1.1定积分背景——面积和路程问题

1、4.1.1 定积分背景面积和路程问题教学设计课件 4.1.1 定积分背景面积和路程问题是选用的北师大版高中数学选修 2-2 第四章第一节的内容。教学过程 :一、问题引入 师：1.求湖泊的面积： 师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答） 师：对于曲边围成的图形（曲边梯形）的面积如何来求呢？（一问激起 千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未 知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探 究这种曲边图形的面积的求法。二、学生活动与意义建构 先提问：问题 1、我们古代的数学家是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？1、让学生自己回忆，探求，讨论

2、（ 34 分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以长方形的面积近似代替曲边梯形的面积，但误差很大， 如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边梯形进行分割， 形成若干个 曲边梯形。（在讨论的过程中渗透分割的思想） 师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？ （通过讨论希望学生能出以下二 种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）方案二万案一方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多, 三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的 越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的

3、面积。（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三种方案是本节课内容的核心，故 多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想, 从近似中认识精确，给学生探求的机会） 师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从 而可以计算出整个曲边梯形面积的近似值，（求和），并且分割越细, 面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求的湖泊的面积。如何求这个湖泊的面积，以方案一为例: 分割细化将区间a.b等分成n个小区间，每个区间的长度为多少（学生回答）， 过各个区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲

4、边梯形，它们的面积 分别记作ASi 。以直代曲 对区间a.b上的小曲边梯形，以区间左端点Xi斗对应的函数值f（Xi为一 边的长，以&i为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。（当分割很细时，在a.b上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以,常取左右端点或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的 解题提供了方法） 作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以每个小 矩形面积之和就是所求曲边梯形面积 的近似值:逼近3、分成两组，分别以方案一、方案二按上述四个步骤重新计算曲边梯形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。（设计的目的是培养学生的合作交流的

5、能力，优化解题方案） 师：请用流程图表示求曲边梯形面积的过程4、反思（如何分在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么?割，求和逼近是两大难点）（在新课程的课堂教学过程中，经常性地问学生一些这样的问题，可以让学生对自己的学习过程起到一个自查作用，查漏补缺，对培养学生学 习数学的自查意识是一个很好的途径，也可以活跃课堂气氛） 三、数学应用1、典型例题n师：在方案一中，和式5： f（XiJMXi表示曲边梯形的面积的近似值， 这i丄一和式不仅是有直观的几何意义，还有丰富的实际背景。例1:求变速运动的路程一辆汽车在直线形公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v（t） = t2+ 5（单位：km

6、/h）.试估计这辆汽车在0<t <2（单位：h）这段时间内行 驶的路程 解：将区间0,2等分成n个小区间，每个小区间的长度为 -，在每个小n区间上取一点Xi-1，虽然汽车的速度不是常数，但在一个小区间内其变 化很小，可以用f（Xi-i）来近似代替火箭在第i个小区间上的速度，这样,火箭在第i个时段内运行的路程f（Xi4）AXin从而 火箭在0,2内运行的路程总和£ f（Xi_L）Mxj7这就是函数 在时间区间0,2上按（*）式所作的和的实际背景。（由于学生初次遇到这类问题，语言表达比较困难，故教师在教学过程 中最好采用对话式教学，边说边写，规范板书）（设计这道例题的目的，一是培养学生的文字表达能力，二是让学生体 会数学在物理上的应用，也为后面的定积分的物理意义变力所做的功, 变速运动的位移埋下伏笔） 学生练习：课本P46练习 四、回顾反思 知识点:求曲边梯形面积的四个步骤； 数学知识在物理上的应用。反思消化：对今天学习的内容，你觉得有什么困难?在以前的学习过程中，有哪些地