2.4.1逆变换与逆矩阵(2)

1、镇江实验高级中学高中数学教案 (选修4 - 2)【矩阵与变换】§ 2.4.1逆变换与逆矩阵教学目标：1、知识与技能：理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。理解逆矩阵的唯一性和 （AB-1 = B1A1等简单性质，并了解其在变换 中的意义。会从几何变换的角度求出 AB的逆矩阵。会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。2、过程与方法：通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵的条件；通 过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在3、情感态度与价值观：使用通俗的语言和丰富有趣的实例来循序渐进地展开教学内容，以此来激发学生的学习兴趣；通过设置思考与探究，来给

2、学生创设思考与探究 的空间.重点难点：1、教学重点：逆矩阵及其求法。2、教学难点：逆矩阵的求法。教学方法：自主合作探究 教具准备：多媒体设备教学过程：问题探究、引入概念【情境】我们知道二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点P(x,y)变换到点P' (x ',y ').反过来，如果已知变换后的结果P' (xy ')，能不能“找到回家的路(逆变换)”，让它变回到原来的点P(x,y)呢？'(x,y)走过去走过来 (x：y')从变换的结果来看，虽然经历“走过去”又“走过来”的两次变换，但是最终还是回到原地，变回为“自己”.由于每个矩阵对应着一

3、个几何变换，这两次连续的变换却又对应着两个矩阵的积，于是，上面的问题就变成了已经知道了矩阵 A,我们能否找到一个矩阵B,使得连续进行的两次变换的结果与恒等变换的结果相同【引入例】对于下列给出的变换矩阵A,是否存在变换矩阵B,使得连续进行两次变换(先 Ta后Tb)的结果与恒等变换的结果相同？以x轴为反射轴作反射变换；绕原点逆时针旋转 60°横坐标不变，沿 y轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换；沿y轴方向，向x轴作投影变换；纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y) t (x+2y,y)的切变变换；解：对于反射变换 Ta,满足条件的变换就是它自身，即B= A.对于旋转变换

4、Ta,存在旋转变换Tb, B为绕原点顺时针旋转 60°的 变换矩阵对于伸压变换 Ta,存在变换Tb,它对应着使平面内的点保持横坐标不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的1/2的变换矩阵B.对于投影变换 Ta,不存在满足条件的变换矩阵B.对于切变变换 Ta,存在切变变换 Tb,它对应着使得平面内的点保持纵坐标不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且(x,y) T(x 2y,y)的变换矩阵B.合作学习、形成概念【逆矩阵的定义】对于二阶矩阵A, B,若AB= BA= E,则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.【说明】当一个矩阵 A表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才 是可逆的。B为A的逆矩阵，贝U

5、 A也是B的逆矩阵；若A是可逆的，则 A的逆矩阵是唯一的，记为A1.假设Bi, B2都是A的逆矩阵，贝U AB= BiA= E, AB2= B2A= E,所以B= EB= (B2A)Bi = B2(AB) = BE= B2一 1 1【思考】M的逆矩阵M和函数y=f(x)的反函数y=f (x)有什么异同？MMI1= M 1M= E, f 1f(x)= x, f f 1(x)= x.一 1【若A可逆，则求A的方法】几何变换：待定系数法：- d-b |卄"la 若A =b(ad be 式0),则 A-1ad -bead - beLcd-ca.ad-be ad-bc 若二阶矩阵A, B均存在

6、逆矩阵，则 AB也存在逆矩阵，且(AB厂1= BTA1.【证明】由于二阶矩阵 A, B均存在逆矩阵，它们分别为A1, B"，故1 1 1 1AA = A A= E, BB = B B= E1 1 1 1 1 1(AB)(B A ) = A(BB )A = AEA = AA = E,1 1 1 1 1 1(B A ) (AB) = B (A A)B= B EB= B B= E,因此，(AB)* B1A1.若A, B, C为二阶矩阵，且 AB= AC,若矩阵A存在逆矩阵，则 B= C.【证明】因为矩阵 A存在逆矩阵，故 AA 1= E,于是1 1 1 1B= EB= (A A)B= A

7、(AB) = A (AC) = (A A)C= C【思考】如果二阶矩阵 A存在逆矩阵，且 BA= CA那么B= C成立吗？ 成立，证明同上学以致用、深化概念请把【例1】用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在,它求出来；若不存在，请说明理由【分析】矩阵A是反射变换矩阵，它存在逆矩阵,A4矩阵B为伸压变换矩阵，它存在逆矩阵,2 o_-4B010C0-1101;B =2;C =;D =10 一J01一0 一0 一镇江实验高级中学高中数学教案 （选修4 - 2）【矩阵与变换】【例2】求矩阵5 7_-A的逆矩阵.【分析】（待定系数法），设Alxy，利用AA1 = E得到关于w矩阵C是旋转变换

8、矩阵，它存在逆矩阵，1矩阵D是投影变换矩阵，它不存在逆矩阵【评析】：11012【例3】求解矩阵AB的逆矩阵AJ1P0bJ-1 _101 ；【分析】J0一31x,y,z,w 的方程组，求解即得A=87一8588【评析】：镇江实验高级中学高中数学教案 (选修4 - 2)【矩阵与变换】101_1111 _A=01ba =112二(AB)=B°A° =412一101102 一(AB)1 A 1二 B"A"0101【例4】已知变换4 X ，试将它写成坐标变换的形2 .V式;已知变换试将它写成矩阵乘法的形式【解】x|X+4y |V f $x+2yr.y自主探究、巩固概念总结反思、提高认识1.对于二阶矩阵 A, B,若有AB= BA= E，则称A是可逆的，B称为A的逆 矩阵【说明】B为A的逆矩阵，贝U A也为B的逆矩阵.若二阶矩阵 A存在逆矩阵B,则A的逆矩阵是唯一的，通常记 A的 逆矩阵为A_1_，且A_1= B.当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。2.求二阶矩阵bdad -be =0)的方法有:几何变换:待定系数法:a c_-A若-bad beaad be _:d b -(