2014届新坝中学高三附加题训练(30)

1、距咼考仅有37 天 静心 细心 信心 用心每一天，成就你一生2014届新坝中学高三附加题训练(30) 2014.4.30i.若直线y=kx在矩阵 甲I对应的变换作用下得到的直线过点P(4,i v求实数k的值.也O丿2. 在极坐标系(H0JO02n中，求曲线P = 2sin0与Pcos=1的交点Q的极坐标.3. 如图所示，在三棱柱 ABC A1B1G中，H是正方形AAiBiB的中心，AAi = 22, GH丄平面AAiBiB，且 GH = J5.(1)求异面直线 AC与AiBi所成角的余弦值；求二面角A AiCi Bi的正弦值；设N为棱BiCi的中点，点M在平面AAiBiB内，且MN丄平面AiB

2、iCi,求线段BM的长.4. (1)设函数 f (X )=xlog2 X + (1 -X )log2 (1 -x 丫0 x 1 )， 求f(x )的最小值;(2)设正数 P1, P2, P3，| H ,卩2满足 P1 + P2 + P3 +山 + P2n =1，求证：P1 log2 P1 +p 2log2 P2 +P 3log2 P 3+h I + P2n 82 P 2 - n 若直线y 在矩阵；Oj对应的变换作用下得到的直线过点卩件)，求实数k的值.【答案】设变换珂卜仙则讣【ooiixH；lx x，即r ，代入直线y =kx得X丄ky，将点P(4, i)代入得k=4.y=y:(注：本题亦可将

3、点P(4, i)在矩阵 i的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线y=kx ,从而求出k的值.)2.在极坐标系(H0j(O02n中，求曲线 P = 2s in9与P cos6=1的交点Q的极坐标.【答案】将直线Pcos8=i与圆P=2sin0分别化为普通方程得，直线x =i与圆x2 +(yi)2 =i ,易得直线X =i与圆X2 +(y i)2 =i切于点 Qi，i), 所以交点Q的极坐标是(J2,亍3.如图所示,在三棱柱 ABC A1B1G中，H是正方形AAiBiB的中心，AAi = 2羽，GH丄平面 CiH=诟.AAiBiB，且(1)求异面直线 AC与AiBi所成角的余弦值；求二面角A AiCi

4、 Bi的正弦值；设N为棱BiCi的中点，点M在平面AAiBiB内，且MN丄平面AiBiCi,求线段BM的长.-x)(Oxvi )，求 f(x )的最小值; Pi，P2, P3H，P2n 满足 Pi + P 2 中 P3 +1 H 中 P2n =i，Pi log2 Pi +p 2log2 P2 +p 3log2 P 3+H 1 + 卩2 log2 P 2- n .4. (i)设函数 f(x)=xlog2x +(i -x)log2(i(2)设正数求证：【答案】(1)对函数 f(x)求导数：f(X)=(xlog2X)+(1-x)log2(1-x)r1 1 1 =log 2 X log 2 (1 x)

5、 +.= log 2 x log? (1 x).于是 f ( )=0.ln 2 ln 221 1X 时，f(X)=log2 X-log2(1 x) A 0, f (x)在区间(一,1)是增函数.221所以f（X）在X = -时取得最小值,2（2）证法一：用数学归纳法证明.（ii）假定当n =k时命题成立，则 P1 |og2 P1 + P2 |og2 P2 +当n = k +1时，若正数P1, P2 1f(-H-1，(i )当n=1时，由(I)知命题成立.即若正数P1, P2,P2k满足P1 + P2 +中P2k =1， + P2k log2 p2k -k.-,P2k足 P1 + P2 + P2

6、k+ =1,P1P 2 P2kp2k , q , q , q2kXX则 q1,q2,q2k 为正数，且 qi +q2 + +q2k =1.由归纳假定知 q log2 5 + P2 log2 qll + q2k log2q2 -k.P1 log2 P1 +p 2 log2 p 2 十+p 2k log2 p 2x(q1 log： 5 +q 2log2 q2 十+q 2k log 2 q2k + log 2 X) x(-k) + xlog 2 x, p2叶=1 -x可得 p2” Iog2 p2k卅 + P2k +log2 p2k+ (1-x)(k) +(1-x)log2(1-x).综合、两式 p1

7、 log 2 P1 + P2 log 2 p2 + + P2k卡 log 2 P2h*x + (1 -x)(-k) + xlog2X + (1 - X)log2(1 -x) -(k +1). 即当n = k +1时命题也成立.根据(i )、(ii )可知对一切正整数 n命题成立.证法二：令函数 g(x) =xlog2 X + (c -xjlog? (c -x)(常数c a 0,x壬(0, c),那么XXX+ (1-)log2(1 - )+log2C,ccc =1(即X =)时,函数g(x)取得最小值.c 22+同理，由P 2 5 +P 22xg(x)=c log2c利用（I）知，当+对任意x1

8、 0,X2 0,都有丄*Xj +X2Xj + X2x1 log 2 x- +x2 log 2 x 2log 22 2=(X1 + X2)log2(X1 +x2)1.下面用数学归纳法证明结论.(i )当n=1时，由(I)知命题成立.P2k(ii )设当n=k时命题成立，即若正数p1,p2,p2k满足P1+P2中+P2k=1,有P1 log2 Pl + P2 log2 P2 中+ P2k log2 P2 -k.当n = k +1 时，Pl, p2,p2k+S足P1 + P2 + p2k+ =1.令 H = P1 log2 P1 + P2 log 2 P2 + + P2k+ log2 p2卄斗 + P2k + log2 P2k +由得到H 3（Pl + P2）log 2（Pl + P2）-1中+（P2k七+ P2y）log 2（P2kJ + 卩2沖）U 因为（P1 + P2）十 +（ P2kr + P2k+）