向量地运算法则

1、实用标准文案（ 1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a) ()a 。2）分配律： ()aa ， (ab)ab 。（ 2）向量的数量积运算法则：1） a b ba 。2） ( a ) b(a b)a b a( b) 。3） ( a b) c a c b c 。（ 3）平面向量的基本定理。e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数 1, 2 ，满足 a1e12e2 。（ 4） a 与 b 的数量积的计算公式及几何意义：ab | a |b | cos ，数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 的方向上的投影

2、|b | cos 的乘积。（ 5）平面向量的运算法则。1）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a + b ( x1x2 , y1y2 ) 。2）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a - b ( x1x2 , y1y2 ) 。3）设点 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 ABOBOA(x2x1, y2 y1 ) 。4）设 a ( x, y),R ，则a (x,y) 。5）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 ab ( x1 x2y1 y2 ) 。（ 6）两向量的夹角公式：cosx1 x2

3、y1 y2（ a ( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ）。y2x2x2y21122（ 7）平面两点间的距离公式：dA , B | AB |AB AB(x2 x1 ) 2( y2y1 )2 （A ( x1, y1 ) ， B( x2 , y2 ) ）。（ 8）向量的平行与垂直：设a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，且 b0，则有：1） a | bb ax 1 y2 x2 y10 。2） ab （ a0）a · b 0x 1 x2y1 y2 0 。（ 9）线段的定比分公式：设 P (x , y )，P (x , y)，P( x, y)是线段P

4、P的分点，是实数，且 PP1PP2 ，则1 1 12221 2精彩文档实用标准文案xx1x2OP1OP211OPOPtOP1(1t )OP2 （ t）。y1y211y1（ 10）三角形的重心公式： ABC三个顶点的坐标分别为A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C( x3 , y3 ) ，则 ABC的重心的坐标为G( x1 x2x3 , y1 y2y3 ) 。33（ 11）平移公式：x'xhxx'hOP'OP PP'。y'ykyy'k（ 12）关于向量平移的结论。1）点 P( x, y) 按向量 a (h,k ) 平移后得到

5、点 P' (xh, yk ) 。2）函数 yf ( x) 的图像 C 按向量 a (h,k ) 平移后得到图像 C' : yf ( x h)k 。3）图像 C '按向量 a (h, k) 平移后得到图像C : yf ( x) ，则 C' 为 yf ( xh) k 。4）曲线 C : f ( x, y)0 按向量 a ( h, k) 平移后得到图像'h, yk )0 。C : f ( x精彩文档实用标准文案设 a=（ x ， y ）， b=(x' ， y') 。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+OA=O

6、C。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a。向量加法的 运算律 ：交换律： a+b=b+a；结合律： ( a+b)+ c=a+( b+c) 。 12、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=- b， b=- a， a+b=0. 0 的反向量为 0 AB- AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则 a- b=(x-x',y-y').如图： c=a-b以 b 的结束为起点，a 的结束为终点。精彩文档实用标准文案3、向量的数乘实数和向量a 的乘积是一个向量，记作 a，且 a =

7、· a。当 >0 时， a 与 a 同方向当 <0 时， a 与 a 反方向；向量的数乘当 =0 时， a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数，都有a=0。注：按定义知，如果a=0，那么 =0 或 a=0。实数叫做向量a 的系数 ，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 >1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（>0）或反方向（<0）上伸长为原来的倍当 <1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（>0）或××反方向（<0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： (

8、a) · b= ( a·b)=( a· b) 。向量对于数的分配律（第一分配律）：( + ) a= a+ a.数对于向量的分配律（第二分配律）：( a+b)= a+ b.数乘向量的消去律：如果实数0 且 a= b，那么 a=b。如果 a 0 且 a= a，那么 =。 24、向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b 则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b 精彩文档实用标准文案定义：两个向量的 数量积（内积 、点积 ）是一个数量 （没有方向） ，记作 a·b。若 a、 b 不共线，则 a&#

9、183; b=| a| · | b| · cos a， b（依定义有： cos a，b=a· b / |a|· |b| ）；若 a、 b 共线，则a· b=± a b。向量的数量积的坐标表示：a·b=x· x'+y · y' 。向量的数量积的运算律a· b=b· a（交换律 ）( a) · b= (a · b) ( 关于数乘法的结合律)（ a+b) · c=a·c+b· c （分配律）向量的数量积的性质a· a

10、=| a| 的平方 。a b = a·b=0。| a·b| | a| ·| b| 。（该 公式证明 如下： | a·b|=| a| · | b| · |cos |因为0 |cos | 1，所以 | a· b| | a| · | b| ）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：( a·b) ·c a·( b·c) ；例如： ( a·b)2 a2 · b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由a· b=a· c (

11、a 0) ，推不出b=c 。3 | a· b| 与 | a| · | b| 不等价4由 | a|=| b|，推不出a=b 或 a=- b。5、向量的向量积定义：两个向量a 和 b 的向量积向量的几何表示（外积、 叉积 ）是一个向量，记作a× b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“”）。若 a、 b 不共线，则a× b的模是： a×b =| a| ·| b| ·sin a，b；a×b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、 b 和 a×b 按这个次序构成 右

12、手系 。若 a、 b 垂直，则 a× b=0。精彩文档实用标准文案向量的向量积性质： a× b是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 。a× a=0。a 垂直 b = a× b=0向量的向量积运算律a× b=- b× a（ a）× b=（ a× b） =a×（ b）a× （ b+c） =a×b+a× c.注：向量没有除法，“向量AB/ 向量 CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量 a、 b、 c，向量 a、 b 的向量积 a×b，再和向量 c 作

13、数量积 ( a× b) · c，向量的混合积所得的数叫做三向量a、 b、 c 的混合积，记作( a, b, c) 或 ( abc) ，即( abc)=( a, b, c)=( a× b) · c混合积具有下列性质：1三个不共面向量a、 b、 c 的混合积的 绝对值 等于以 a、b、 c 为棱的平行六面体的体积V，并且当a、 b、 c 构成右手系时混合积是正数 ；当 a、 b、 c构成左手系时，混合积是负数 ，即 ( abc )= V（当 a、 b、 c 构成右手系时=1；当 a、 b、 c 构成左手系时=-1 ）2上性质的推论：三向量a、 b、 c 共面

14、的 充要条件 是 ( abc )=03 ( abc)=( bca)=( cab )=-( bac )=-( cba)=-( acb)4 ( a× b) · c=a·( b×c)精彩文档实用标准文案7. 例题正方形 ABCD,EFGA,CHIK首尾相连， L 是 EH中点，求证LB GK？设 AE=a向量 , AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'