19.2特殊的平行四边形(通用)

1、菱形讲义菱形22知识精讲一菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有.此外，它还具有以下性质:1.菱形的四条边都相等；2 .菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3 .是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线.菱形的判定1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；2 .对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3 .四条边都相等的四边形是菱形.四.面积问题如下图:1S菱形ABCD =2 acLbd .三点剖析一.考点：1菱形的性质；2菱形的判定；3 面积问题.二.重难点:菱形的性质和应用，菱形的证明与判定.:矩形和

2、菱形性质的区别.三.易错点 例题讲解 一：性质例1.1.1如图，在菱形 ABCC中，E是AB边上一点，且/ A=/ EDF=60，有下列结论： AE=BF DEF是等边三角形BEF是等腰三角形；/ ADEN BEF,其中结论正确的个数是 A. 3【答案】D【解析】连接BD ,B. 4C. 1D. 2四边形ABCD是菱形,1 AD=AB , / ADB=丄 / ADC , AB / CD ,2/ ADC=120 , / ADB=60 , 同理：/ DBF=60 , 即/ A= / DBF ,:. ABD是等边三角形, AD=BD , / ADE+ / BDE=60 , / BDE+ / BDF=

3、 / EDF=60 ,/ ADE= / BDF ,在 ADE 和 BDF 中,pADE =4DFAD =BDza =NDBFADE BDF (ASA ), DE=DF , / EDF=60 , EDF是等边三角形,正确; / DEF=60 ,/ AED+ / BEF=120 ,/ AED+/ ADE=180 -/ A=120 ,/ BEF;故正确./ ADE=/ BDF ,同理：/ BDE= / CDF ,但/ ADE不一定等于/BDE , AE不一定等于 BE ,故错误； aDE BDF , AE=BF ,同理：BE=CF,但BE不一定等于BF .故错误.故选D .例1.1.2如图，在菱形

4、接DE则/ CDF等于(ABCD中,/ BAD=80 , AB的垂直平分线交对角线 AC于点F,垂足为E,连)A. 50°【答案】B【解析】如图，连接BF ,B. 60C. 70°D. 80°在菱形 ABCD 中，/ BAC= - / BAD= - >80°=40 °，/ BCF= / DCF , BC=CD , 2 2/ BAD=80 , / ABC=180 -/ BAD=180 -80 °=100°,/ EF是线段AB的垂直平分线, AF=BF , / ABF= / BAC=40 , / CBF= / ABC- /

5、 ABF=100 -40 °=60° ,在 BCF 和 DCF 中,IBC =CDI3CF =NDCF， pF =CF BCF DCF ( SAS), / CDF= / CBF=60 .故选B .例1.1.3已知四边形 ABCD是边长为2的菱形，/ BAD=60，对角线 AC与BD交于点0,过点0的直 线EF交AD于点E，交BC于点F.(1) 求证： AOEA COF(2) 若/ EOD=30，求 CE的长.【答案】(1)见解析(2)运2【解析】(1)证明:四边形ABCD是菱形, AO=CO ,AD / BC,/ OAE= / OCF ,在AOE和 COF中,"O

6、AE =NOCF4ao =C0INAOE =NCOF AOE BA COF ( ASA );(2)/ BAD=60 ,1 1/DAO=1 / bad=2 池 °=3。°，/ EOD=30 , L_/ AOE=90 -30 °60° ,/ AEF=180 - / DAO- / AOE=180 -30。-60 °90°菱形的边长为 2,/ DAO=30 ,1 1 od= 2 aD= 2 幺1，二 A0= JaD? -OD2 =（22-1 = 73 , AE=CF= /3 X =-,2 2菱形的边长为 2,/ BAD=60 ,.高 EF=2

7、X 也=732 ，在 Rt CEF 中，CE= JEF2 +CF 2 = J（3）2 +（73）2422二：判定例1.2.1如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是（A. AB=BCC. BD平分/ ABC【答案】【解析】四边形abcd A、当AB=BC确;B、当AC丄BD确；B.D.ACI BDAC=BD是平行四边形，时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得?abcd是菱形,?abcd是菱形,故本选项正故本选项正可得C、当BD平分/ ABC时，易证得 AB=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,ABCD是菱形，故

8、本选项正确；由排除法可得D选项错误.故选D .例1.2.2如图，在四边形 ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形 ABCD只需要满足一个条件，是（）B.四边形ABCD是菱形D. AD=BCA.四边形ABCD是梯形C.对角线AC =BD【答案】D【解析】-在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，/. EF II AD , HG / AD ,”EF / HG ；同理，HELGF , ”.四边形EFGH是平行四边形；A、 若四边形 ABCD是梯形时，AD hCD，贝U GH HFE，这与平行四边形 EFGH的对边

9、GH = FE 相矛盾；故本选项错误；B、 若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；A选项；故本选项错误; GH =GF ;所以平行四边形 EFGH是菱形；故本选项正确.C、若对角线 AC =BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同D 当 AD =BC 时，ABC中，/ ACB=90 , CD!AB于 D, AE平分/ BAG 分别于 BC CD交于 E、F, FH,求证：四边形CFHE是菱形.故答案为D选项.例1.2.3如图.在EH1 AB于H.连接"【答案】见解析【解析】证明：/ ACB=90 , AE 平分/ BAC , EH 丄 AB , CE=EH

10、,在 Rt ACE 和 Rt AHE 中，AE=AE , CE=EH，由勾股定理得： AC=AH , / AE 平分/ CAB ,/ CAF= / HAF , 在 CAF和 HAF中JAC = AH?'1? CAF ? HAF ?AF = AFCAF HAF ( SAS),/ ACD= / AHF , CD 丄 AB , / ACB=90 ,/ CDA= / ACB=90 ,/ B+ / CAB=90 , / CAB+ / ACD=90 ,/ ACD= / B= / AHF , FH / CE, CD 丄 AB , EH 丄 AB ,CF / EH,四边形CFHE是平行四边形,E, F

11、分别是边 AD, BC上的点，且 AE=CF,直线 EF分别交 H,交BD于点0 .'DC的延长线于点 G, ABEA CDF; CE=EH ,四边形CFHE是菱形.例1.2.4已知：如图，在 ?ABCD中,BA的延长线、(1)求证：.BEDF是什幺特殊四边形？请说明理由.【解析】(1 )证 AB=CD在 ABE菱形明：四边形ABCD是平行四边形，,/ BAE= / DCF ,中，上bqZdcf ,ae=cf(SAS );BEDF是菱形；理由如下：如图所示：和 CDFCDF ABE(2)解：四边形四边形ABCD是平行四边形， AD / BC , AD=BC ,/ AE=CF , DE=

12、BF ,四边形BEDF是平行四边形， OB=OD ,/ DG=BG , EF 丄 BD ,四边形BEDF是菱形.20cm两条对角线的比是 4 : 3,则这个菱形的面积是（）B. 24cmC. 48cm例1.3.1已知一个菱形的周长是D. 96cmA. 12cm【答案】B【解析】该题考查的是菱形的性质.四边形ABCD是菱形四边形ABCD四边长相等，且对角线互相垂直且平分,该菱形周长为20cm它的每个边长为 5cm两条对角线的比是 4:3.OA 3OB "4由勾股定理，算出 OA =3cm , OB =4cm ,两平分线长度分别为 6cm, 8cm;菱形面积S冷仲8=24cm2.例1.3

13、.2如图，在菱形为ABCD中，AB=5,对角线 AC=6.若过点 A作AE丄BC,垂足为 E,贝U AE的长"A. 412B.524C.5D. 5【答案】C1【解析】连接 BD,交 AC于 O 点， AB=BC=CD=AD=5 - AC丄 BD, AO= 2 AC,/ AOB=90 , AC=6,X 6X 8=24. BC?AE=24BD=2BO,1 1 AO=3,. B0=J25 -9 =4,. DB=8,.菱形 ABCD 的面积是 2 x AC?DB224AE= 5"随堂练习1.1如图，菱形 ABCD的对角线 AC BD相交于点 则点O到边AB的距离OH等于（0，AC=

14、8, BD=6,过点 O作OH丄AB，垂足为 H，C【解析】四边形 B0=3 , A0=4 ,C.12D.可ABCD是菱形，AC=8, BD=6,AO 丄 BO ,- AB=fB0=5.11AO ?BO=22/ OH 丄 AB , oh=JL25故选D.1.2如图，菱形ABCD中，NDAB =60。, DF丄AB于点E,且DF =DC，连接FC,则NACF的度数度.C【答案】15NADF =NADB【解析】DF丄AB ,2=120°30 ° = 90, DF =DC:. CDF是等腰直角三角形，1.3如图,DAC=28A. 28°【答案】，则/ OBC的度数为（B

15、. 52 °= 45。，. NACF=45°30°=15ZDCF在菱形 ABCD中, M,)O,连接BO若/C. 62°D. 72°【解析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相 互垂直的性质.根据菱形的性质以及 AM=CN，利用ASA可得MMO CNO ,可得AO=CO，然后可得BO丄AC ,继而可求得/ OBC的度数.四边形ABCD为菱形, AB / CD , AB=BC ,/ MAO= / NCO, / AMO= / CNO ,在MMO和CNO中,"ZMAO= ZNCO AM = CN ,

16、NAMO= ZCNO AMO CNO (ASA ), AO=CO ,/ AB=BC , BO 丄AC ,/ BOC=90 , / DAC=28 ,/ BCA= / DAC=28 , / OBC=90 -28 °62° .故选：C.1.4已知：如图，四边形 ABCD是菱形，过 AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长 线于点F."(1)求证：AM=D；(2 )若DF=2,求菱形ABCD勺周长.【答案】(1)见解析(2) 16【解析】(1)证明：四边形 ABCD是菱形, / BAC= / DAC .又 EF 丄 AC , AC是EM的垂直平分线, AE

17、=AM ,11/ ae=am= -ab=-ad ,22 AM=DM .(2)解： AB / cd ,/ AEM= / F.又/ FMD= / AME , / AME= / AEM ,/ FMD= / F, dfm是等腰三角形,1 df=dm= -ad2 AD=4 .菱形ABCD的周长是16.1.5如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O, DE/ AC, CE/ BD. 求证：四边形 OCE是菱形.【答案】见解析【解析】此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：菱形定义：一 组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.OC

18、ED是平行四边形，再根据矩形的首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论.证明：DE / AC , CE / BD ,四边形OCED是平行四边形,四边形ABCD是矩形, OC=OD ,是菱形.四边形OCED1.6若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形【答案】C【解析】如图，根据题意得：四边形 EFGH是菱形，点 E, F, G, H分别是边 AD , AB , BC, CD的中点, EF=FG=CH=EH , BD=2EF , AC=2FG , BD=AC .原四边形一定是对角线相等的四边形.故选：C.1.7如图，在矩形 ABCD中，对角线BD的垂直平分线 MN与 AD相交于点 M与BD相交于点N,连接BM DN(1) 求证：四边形BMDNi菱形；(2) 若 AB=4, AD=8 求 MD的长.【答案】(1)见解析(2) 5【解析】(1)证明：四边形 ABCD是矩形, AD / BC , / A=90° , / MDO= / NBO , / DMO= / BNO , 在 DMO 和 BNO 中pDMO “BNO 匕