(完整版)同济大学___高数上册知识点

1、高等数学(上)期末复习要点高等数学上册复习要点、函数与极限（一）函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f（x）在 Xo连续 lim f（x） f（x）x X0第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.（二）极限1、定义1）数列极限lim xnan2） 函数极限0,N,n N, Xnalim f

2、 (x) A0,0, x,当 0x x时，f(x) AxXo左极限：f（Xo）limx Xof(x)右极限：f(x) lim f (x)X X0lim f (x) A 存在f (x0)f (x0)x X0极限存在准则 夹逼准则:XnZn ( nn o 厂2)limynlim znanlim xnan单调有界准则：单调有界数列必有极限.无穷小(大)量定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量.无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th10()；Th2,lim 一存在，则lim lim(无穷小代换)求极限的方法单调有界准则;夹逼准则;极限运算准则及函数连续性;两个重

3、要极限:a) lim 沁 1a) x 0 xb)丄lim (1 x)xx 0lim (1 -)x ex无穷小代换：(x 0)a) x sin x tan x arcsinx arctanxb) 1 cosx x2第3页共9页高等数学（上）期末复习要点第5页共9页XXc)e 1x ( a 1xlna)d) In(1x) x(loga(1x)丄In ae) (1 x) 1 - x二、导数与微分（一）导数定义：f（xo）limxf (x)f(X。)左导数:f (xo)XoX Xolim f(X) f(Xo)X xo右导数:f (xo)x Xolim f(x) f(Xo)X XoX Xo函数f (x)

4、在Xo点可导f (xo) f (xo)几何意义：f （xo）为曲线y f （x）在点X。，f （xo）处的切线的斜率.3、可导与连续的关系:4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法.5、高阶导数d2yd dy1） 疋义：dx2dx dxnuv（n）Ck|（k）v（n k）2） Leibniz 公式：uvCnu vk 0（二）微分1） 定义：yf（x。x） f（x。） A x o（ x），其中 A与 x无关.2） 可微与可导的关系：可微可导，且dy f（X。）x f （xo）dx三、微分中值定理与导数

5、的应用（一）中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f （x）满足:1) f(x)Ca,b ；2) f(x)D(a,b) ；3) f(a) f(b)；则(a,b),使f ( )0.2、Lagra nge拉格朗日中值定理*:若函数f（x）满足：1) f(x)Ca,b ；2) f(x)D(a,b)；则(a,b),使 f(b) f(a)f ( )(b a).3、Cauchy柯西 中值定理：若函数f（X）,F（X）满足:1)f(x),F(x) Ca,b ； 2)f(x),F(x) D(a,b) ；3)F (x)0,x (a,b)(a,b),使f(b)F(b)f (a)F(a)（二）洛必达法则（三）Tay

6、lor公式高等数学(上)期末复习要点(四) 单调性及极值1、 单调性判别法：f(x) Ca,b , f(x) D(a,b)，则若 f (x) 0，则f(x)单调增加；则若f (x)0，则f (x)单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：f (x)在xo可导，若xo为f (x)的极值点，贝S f (xo) 0.b) 第一充分条件：f(X)在x0的邻域内可导，且f (xo) 0 ,则若当X xo 时，f(X)0,当X X。时，f(X)0,则X。为极大值点；若当X X。 时，f (x) 0,当x X。时，f (x) 0,则X。为极小值点；若在X。的 两侧f(X)不变号，则x0不是极值点.c)

7、 第二充分条件：f (x)在x0处二阶可导，且f(X。)0 , f(X。) 0，则 若f (x。) 0，则X。为极大值点；若f (x。) 0，则X。为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点,r x1 x2、 f (x1) f (x2)1) f (X)在区间I上连续，若Xi,X2 I, f()2-，则称f (X)在,X x2、 f (x1) f (x2)区间I上的图形是凹的；若X1,X2 I, f(- 2-，则称f(x)在区间I上的图形是凸的.2) 判定定理：f (x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若 x (a,b), f (x)。，则f(x)在a,b上的图形是凹的；b)

8、若x (a,b), f (x)。，则f (x)在a,b上的图形是凸的.3) 拐点：设y f (x)在区间|上连续，x。是f (x)的内点，如果曲线y f(x)经 过点(x。, f(X。)时，曲线的凹凸性改变了，则称点(X。, f(x。)为曲线的拐点.(五) 不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值(最值).(六)方程根的讨论1、连续函数的介值定理;2、Rolle定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线：lim f(x)x a,则x a为一条铅直渐近线;2、水平渐近线：lim f(X)Xb，则y b为一条水平渐近线;四、不定积分(一)

9、概念和性质1、 原函数：在区间I上，若函数F(x)可导，且F (x) f (x)，则F(x)称为f (x)的一个原函数.2、 不定积分：在区间|上，函数f (x)的带有任意常数的原函数称为f (x)在区 间I上的不定积分.3、 基本积分表(P188 ,13个公式)；4、性质(线性性).第7页共9页高等数学（上）期末复习要点（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f （x） （X）dx f（u）du u （x）2、第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）f (x)dxf(t)(t)dtt1(x)（三）分部积分法：udvuvvdu （反对幕指三，前u后v （四）有理函数积分1、“

10、拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质:b定义:af(x)dxnlim0i1f(i)xi第11页共9页性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f（x）在区间a,b上连续，则a,b，f (x)dx f ( )(b a)（平均值：f （）bf(x)dxab a )（二）微积分基本公式（N L公式）x1、变上限积分：设（x） a f（t）dt，则（x） f （x）d (x)推广一(、f(t)dt f (x)(x) f (x)(x)dx (x)F(a)b2、N L公式：若F(x)为f (x)的一个原函数，贝q af(x)dx F (b)(三)换元法和分部积分b1、 换元法：f (x)dxfa(t) (t)dt2、 分部积分法：budvauv ；bvdua(四)反常积分1、 无穷积分f(x)dxalimttf(x)dxabf(x)dxlimtbf(x)