理论力学 第六版部分习题答案 第七章

1、 图 8-1图8-27-1 如图8-1所示,光点M 沿y 轴作谐振动,其运动方程为0=x , cos(+=kt a y 如将点M 投影到感光记录纸上,此纸以等速e v 向左运动。求点M 在记录纸上的轨迹。 解 动系y x O 固结在纸上,点M 的相对运动方程t v x e =,cos(+=kt a y 消去t 得点M 在记录纸上的轨迹方程cos(e+=x v ka y 7-2 如图8-2所示,点M 在平面y Ox 中运动,运动方程为cos 1(40t x =,t y sin 40= 式中t 以s 计,x 和y 以mm 计。平面y Ox 又绕垂直于该平面的轴O 转动,转动方程为rad t =,式

2、中角为动系的x 轴与定系的x 轴间的交角。求点M 的相对轨迹和绝对轨迹。解 由点M 的相对运动方程可改写为t yt x sin 40cos 140= 上2式两边平方后相加,得点M 的相对轨迹方程 160040(22=+y x 由题得点M 的坐标变换关系式sin cos y x x = cos sin y x y +=将t =和相对运动方程代入,消去t 得点M 的绝对轨迹方程160040(22=+y x7-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度m/s 15a =v ,并与直径成=60角,如图8-3a 所示,工作轮的半径m 2=R ,转速r/min 30=n 。为避免水流与工作轮叶片相冲击,叶片应

3、恰当地安装,以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处 水流对工作轮的相对速度的大小方向。 v(a (b图8-3解 水轮机工作轮入口处的1滴水为动点M ,动系固结于工作轮,定系固结于机架/地面(一般定系可不别说明,默认为固结于机架,下同;牵连运动为定轴转动,相对运动与叶片曲面相切,速度分析如图8-3b 所示,设为r v 与x 轴的夹角。点M 的牵连速度第7章 点的合成运动m/s 283.6302e =n R v 方向与y 轴平行。由图8-3b ,=+sin30sin(90sin(60ra e v v v 由前1等式得60sin(cos a e +=v v即 =60cos 60sin

4、 tan a a e v v v 把m/s 283.6e =v 及m/s 15a =v 代入,解得4841=由后1等式得m/s 1.10cos 30sin a r =v v 7-4 如图8-4a 所示,瓦特离心调速器以角速度绕铅直轴转动。由于机器负荷的变化,调速器重球以角速度1向外张开。如rad/s 10=,rad/s 2.11=,球柄长mm 500=l ,悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为mm 50=e ,球柄与铅直轴间所成的交角=30。求此时重球的绝对速度。 y v(a (b图8-4解 重球为动点,动系固结于铅垂轴;牵连运动为定轴转动,相对运动为绕悬点之圆弧摆动,且r e v v ,绝对运动为

5、空间曲线,如图8-4b 所示。由于 m/s 3sin (e =+=l e v ,m/s 6.01r =l v 所以m/s 06.32r 2e a =+=v v va v 在e v ,r v 决定的平面内,且2.0,(tan ere a =v v v v 7-5 杆OA 长l ,由推杆推动而在图面内绕点O 转动,如图8-5a 所示。假定推杆的速度为v ,其弯头高为a 。求杆端A 的速度的大小(表示为推杆至点O 的速度x 的函数。 B(a (b图8-5解 直角推杆上与杆AO 接触点B 为动点,动系固结于AO ;牵连运动为定轴转动,绝对运动为水平直线运动,相对运动为沿杆OA 直线运动。点B 速度分析

6、如图8-5b ,设OA 角速度为,则v v =a ,sin a e v OB v =,sin v OB = 以 22sin ax a OBa +=代入上式得22a x va+=最终得22a a x lavl v +=方向如图。7-6 车床主轴的转速r/min 30=n ,工件的直径mm 40=d ,如图8-6a 所示。如车刀横向走刀速度为mm/s 10=v ,求车刀对工件的相对速度。 e(a (b图8-6解 车刀头为动点,动系固结于工件;牵连运动为定轴转动,绝对运动为水平直线,相对运动为螺旋曲线。点M 的牵连速度e v 垂直向下,绝对速度v v =a ,相对速度r v 在a v 与e v 所决

7、定的平面内,且设与a v 成角,如图8-6b 所示。 mm/s 10a =v v , mm/s 83.62302e =n d v 所以v v v5780283.6(tan (tan 1ae1=v v 7-7 在图8-7a 和图8-7b 所示的2种机构中,已知mm 20021=a O O ,rad/s 31=。求图示位置时杆A O 2的角速度。 r O(a (b (a1 (b1图8-7解 (a套筒A为动点,动系固结于杆AO2;绝对运动为1O绕的圆周运动,相对运动为沿AO2直线,牵连运动为绕2O定轴转动。速度分析如图8-7a1所示,由速度合成定理 reavvv+=因为AOO21为等腰三角形,故aO

8、OAO=211,=30cos22aAO,1aav=,=30cos22eaAOv由图8-7a1:avv230cosaa=得 aa21=rad/s5.121=(逆(b套筒A为动点,动系固结于杆AO1;绝对运动为绕2O圆周运动,相对运动为沿杆直线运动,牵连运动为绕1O定轴转动。速度分析如图8-7b1所示。=30cos212aaAOv,111eaAOv=由图b1:=cos30cos301eaavv得=30cos30cos21aarad/s2321=(逆7-8 图8-8a所示曲柄滑道机构中,曲柄长rOA=,并以等角速度绕轴 O转动。装在水平杆上的滑槽DE与水平线成60角。求当曲柄与水平线的交角分别为=0

9、,30,60时,杆BC 的速度。v a(a (b (c (d(a (b图8-8解 曲柄端点A 为动点,动系固结于杆BC ;绝对运动为绕O 圆周运动,相对运动为沿滑道DB 直线运动,牵连运动为水平直线平移。速度分析如图8-8b 所示=,(a y v , r v =a 从图b 得=60sin 30sin(ae v v 所以r v v BC =60sin 30sin(e=0时,r v BC 33=(; =30时,0=BC v=60时,r v BC 33=( 7-9 如图8-9a 所示,摇杆机构的滑杆AB 以等速v 向上运动,初瞬时摇杆OC 水平。摇杆长a OC =,距离l OD =。求当4=时点C

10、的速度的大小。(a (b图8-9解 套筒A 为动点,动系固结于杆OC ;绝对运动为上下直线,相对运动沿OC 直线,牵连运动为绕O 定轴转动。速度分析如图8-9b 所示,设杆OC 角速度为,其转向逆时针。由题意及几何关系可得 v v =a (1 OA v =e (2 cos ea v v =(3 222t v l OA +=(4 OAl =cos(5式(1,(2,(4,(5代入式(3,得l l t v l OA OA v (cos 2222+=222l t v vla +=因222C l t v vlaa v +=当 4=时,l t v =,故lva v 2C =7-10 平底顶杆凸轮机构如图8

11、-10a 所示,顶杆AB 可沿导轨上下移动,偏心圆盘绕轴O 转动,轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R ,偏心距e OC =,凸轮绕轴O 转动的角速度为,OC 与水平线夹角。求当=0时,顶杆的速度。 (a 图8-10解 (1运动分析轮心C 为动点,动系固结于AB ;牵连运动为上下直线平移,相对运动为与平底平行直线,绝对运动为绕O 圆周运动。 (2速度分析,如图8-10b 所示 a v = e v + r v 方向 OC 大小 e ? ?e v v v AB =cos a e 7-11 绕轴O 转动的圆盘及直杆OA 上均有1导槽,两导槽间有1活动销子M 如图8-

12、11a 所示,m 1.0=b 。设在图示位置时,圆盘及直杆的角速度分别为rad/s 91=和rad/s 32=。求此瞬时销子M 的速度。 (a 图8-11解 (1运动分析 活动销子M 为动点,动系固结于轮O ;牵连运动为绕O 定轴转动,相对运动为沿轮上导槽直线,绝对运动为平面曲线。 r1e1a v v v += (1 活动销子M 为动点,动系固结于杆OA ;牵连运动为绕O 定轴转动,相对运动为沿OA 直线,绝对运动为平面曲线。r2e2a v v v +=(2速度分析如图8-11b 所示,由式(1、(2得e1v + r1v = e2v + r2v (3方向 OM OM 大小 1OM ? 2OM

13、? 式(3向e2v 方向投影,得e2r1e130cos v v v =(34cos30cos30cos30cos302121e2e1r1=b bb v v v 式(3向r2v 方向投影,得m/s 4.0(322121r1r2=bv vm/s 346.03231.0e2=v 所以 =+=9.40,4.0346.0tan m/s529.0r2e22r22e2av v v v v 7-12 图8-12a 为叶片泵的示意图。当转子转动时,叶片端点B 将沿固定的定子曲线运动,同时叶片AB 将在转子上的槽CD 内滑动。已知转子转动的角速度为,槽CD 不通过轮心点O ,此时AB 和OB 间的夹角为,OB 和

14、定子曲线的法线间成角,=OB 。求叶片在转子槽内的滑动速度。 a(a (b图8-12解 (1运动分析叶片AB 上的点B 为动点,动系固结于转子;绝对运动为定子曲线,相对运动为沿槽CD 直线,牵连运动为绕O 定轴转动。(2速度分析如图8-12b 所示。设AB 相对CD 滑动速度为r v ,转子作顺时针转动,点B 的牵连速度为: =OB v e 由图8-12b 得(90sin sin e r-v v =cos(sin cos(sin e r =v v 7-13 直线AB以大小为1v的速度沿垂直于AB的方向向上移动;直线CD以大小为2v 的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动,如图8-13a所示。如两

15、直线间的交角为,求两直线交点M的速度。D(a (b图8-13解先将动系固结于杆AB,则动点M的牵连速度为1v,相对速度1rv沿AB;再将动系固结于杆CD,则动点M的牵连速度为2v,相对速度2rv沿CD,见图8-13b,两种情况用速度合成定理矢量式分别为r11vvvM+= (1r22vvvM+= (2 由式(1,(2得r22r11vvvv+=+上式分别向水平轴x和铅垂轴y投影得cossinr22r1vvv+=+sincosr221vvv+=+解得sincos21r1vvv=代入式(1得cos2sin121222121r21vvvvvvvM+=+=7-14-0 图8-14a所示两盘匀速转动的角速度

16、分别为rad/s11=,rad/s22=,两盘半径均为mm50=R,两盘转轴距离mm250=l。图示瞬时,两盘位于同1平面内。求此时盘2上的点A相对于盘1的速度和加速度。(a图8-14解 (1运动分析轮2上点A为动点,动系固结于轮1;绝对运动为水平面222yxO内,以2O为圆心的圆周运动,相对运动为空间曲线,牵连运动为绕1O定轴转动。i1e=,k2a=,jr(eRl+=,jr R=akrv1eee(Rl+=, irv2aaaR=(2速度分析,如图8-14b 所示r e a v v v +=mm/s 300100(12e a r k i k i v v v =+=R l Rmm/s 316300

17、10022r =+=vj r a 21e e e (R l +=, j v a 22a a a R =j k i i r a 21121r e C (2(22R l R l R +=+= (3加速度分析,如图8-14b 所示C r e a a a a a +=C e a r a a a a =j j j 212122(2(R l R l R +=22122mm/s 500300200(j j j =+=+=R l R (7-15 图8-15a 所示公路上行驶的两车速度都恒为72 km/h。图示瞬时,在车B 中的观察者看来,车A 的速度、加速度应为多大? r(a (b (c图8-15解 (1运动

18、分析车A 为动点,动系固结于车B ;绝对运动为直线;相对运动为平面曲线;牵连运动为定轴转动。 (2速度分析,如图8-15b 所示 a v = e v + r v (1 方向 A v OA ? 大小 A vB v 23?m/s 20=B A v vrad/s 2.0m100m/s20e =R v B m/s 30m 150e e =vm/s 1032.47e a r j i v v v +=,=93.11,32.4710tan (3加速度分析,如图8-15c 所示a a = e a + r a + C a(2方向 ? r v 大小 0 2e AO ? r e 2v 22e m/s 610020(

19、150=a122=v a 所以2r m/s 9.124j i a =7-16 图8-16a 所示小环M 沿杆OA 运动,杆OA 绕轴O 转动,从而使小环在Oxy 平面内具有如下运动方程:mm 310t x =,mm 3102t y =求s 1=t 时,小环M 相对于杆OA 的速度和加速度,杆OA 转动的角速度及角加速度。 x(a (b (c图8-16解 (1 s 1=t 时, =mm 310mm 310y x ,=mm/s 320mm/s 310yx&,=mm/s 3200y x &mm/s 151022a =+=y xv & 由图8-16b245tan(a a =+xy v v , =43.

20、18(2 r e a v v v +=rad/s 5.061024.12e =OM v OA (逆时针转向 (2 (3 a a = n e a + te a + r a + C a (3方向 大小 ? ? 2a mm/s 320=ya & 222式(3向r a 方向投影,得r n e a 45cos a a a +=2=+=+=a a a 式(3向te a 方向投影,得 C t e a 45cos a a a +=a a a 2t e rad/s 5.0610245.12=OM a OA (顺时针转向 (4 7-17 图8-17a 所示铰接四边形机构中,mm 10021=B O A O ,又A

21、B O O =21,杆A O 1以等角速度rad/s 2=绕1O 轴转动。杆AB 上有1套筒C ,此筒与杆CD 相铰接。机构的各部件都在同1铅直面内。求当=60时,杆CD的速度和加速度。 (a (b (c图8-17解 杆CD 上点C 为动点,动系固结于杆AB ;牵连运动为曲线平移,相对运动沿BA 直线,绝对运动为上下直线。速度与加速度分析分别如图8-17b 、图8-17c 所示,图中e v v v B A =,a v v CD =,e a a a B A =,a a a CD = 于是得m/s 10.0cos cos 1e a =A O v v v CD221e a m/s 346.0sin

22、sin =A O a a a CD方向如图。7-18 剪切金属板的飞剪机结构如图8-18a 。工作台AB 的移动规律是m 6sin 2.0t s =,滑块C 带动上刀片E 沿导柱运动以切断工件D ,下刀片F 固定在工作台上。设曲柄m 6.0=OC ,s 1=t 时,=60。求该瞬时刀片E 相对于工作台运动的速度和加速度,并求曲柄OC转动的角速度及角加速度。 B(a (b (c图8-18解 t s 6sin2.0= (1运动分析OC 上C 为动点,动系固结于AB ;绝对运动为以O 为圆心的圆周运动;相对运动为上下直线;牵连运动为水平直线平移。 (2速度分析,如图8-16b 所示 a v = e

23、v + r v (1 方向 OC 大小 ? s & ? m/s 6036cos 62.0e =t sv &(s 1=t m/s 052.03360330tan e r =v v (s 1=t m/s 105.02r a =v v (s 1=t .0a =OC v OC (3加速度分析,如图8-16c 所示na a + ta a = e a + r a (2方向 大小 ? ?222e m/s 3606sin 6(2.0=t s a & (22a na m/s 0184.0=OCv a 式(2向e a 投影,得e t a n a 60sin 60cos a a a =+2t a m/s 021.0

24、=a ,2rad/s 035.06.0021.0=OC ( 式(2向na a 投影,得=30cos 60cos r e n a a a a ,2r m/s 00542.0=a (7-19 如图8-19a 所示,曲柄OA 长m 4.0,以等角速度rad/s 5.0=绕O 轴逆时针转向转动。由于曲柄的A 端推动水平板B ,而使滑杆C 沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角=30时,滑杆C的速度和加速度。 (a 图8-19解 曲柄OA 端点A 为动点,动系固结于滑杆BC ;牵连运动为上下直线平移,相对运动为水平直线,绝对运动为绕O 圆周运动。点A 的牵连速度与牵连加速度即为杆BC 的速度与加速度。

25、速度、加速度分析如图8-19b 所示,得m/s 173.0cos e =OA v v C (m/s 05.0cos 2e =OA a a C (方向如图。7-20 图8-20a 所示偏心轮摇杆机构中,摇杆A O 1借助弹簧压在半径为R 的偏心轮C 上。偏心轮C 绕轴O 往复摆动,从而带动摇杆绕轴1O 摆动。设1OO OC 时,轮C 的角速度为,角加速度为零,=60。求此时摇杆A O 1的角速度1和角加速度1。 (a (b (c图8-20解 (1运动分析 轮心C 为动点,动系固结于杆A O 1;绝对运动为绕点O 圆周运动;相对运动为与杆A O 1平行的直线运动;牵连运动为绕1O 定轴转动。 (2

26、速度分析,图8-20b a v = e v + r v (1方向 CO C O 1 A O 1/ 大小 R ? ? 式(1向r v 方向投影,得=30cos 30cos e a v v R v v =a e22/1e e 1=R R C O vR v v =a r(3加速度分析,图8-20ca a = ne a + te a + r a + C a (2方向 沿CO 沿1CO 沿e v 沿r v 沿HC 大小 2R 22(2R ? ? r 22v 式(2向C a 投影,得C t e n e a 30cos 60cos 60cos a a a a += C n e a t e 212130cos

27、 a a a a += 2222C n e a t e 321221(312(31R R R R a a a a =+=+=22t e 11233412=R a 7-21 半径为R 的半圆形凸轮D 以等速0v 沿水平线向右运动,带动从动杆AB 沿铅直方向上升,如图8-21a 所示。求=30时杆AB相对于凸轮的速度和加速度。 (a (b图8-21解 杆AB 的顶点A 为动点,动系固结于凸轮。绝对运动为上下直线,相对运动为沿凸轮圆弧曲线,牵连运动为水平直线平移。杆AB 的运动与点A 运动相同,速度、加速度分析如图8-21b 所示。(1速度因0e v v =,从速度分析中得v v v 155.1co

28、s er =(2加速度因0v =常量,故0e =a而 Rv R v a 3422r n r=根据 r e a a a a += 得tr n r r a a a a a += 从加速度分析中得Rv a a a 2n r a r 938cos = 如图8-22a 所示,斜面AB 与水平面间成45角,以2m/s 1.0的加速度沿轴Ox 向右运动。物块M 以匀相对加速度2m/s 21.0,沿斜面滑下,沿斜面滑下,斜面与物块的初速都是零。物块的初位置为:坐标0=x h y =。求物块的绝对运动方程、运动轨迹、速度和加速度。 (a (b图8-22解 (1 物块M 为动点,动系固结于斜面,加速度分析如图8-

29、22b 所示7-222e m/s 10.0=a ,2r m/s 210.0=a2r e 2r 2e a m/s 510.0135cos 2=+=a a a a a(2 速度2r e m/s 20.045cos =+=a a a x , 2r m/s 10.045sin =a a ym/s 20.0d 0t t a v tx x =, m/s 10.0d 0t t a v ty y =m/s 510.022t v v v y x=+= (3 运动方程及轨迹 =to x xt v x d d o ,210.0t x =to y y ht v y d d ,205.0t h y =得运动方程:=22

30、h y tx 消去t 得轨迹方程:h y x 22=+7-23 小车沿水平方向向右作加速运动,其加速度2m/s 493.0=a 。在小车上有1轮绕轴O 转动,转动的规律为2t =(t 以s 计,以rad 计。当s 1=t 时,轮缘上点A 的位置如图8-23a 所示。如轮的半径m 2.0=r ,求此时点A的绝对加速度。 (a(b图8-23解 点A 为动点,动系固结于小车;牵连运动为水平直线平移,相对运动为绕O 圆周运动,绝对运动为平面曲线。加速度分析如图8-23b 所示,图中x a ,y a 为点A 的绝对加速度沿x ,y 轴的2个分量。由题意得s 1=t 时,各量为rad/s 2=&,2rad

31、/s 2=&,2e m/s 493.0=a a22nr m/s 80.0=&r a ,2t r m/s 40.0=&r a , e t r n r a a a a a +=分别向轴x ,y 方向投影得+=30sin 30cos tr n r e a a a a x+=30cos 30sin tr n r a a a y代入有关数据解得24m/s 108.1=x a ,2m/s 746.0=y a222a m/s 746.0=+=y x a a a7-24 如图8-24a 所示,半径为r 的圆环内充满液体,液体按箭头方向以相对速度v 在环内作匀速运动。如圆环以等角速度 绕轴 O 转动，求在圆环内

32、点 1 和 2 处液体的绝对加 速度的大小。 a C1 O1 vr aC 2 ar 2 2 a r1 1 a e1 (a (b 图 8-24 ae 2 2 v r1 O y x (c 解 取点 1，2 两处的 1 滴液体作动点，动系固结于圆环；绝对运动为平面曲线，相 对运动为绕 O1 圆周运动，牵连运动为绕 O 定轴转动。加速度分析如图 8-24b、图 8-24c 所 示。由 对点 1： aa = ae + a r + aC v2 a1 = a r1 + a C1 a e1 = + 2v r 2 （） r 对点 2，将加速度矢量式分别向水平和铅垂方向投影得 a 2 x = ae 2 cos a

33、 r 2 a C 2 ， a 2 y = ae 2 sin sin = 故 2 5 ， cos = 1 5 a e2 = 5r 2 v2 2 + 4 r 2 4 r 7-25 图 8-25a 所示圆盘绕 AB 轴转动，其角速度 = 2t rad/s 。点 M 沿圆盘直径离 2 开中心向外缘运动，其运动规律为 OM = 40t mm 。半径 OM 与 AB 轴间成 60倾角。 求当 t = 1 s 时点 M 的绝对加速度的大小。 2 2 a 2 = a 2 x + a 2 y = (r 2 + 2v + z vr M 60 a et aen 60 aC O x (a 图 8-25 (b ar y

34、 解 点 M 为动点，动系 Oxyz 固结于圆盘；牵连运动为定轴转动，相对运动为沿径向 直线运动，绝对运动为空间曲线。其中轴 x 垂直圆盘指向外，加速度分析如图 8-25b 所示， 其中 a e ， a C 垂直于盘面。当 t = 1 s 时 t = 2t = 2 rad/s ， = vr = d = 2 rad/s 2 ， OM = 40t 2 = 40 mm dt d OM = 80t = 80 mm/s ， dt 101 a en = OM sin 60 2 = 80 3 mm/s 2 ， a et = OM sin 60 = 40 3 mm/s 2 ar = dv r = 80 mm/

35、s 2 dt a C = 2 v r sin 60 = 160 3 mm/s 2 2 2 a M = a x + a y + a z2 = (a r cos 60 2 + (a r sin 60 aen 2 + (a et + aC 2 代入数据得 a M = 0.356 m/s 2 7-26 图 8-26a 所示直角曲杆 OBC 绕轴 O 转动，使套在其上的小环 M 沿固定直杆 OA 滑动。已知： OB = 0.1 m ， OB 与 BC 垂直，曲杆的角速度 = 0.5 rad/s ，角加速度 为零。求当 = 60 时，小环 M 的速度和加速度。 O M ve (b 图 8-26 vr va

36、 C B (a A O ae M ar aa aC A (c 解 小环 M 为动点，动系固结于曲杆 OBC ；绝对运动为沿 AO 直线，相对运动沿直 线 BC，牵连运动为绕 O 定轴转动。速度分析如图 8-26b 所示，据 vM = ve + vr 此时 ve = OM = OB = 0.1 m/s cos v M = ve tan = 0.10 3 = 0.1732 m/s （） vr = ve = 2v e = 0.20 m/s cos 加速度分析如图 8-26c 所示 a M = ae + ar + aC 其中 a e = OM 2 = 0.05 m/s 2 ， a C = 2v r =

37、 0.20 m/s 2 将加速度矢量式向 a C 方向投影得 a M cos = ae cos + aC 代入已知数据解得 aM = a e cos + a C = 0.35 m/s 2 cos 7-27 牛头刨床机构如图 8-27a 所示。已知 O1 A = 200 mm ，角速度 1 = 2 rad/s 。 求图示位置滑枕 CD 的速度和加速度。 解 （1）先取 O1 A 上点 A 为动点，动系固结于 O2 B ；绝对运动为绕 O1 圆周运动，相 牵连运动为绕 O2 定轴转动。 速度、 加速度分析如图 8-27b， 8-27c 图 对运动为沿直线 O2 B ， 所示。设 O2 B 的角速度为 ，角加速度为 。由图知 O1 A = 0.4 m ， v A = 1 O1 A = 0.4 m/s 102 D vB v B e 30 vA O1 vB r B C D t aB C aB r B aB e 1 v A e 90 30 O2 30 v A r O1 1 a AC a t Ae a Ar n aB A 90 30 O2 aA A n a Ae O