导学单12-21(知识篇)

1、江苏省海门实验学校2013级高一年级双休日导学单（三角恒等变换一一知识篇）【学习目标】1、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式2、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系 3、能运用上述公式进行简单的恒等变换 .【知识网络】13【要点梳理】要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin（ - 1 ）= ；cos（、£ 二）二 ；tan（二丨）= ；要点诠释：1 公式的适用条件（定义域）：公式、对任意实数 a , B都成立，这表明、是 R上的恒等式；公式中:J R,且1、1 - - k 二（k Z）22 正

2、向用公式、，能把和差角以二卜）的弦函数表示成单角 a , 3的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角C【士戸）的弦函数公式正向用是用单角的正切值表示和差角 （二|；）的正切值化简.要点二：二倍角公式1.在两角和的三角函数公式S：. 一：，. 一：中，当-时，就可得到二倍角的三角函数公式sin 2:S2 ： , C2 : , T2 ：:（S2：.）；tan2： -(T2-.).要点诠释：ik i1在公式S2 -,C2-中，角a没有限制，但公式t2- a中，只有当禾口(k Z)422时才成立；2. 余弦的二倍角公式有三种：cos2> =cos2二 一sin2-： = 2cos2

3、 -1= 1 2sin2、；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幕和扩角降幕的作用.Ot CL3. 二倍角公式不仅限于2 a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，'是一的二倍，243是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是2灵活运用这些公式的关键.要点三：二倍角公式的推论升幕公式：1 cos2： =2cos 二,1-cos2： =2sin :1降幕公式：sincos sin 2> ；221 -cos 2：si n ：221 cos2-：scos.2要点四：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证

4、明是三角恒等变换的基本题型：1 .三角函数式的化简(1) 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等.(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.2三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换 消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于"变角”，如.=(二'''J - : ,2(二

5、1'.-')( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3) 给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及 函数的单调性求得角.3.三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同 一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消 参法或分析法进行证明.【典型例题】类型一：正用公式2-1,cos，求 COSC-)的值.34【思路点拨】因为不知道角：所在的象限，例1.已知:sin :-【解析】

6、由已知可求得 cos :-31分别讨论求cos（：-）的值.215cos.4所以要对5 , sin ：二 1 -3'当：.在第一象限而1在第二象限时,cos（：； I；） =cos： cos.亠sin ： sin :.512 ,15二（一一）34312当一:i在第一象限而在第三象限时，肚 亦12届cos(：-)()()3434当在第二象限而1在第二象限时，1215)-4342 15 、.512COS(：£ .，)=(_ 2 15512当在第二象限而1在第三象限时，R 亦 12J15cos(：)=()(- ) ()3434【总结升华】分类的原则是：(1)分类中的每一部分是相互独

7、立的;215 - .5122 )一次分类按一个标准；(3) 分类讨论要逐级进行掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的.举一反三：、，a 1応【变式1】已知tan，求sin( )的值.2 2 6【解析】sin（:+） =sin 口 cos + cos。sin6 6 61 2 ： 1 2 ：'=、-3s in cos cossin 2 2 2 2 2 2 : 1 2 ： 1 2 -.3s in cos cos sin =22_22_222 a 2 acos sin2 2 3 tan-1_2 21 + 2 ： tan 2 23 4.31

8、 tan2a10 .2Jt3例2.已知-< :-<一兀0 ：COS（一 - -）44 ，44=3 , sin（?二 ）-，求 sin（-：；'）的5413值.【思路点拨】注意到更好地使用已知条件欲求【解析】T3 3()-()U - -)，应把(),()看成整体，可以4 4244sin(圧亠)，只需求岀-cos(：) 2.4一叮 一 -: 0 ，sin(_ _ :)二2445:3 ； ：:. ， cos(?'亠.：:)= 124471冬4 sin(二-cos，(-八“)R n二')一(；)43 兀3-cos() cos(-) sin(二4 4412 3 5 z

9、 456( )=13 5 13565【总结升华】13：)sin()3 兀兀（1）解题中应用了 （）-（）（二4 42-）式子的变换，体现了灵活解决问题的能力,应着重体会，常见的变换技巧还有-（二,2 ：=（用、）-（：；'），2 ：=（:;亠）-（:-）,2a=(a +B)+g 等.（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用举一反三:【变式1】已知cos( )=-，且，求cos (2二+ ')的值

10、.5212JI3TJI2() (和差与倍半的综合关系)121243T 且一，sin()2 12二二 2412'252 、丁cos2() = 2cos () _1 二121225【思路点拨】角的关系式:【解析】T cos（ ）12江1271二 sin 2() =2sin()cos( )-12 12 Jinn1212 cos (2d +)cos2( )一 = cos2( )-sin2()1212421212二工兰）225253K250【变式2】已知sin(), cosj-232 )=-1口9，且二宀的值.【解析】角的关系式:0( + P2=(:')-(-)（和差与倍半的综合关系）2

11、2:,02jrakPn,0 :42224anTtjip. <-p,< a -< n42242又 si n(a)2二,cos (P用一2322冋訂）sin4一5Ja + PPa coscos(222P a RP a=cos(： -/cos(孑- -) sin(： _-)sin(? _)1)迈心Z亘93932727 - 5、2 虫 239于是有 cos(：-) = 2cos1 = 2() -1.227729类型二：逆用公式例3.求值：(1) 原式二 tan45 0tan15 0 二 ta n(45° 15°) =ta n60° = 一3 ；1 - t

12、an45 tan15tan 原式=sin23ocos8o sin(90o-23o)cos(90o 8o)(sin4 7o30 - cos4 7o30) -(sin23o cos8o - cos23o sin8o)(sin2 7o30 cos2 7o30 )(sin2 7o30 - cos2 7o30 )0 ；( 2) (sin23°cos8o sin67o cos98°)(sin-sin(23o -8o)(cos27o30 -sin2 7o30) 7o30 - cos47°30) 1 ta n 75【思路点拨】题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和

13、角公式等先化简再计算.(1)利用 tan45 =1 将 1 tan15 视为 tan 45 tan 15，将 1 - tan15 视为 1 - tan45 tan15 , 则式子恰为两角和的正切【解析】二一sin 15 cos15 =sin30 =12【总结升华】(1)把式中某函数作适当的转换之后, 所谓“逆用公式”.再逆用两角和(差)正(余)弦公式，二倍角公式等，即(2)辅助角公式:asin-"'bcos：=a2b2 sin( ?丨)，其中角在公式变形过程中自然确定举一反三:【变式1】化简:(1) 2cos15 2,3sin15 ；(2) 2cosx-2 3sin x ；(

14、3)2cosx ,2sin x.【解析】(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=4(*cos15#sin15)=4sin(3015 )=2、2 ；1 、3二二二4(-cosx sin x) =4(sin cosx-cos sin x) = 4sin(x);2 2666J2(2兀JTH2( cosx sin x) = 2(sin cosx cos sin x) = 2sin(x)22444【变式 2 】已知 si n(： - - )cos ： - cos(： - - )s in 二3，那么COQ的值为【解析】sinC - - )cos :_cos(： - - )sin:-sin(匚-_) -

15、： = sin( _ _ ) _ _ sincos2 - -1 -2sin27 .25例4.求值：卜卜兀 23(1) cos36 cos72 ； (2) coscoscos二7 771)【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积方法是分子分母(分母视为 同乘以最小角的正弦.(1)原式=0 0 0sin 36 cos36 cos72sin 360【解析】1 si n72°cos7201 si n144°X = X2 sin 3604 sin 360、兀 24兀 24(2) 原式=coscoscos() = - coscoscos二77777724sin cosc

16、oscos-二7777nsin7.224sin cos cos : 777ji2si n7.8 sin 二 7it8si n71_8【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：余弦相乘；后一个角是前一个角的2倍；最大角的2倍与最小角的和与差是 二三个条件缺一不可另外需要注意2的个数应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法.举一反三：【变式】求值：cos 20 cos40 cos80 .2sin 20 cos20 cos40 cos80 原式=【解析】2sin 20°2sin40° cos40° cos80&

17、#176;2sin 80° cos80°8sin 2002 2sin200_sin 160010 8 si n208类型三：变用公式例5.在AABC中，求值:【解析】 A B，tan A tan B tan 旦 tan C tan C tan 2 2 2 2 2 2A B 二 C 丄 A B，tan2 2 2 2n=tan(2C) = cot2原式 =tan tan 旦 tan C (tan A tan B)22 22 2(1®A tan 为A B、A B C A BA=tan tan tan tan2222ABCC=ta n tan tan cot (1-ta

18、ntan )22222 2,A B +A、 B=tan tan 1-ta ntan2 2 2 21例6.化简：2cos2 :- -1(1) sin50 (13tan10 ) ； (2)H2兀2tan( )sin ()【思路点拨】(1)题中首先“化切为弦”(2)题初看有“化切为弦”同时用好“ 50 ”和“ 40 ”的互余关系，注意逆用和角公式化简；“降幕”等诸多想法，但首先应注意到()() 这个关44244系.【答案】(1)【解析】(1)原式=sin500(13sin10 )cos10cos10° 亠、3sin 10 0二 sin50 0= 2sin50 00cos10sin 30&#

19、176;cos100 cos30°si n100=2sin50 0si n800 cos100cos1000 0 0 sin 40 _ 2cos40 sin 40 cos100cos1000 二1cos10cos2：cos100(2) 原式=_2tan()sin 2()424cos2:n2si n(-：)4Ttcos( )4cos 2：兀2 二cos ()4ji2sin( )cos( )44cos2：cos2-nsin( -2：)2cos2:1【总结升华】(1) 三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角(如和差角，倍半角等)的三角函数 与每一单角的三角函数关系因而具体运用时，

20、注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察.(2) 三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幕公式:2 一 1 cos2：. 2 -1 -cos2:cos, sin2 2举一反三:【变式1】化简:(1) tan15 cot15 ； (2)13；sin 10 sin 80"【答案】(1) 4 ( 2) 4 (3)3【解析】(3)1tan 100cos5(1)原式=s竺竺cos15* sin 15*2 2sin 15 cos 15cos15 sin15,3 cos10； -Jsin10；1(2) 原式=sin 10 °cos10"1s

21、in 100(3) 原式=000cos50cos10sin40cos 402 cos 600cos20亠=4 ;sin 304sin(3 -10),=4 ；-sin 202cos40 cos800sin 803【变式2】若cOS'f5sin 10"cos10*1 sin 100si n80°si n80°2cos30'cos10° _ 頁【答案】-2【解析】由cos二Cttan =2n且-（o,彳.asin2acos2例 7已知 sin（二sin80CLta n=2 -n（%），得 sin«2 >2si n2a a2sin

22、 cos2sin：sin(：-15sin :【思路点拨】 先分析所求式tan：cos*tan ： sin :cos :5求tanC；）-tan 一怡厂的值.tan2 E” tan(卅亠 I1)sinh cos",分子、分母均为已知条件中和差角的cos sin展开式的项.13【答案】137【解析】t sin(、； 7 ) = sin ： cos 亠cos： sin :sin(： - ) = si n ： cos - - cos ： sin :13解得 sin ： cos, cos ： sin :30_ sin ： cos ：13cos ： sintan :举一反三:53015【变式1】

23、若tan、tan 1是方程x2 _3x _ 3 = 0的两根，求 耳£1的值.cos(a - P)3【答案】-32tanx 亠 tan ： =3，因而应将所求式转化成已知的结构,tan ： tan 二 3.sin (a +B)si nacosE +cosasin Pcos(：；)【解析】由已知tan 二'tan :cos-：cos ： sin -：si n ：1 tan- ： ta n ：1(-3)类型四：三角函数知识的综合应用2 CO x 例&函数f(x)=6cos23cosx-3(0)在一个周期内的图象如图所示2高点，B、C为图象与x轴的交点，且:ABC为正三角形(I)求，的值及函数f (x)的值域；8 f310 2(n)若 f (x0)',且x (求 f(x0 1)的值.53 3,A为图象的最【答案】(I)410 23 3"总 3( n)7562 co x 【解析】(I)由已知可得：f(x) =6cos2-2 TT=3cos 3 x+、3sin ，x = 2 . 3sin(，x )3、3cos x-3(心 0)又由于正三角形 ABC的高为2 3 ,则BC=42 :所以，函数f (x)的周期T =4 2=8,即匚=8,©得所以,函数f(x)的值域为-2,3,2. 38U3