1课时：一、基础知识梳理1 . (1)两角和与差的余弦cos( a+ 3=COs( a 3=(2)两角和与差的正弦sin( a+ 3 =sin( a 3 =(3)两角和与差的正切(a, 3, a+B, aB均不等于 kn+n，k Z)tan( a+ 3 =tan( a 3 =其变形为：tan a+tan = tan( a+ 3(1 tan aan 3, tan a tan = tan( a 3(1 +tan aan 3.(4) 二倍角公式sin 2 a=cos 2 a= tan 2 a=(5) 降幕21+ cos2a. 21-c

13、os2acos a =；sin a =21 +cosa =1 + sin Ct =(6) 二倍角切化弦公式.J sin a 1 - cos° tan =21+ cosasi net2 .辅助角公式1sin a cosG = si nN21 -cosct =_1 sin Ct =1-，贝U sin0+ cos0=1 .-SIn X -2化简：sin15+ COS15方法1：学生说,方法2:学生说,辅助角公式：asinx+bcosxrE冷sinx+岛cosx丿W所在象限由=和 +b2 (si n X cos® +cosx si n 半)=J a2 + b2 si n(x + 申

14、)(其中，辅助角 点(a,b)所在的象限决定,tan半).a二、基础练习训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1) 两角和与差的正弦、余弦公式中的角a, 3是任意的.(2) 存在实数 a, 3,使等式sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立-(3) 在锐角 ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定.(4) 当 a+ 3= n时(1 + tan a(1 + tan 3)= 2.2. cos 43 cos77 + sin 43 cbs 167 的值为.3 .(2013课标全国n )设0为第二象限角，若tan4. (2012江西改编)若sin a+

15、cos a = 1则tan 2 a等于sin a cos a 25 .已知锐角a, B满足sin %=¥，cos 3=肆严，则a+ 3=6. tan 20" +tan 40" + Tstan 20' tan 40° =7. sin X + cosx =73cosx =2cos +羽si 门洽=.三、典型例题分析题型一：三角函数式的化简与给角求值例 1： (1) sin( -3x) sin( -3x) + cos( -3x) tos( -3x)的值为.434335(2)已知a为第二象限的角，sina, P为第一象限的角，cos P = .则513t

16、an(2a - P)的值为_sin 15 cos15由于15 = 4一 30°所以求出sin15 ° cos15°的值代入即得：原式弩.3由于 咼=tan(n- a，所以，想起在原式分子、分母上同除以sin15 °巳卜 tan15 1.。 一、 V3原式=+“= tan (45 15 )= 十.tan 15 + 13方法3:由于 sin15 cos15)=V2sin(15 45)= V2sin30 °,rsin15 + cos15 =心cos(45 15) = 2cos30，所以，原式=tan30 =号方法4 :由于(sin15 cos15&#

17、176;) X (sin15 + cos15° = sin215。 cos215 °= cos30 ；所以在在原o2式分子、分母上同乘以(sin15。一 cos15° ,原式=(sin15 cos15 )X (sin15 + cos15 )1 sin 30 =书-cos30°3方法5：分子分母平方，得(sin15 - cos15 °21- sin30 sin 15 + cos151 + sin30 ° 3'E 亠 sin15 - cos15因为耐° 0,所以竺5 -cos15+ cos15sin 15 + cos15

18、求值:sin / +cos15 sin 8cos7' -sin 15sin 8变式训练：(1) 2cos 10 sin。20 的值是sin 70 求值：sin50°(1 +>/3tan10")2sin50 “ + sin8O0(1 +73tan10：)+ cos10第二课时：题型二：三角函数的给值求值例 2: (1)已知 0< 3<2< a< n 且 cos (a 2卜一27求COS(a+ 9的值;319，sin已知锐角a,312、9满足 sin ( a+ 9= 一，sin 3=，求 coset 的值.513变式训练:(1)已知 0&l

19、t;3<n< a<3jn，cos3, 5"曾+ 3寺，求sin( a+ 9的值.(2012江苏)设a为锐角，若cos(a+5，则si门+12(2010广州高三二模)已知ta4+ a 2, tan 3=夕sin( a+ 3 2sin acos 3 .企(2)求的值.2sin asin 3+ cos( a+ 3求tan a的值;题型三：三角函数的给值求角例3： （1）已知sin仏二乂5, sin（ a 3 = V, a, 3均为锐角，则角3等于510已知sin 名n5P = 0，且a, P均为锐角，则a + P =10 亦 n(3)已知 sin a = -,sin P5

20、=普，且鼻,p均为钝角，求小的值.变式训练:(1)已知 a, 3 (0, n,且 tan(a3 = 2，tan 3=- 7，求 2 a B的值.（2012江苏高考15改编）在MBC中，已知tanB=3tanA且若cosC ,求a的值. 5题型四 三角变换的简单应用例 4：已知函数 f(x)=sin2x+2j3sin xcosx+3cos2x ,求（1）函数f （x）的单调增区间；（2）已知f （a） =3，且a壬（。，兀），求a的值。变式训练:2 1(2013 北京)已知函数 f(x)= (2cos x 1) sin 2x+ cos 4x.(1) 求f(x)的最小正周期及最大值；若a 2 n)且f(a=¥，求a的值.2 1解 (1)f(x)= (2cos x 1)sin 2x + cos 4x1=cos 2x sin 2x+ qCOS 4x=2(sin 4x+ cos 4x) = 2 sin(4x+ 4丿 f(x)的最小正周期T=n最大值为¥(2) 由 f( a = ¥，得 sin(4a+ n= 1.u 仕 、血, n 17 n-n，则 4<4 a+ 4< 42.sin 22 cos22g =3.已知tan a tan 3是方程x2+ /3x + 4= 0的两根，且 a+ 3的值为.a 3 n，刃，贝y