《2.3.2抛物线的参数方程》导学案2

1、232抛物线的参数方程导学案 2学习目标1掌握极坐标系中抛物线曲线的方程.2会求简单的抛物线曲线的极坐标方程.知识梳理圆锥曲线的统一极坐标方程P=ep1 ecos 0(*)其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距.当e 1时，方程p=ep表示双曲线，其中p R.1 ecos 0思考探究1 用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos 0的系数的绝对值才表示曲线的离心率. 如果该常数不是1, 一定要将其转化为1，再去判别，例如方程p= 2 cos 的离心率不是1,其不表示抛物线将万程变形为14込P=1，

2、则 e1 cos 01 一=2，表示椭圆.2.我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可 由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线.学习过程例题精解例题1已知抛物线y2 = 4x的焦点为F.(1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程;(2)过F作直线l交抛物线于A, B两点，若AB = 16,运用抛物线的极坐标方程，求直线 I 的倾斜角.2【自主解答】极坐标方程为 尸_1 一 cos 6设 A( p, 6), B(p, n

3、+ 6). , 2 2AB = p + p =+1 cos 6 1 cos 卄 6=4 = 16,即卩 sin2 6=2得 sin = .sin 642故I的倾斜角为n或5冗.6 6例题2平面直角坐标系中，有一定点F(2,0)和一条定直线I: x= 2求与定点F的距离和定1直线i的距离的比等于常数2的点的轨迹的极坐标方程.【解】 过定点F作定直线I的垂线，垂足为以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系.由题意，设所求极坐标方程为=盘6 定点 F(2,0)，定直线 I: x= 2, p为F点到直线I的距离，为2 ( 2)= 4.1又常数3= e,1ep所求点的轨迹的极坐标方程为P=

4、1 ecos 6尹4T-，即 =血61?cos 6课堂作业41. 抛物线 尸 (p 0)的准线方程为 .1 cos 6【答案】pcos 6= 42. 如图4 2 4，过抛物线y2= 2px(p 0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点,MN丄AB，并交对称轴于 N.求证：mn2= af bf.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为P1 cos 0设 A( p, 0)、B(p, 0+ n，则AF BF =pp1 cos 0 1 + cos 02Pc2sin 0不妨设0 v X扌,则 MF = 1(p p)=1(pp_ 2(1 cos 0 1 + cos所以 MN

5、 = MF tan 0所以 MN2= AF BF.课后检测1如图4 2 5，已知圆F: x2 + y2- 4x= 0,抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为 B的直线I与抛物线G、圆F从上至下顺次交于 A、B、C、D四点.(1) 当直线的斜率为2时，求AB+ CD ;(2) 当B为何值时，AB+ CD有最小值？并求这个最小值.A(JYdX【解】 圆F: x2+ y2 4x= 0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距 离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系.则圆F的坐标方程为 p= 2,抛物线G的极坐标方程为 p=-一4-1 cos 0

6、设 A( P, 0、D(p, 0+ n,所以 AB = AF 2, CD = FD 2,即卩 AB+ CD = AF + FD 4= p.44.44.8.8.+ p 4=+ 4 =+ 4=亍4= 牙4.1 cos 0 1 cos 0+1 cos 0 1 + cos 01 cos 0 sin 024(1) 由题意，得tan 0= 2，所以sin 0= 5.8所以 AB+ CD = -r 4= 6.sin 0(2) AB+ CD =礼一4,sin 0当 sin2 0= 1,即0=扌时 ABF2的面积取到最小值 4.2 已知抛物线尸血，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求 FAB的面积的最小值【解】设A(p1, 0)、B0+ n，则= Pp 1 cos 0，1+.：22.p但=丿*n 1 + sin 01 cos 0+ 2 FAB的面积为1 = i2 2 1 cos 01 + sin 02=P21 cos 0 甘 sin 02P21 cos 0+ sin 0 sin 0cos 0 设 t = sin 0- cos 0,则 sin Qcos 0=耳1 t* 1 2 1 所以 1