《高等教育自学考试》《线性代数》(试题及答案)08.04

1、全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）al1al2al3a15a1 +2a2a31.设行列式D =321322323=3, D1=32153?1 + 2 322323，则D13313323333315331 +2332333的值为（C)A . -15B . -6C .6D . 15D1=3n5a1313311231231332153213 23+3212322323= 0+2D =6 .331533133333123323332设矩阵 f；b：=（Ca3b），则（C ）A . a=3,b - -1

2、,c=1,d =3B . a - -1,b=3,c=1,d =3C . a=3,b = -1,c=0,d =3D . a=-1,b=3,c = 0,d=3a，b=2,a-b=4,c=0,d =3= a=3,b-1,c=0,d=3 .3.设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为（B ）q 11、1 1、1 11、A .0 0 0B .0 1 1C .2 2 2D .2 2 2©00p 0 0卫 0 03 3 3 ;4. 设A为n阶方阵，n 2 ,则|-5A|= ( A )A . (-5)n|A| B . -5|A|C. 5|A|D . 5n |A|5. 设 A=f3 2，则 |A乍(B

3、 )2 4丿B . -2A . -4|A%A|n 冷 A=1 23 4=2 .6 向量组 宀,2,，：s ( S 2 )线性无关的充分必要条件是(D )A . ：-1-2'，：s均不为零向量B . dr,宀中任意两个向量不成比例C.a 1,並，8中任意s1个向量线性无关D .冷，2,宀中任意一个向量均不能由其余S1个向量线性表示7.设3元线性方程组Ax=b , A的秩为2, i, 2, 3为方程组的 解，1 2 =(2,0,4)t ,3 =(1,-2,1)丁 ,则对任意常数 k,方程组 Ax 二b 的通解为(D )A .(1,0,2)T +k(1,2,1)tB .(1,2,1)T +k

4、(2,0,4)TC.(2,0,4)t k(1,-2,1)TD .(1,0,2)t k(1,2,3)T取 Ax=b 的特解： J ( 1 2)u(1,0,2)T ；2Ax =0的基础解系含一个解向量：2 -3 =( 12)-( 13)=(1,2,3)T .&设3阶方阵A的特征值为i,t,2，则下列矩阵中为可逆矩 阵的是(D )A . E -AB.-E -AC. 2E-AD .-2E -A-2不是A的特征值，所以|2E_A卜0 , -2EA可逆.9.设=2是可逆矩阵 A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一 个特征值等于（A ）A . 1B. 1C. 2D . 442 =2是A的特征值，则

5、（）二是（A2）的特征值.410 .二次型 f （Xi,X2,X3,X4）=xj X； xf x2 2X3X4 的秩为（ C ）打00e01000011001b01000010、填空题（本大题共001匕10小题，每小题2分，共20 分）,秩为3.行成比例值为零.12.设矩阵A=3 2 p=；1'则 APT =3 2、 f.q 4丿T 1 2 讪 0、AP=J=© 4丿d 1丿'3 2i.74丿13.设矩阵A=0 0 r0 1 11 1 b*0 -1 1 '，贝y a = -1 1 0j 0 0>a3b3a b a 1 b?11.行列式 azd a2b2a

6、3b1 a3b2a1b3a2b30 0 1 1 0 0'1 1 1 0 0 P'1 1 0 -1 0 Pq 0 0 0 10 110 10T0 110 10T0 10-110T0 10-1 1 01 110 0 1.001100.0 0 1 1 0 0.0011 0 0<J1J1J12 t423514.设矩阵A= 2,若齐次线性方程组 Ax=0有非零解，则数t= 2|A| =1220t-4-10-2-1t -4-1-2 -115 .已知向量组 “11-21-2Jt1Q的秩为2，则数t= -211'11t 、Z11t )1-21T0-31 tT0-31 t匕211丿

7、©32t +1 丿<00t+2丿,秩为2,则t 一216 .已知向量=(2,1,0,3)t ,1 =(1,-2,1,k)T，：与的内积为 2,则数 k=2.G', ) =2，即 2 -20 3k =2 , k =2/3 .17.设向量亡,逅，石J为单位向量，则数 b=_0_.I ：十 b211 = b21 =1 , b =0 . 2 2*0-2-2 "18.已知九=0为矩阵A=22-21-2 -22丿的2重特征值，则A的另一特征值为4 1 = 2 = 0 ,/ 3 =0 2 2，所以3=4 .特征值的和等于矩阵A主对角元素的和.特征值的积等于行列式|A|的值.

8、19 .二 次 型 f (Xi, X2,X3)=xf 2x2 -5x3 4XiX2 2x2X3 的 矩 阵 为广 1-20 A-2 2 1 .1° 1 一520.已知二次型f (X1，X2，X3)=(k 1)x； (k - 1)x； (k - 2)x3 正定，则数 k的取值范围为k 2 .k 10 k -1k -1 a0 ,>1 , k a2 .k 2 >0 k >2三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共54分)21 .计算行列式D =11111 1解:12 0 00 110 3 0 _0 -110 0 40 -1122.已知矩阵A= 1(1)求A的逆矩阵解：

9、1 1111 200的值1 0301 004111111-1-101-1-12-1001-2-1300-2201 '§01 '-10B=11012丿14丿A ；(2)解矩阵方程(111101-1-1001-2000-2AX =B .1 )10110001100、01100、1-10010T0-1-1-110T0-1-1-110.0、一1200b.0、1200b.0、01-11b1002-11)fl002-1-1、广2-1-VT0-10-221T0102-2-1，A-1 =2 -2 -101-11101-111 >L111广2-1一1、301、广5-2 2、（2）

10、X=AaB =2-2-1110=4-3 -2-111J<014C223丿（1）矩阵23.设向量A2 .解：（1）1、r-111-r-1：1-1-1i1 一1(-1,1,1,-1)=1-1-1il1丿C111j(2) a2 =J ii-i -iii-i'4-4-44、i -i-ii:i-i-ii =-444-4i-i-iii-i-ii-444-4-11i-1丿-1ii-1丿I4-4-44丿T=(031,2)：'3冷=(1,一1,2,4)丁= (3,0,7,14)t，24.设向量组>4 =(1,-1,2,0)丁，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性

11、无关组线性表示.解:'1031 '10 31 "1031 "10 3 1 "-130-10 3 300 3 300 110TTT21720 1100 0 0 00 0 0 1(42 140Q 22-4丿<00 04(0 0 0 0:'12,>4 是向量组的秩为3，个极大线性无关组，= 3 冷亠-：20： 4 .25 .已知线性方程组丿x1+2x3 = -1_X1+X23X3=2 , ( 1)求当a为何值时，2Xr x2 +5x3 =a方程组无解、有解;（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）5

12、 02-1 102-1 102-1 '解:A =-1 1-32T01-11T01-11、2 -15a J1°-11a+21°00a + 3（1） a = £时，方程组无解，a-3时，方程组有解;10 2-1X1 = 1 2x3(2 ) a =£ 时，At0 1-11,X2 = 1 + X3 ,全部解为p 000<3 =X3ss1+ k126 .设矩阵 2 7 ，（ 1）求矩阵A的特征值与对应的全部 'J 2 /特征向量；（2）判定A是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵P和对角阵上，使得PAP =一'解:I 'E -A| = -8-1-7-2-'2 _ 10沐：；'9 = (，_ 1)( ' - 9) ,，特彳征彳值 1=1， 2=9 .对于'1 =1,解齐次线性方程组（'E - A）x = 0 :E -A 二r-71一1一1丿-7)(1 1、IT卫。丿，:二:，基础解系为1 = 11，对应的全部特征向量为kr 1 （ k1是任意非零常数）；对于2=9，解齐次线性方程组（EA）x=O :(17 )-7、=7X2!Tr17丿°丿X2 =