对一堂区公开课的教学设计与反思

1、对一堂区公开课的教学设计与反思顺德区北滘中学 远勋平 万冬梅2008年发表在佛山教研上2007年4月15日，我校数学科组举办了“区高中数学新教材的教学过程与教学方法”的研讨会，我选择了两个变量的线性相关（第二课时）作为会议的研究课。不论是本节课的教学设计，还是上课过程，都受到与会者的好评，至今还有一些老师与我联系，津津乐道本节课。现将本节课的教学设计与教学反思撰写成文，抛砖引玉，与大家一起讨论本节内容如何展开才是更有效的数学教学。一、关于教学设计的反思既然课题就是问题，成果就是解决问题成功方法的总结，所以先认真梳理当前教学过程中存在的一些困惑，可更有的放矢的进行教学设计。（一）备课是研究教材、

2、重知识、轻“学生的现有认知结构”仍蔚然成风现在的备课，有几次是以“学生为核心”的备课？在课本、教参与网上资源间忙忙碌碌中备课，哪次不是以“知识”定教法，几时是先考虑以“学生的学习能力”定教法呢？我们在备课时忽略了对学生已有的学习水平与能力的评价，也就迷失了学生学习新知识的思维的出发点和生长点。（二）上课是教教材、重传授、轻“学生的主动思维”的局面依然流行现在的上课，有几次不是教师的“作秀场”？独特情境的引入有几次是围绕着学生的所需展开的？没有了学生的需求又怎会有求知的欲望！老师丝丝入扣而又头头是道的思路剖析、或者深不可测的思维技巧等如行云流水般貌似成功的教学背后留给学生的越来越是“过眼云烟”、

3、“海市蜃楼”！教学、教学，先教后学、教了才学，教是主导，学生自然是被导，被动学习已不可避免。学生的主动思维总不能成为课堂教学的主体，思维长期压抑而得不到疏导和发展，学习兴趣自然衰减，主动探究能力下降。（三）作业是做题目、重巩固、轻“温故而知新式的研究式学习”依然比比皆是现在的作业，有几次不是“对号入座”式的模仿例题？作业中除了机械训练式的巩固旧知，还有多少可以总结旧知、拓展思维、发展新知。现在的作业，有几次不是“一刀切式”的要全体学生都做？又如何体现因人致宜，因材施教？在全社会各方面都要“以人为本、和谐发展”的今天，数学教育又怎么能固执而不改变呢？作业应该有探究题，不仅重视做作业的结果，做作业

4、的思考过程同样重要。（四）教材新增内容不熟悉、低要求、“轻描淡写的教学过程”仍然众多两个变量的线性相关是新增内容，内容多、知识交叉多、思维量大、应用性强、教学难度大，在教学中很多老师采用学生自学、老师少讲或不讲的的教学方式。殊不知新增内容体现着时代的需求、学生发展的需要，这样的教学方式不仅违背了新课改的教学理念，更恰恰使学生失去了提高数学思维能力和增强数学应用意识的机会。（五）学生听课端坐静听、重结果、轻“历经探究而形成认识和方法”者众多现在的学生，对于一个问题的学习要几番教学，越是复习，学生陷进“思路明、方法懂、计算错”的泥沼越深，考试成绩总比期望值差很多。这难道仅仅是复习不到位的原因吗？一

5、句“学生学习能力低”真的能让我们老师就问心无愧吗？我想最根本的原因是在教学中老师的思维没有植根于学生的思维，脱离了学生的思维模式，学生的思维是被动的，是由老师牵着走；学生的认识结果不是自己的，而是拿了老师的，自己还是不会用。教师一相情愿的讲，学生没有经过“体验、感受”就得到了结果，没有经过“操作、思维”就解决了问题又怎会有对知识的深刻理解！因此，对两个变量的线性相关的教学任务作出如下分析：1.经历描述两个变量线性相关关系的过程，体会线性回归的思想方法。2.历经探究用不同的估算方法描述两个变量线性相关关系的过程，了解其公式的推导过程，培养学生数学化归的意识。3.会求回归直线的方程，能利用回归直线

6、方程解决一些数学应用题，培养学生数学建模的能力。因为本节课的设计将轻“线性回归方程公式系数”这一结果，而重“推导线性回归直线方程中培养学生解决数学问题的能力”这一过程，故确立如下教学重点和难点：1.回归直线的确定和回归方程的推导。2.会由两个变量的线性相关统计数据求出符合题意的回归直线方程。3.理解回归直线与观测数据的关系。二、关于教学过程的反思对于教学过程，如果仅仅拘泥于课堂，毕竟受上课时间、知识难度、学生的认知能力的影响，教学效果总难以达到预期目标。我认为数学的课堂教学过程应“前突后伸”：即有课前预习与思考、课堂探究与整合、课后温故与拓展三个部分，有效的数学课堂教学应该是在学生自主学习的基

7、础上最大可能的形成学生的认知结构、养成解题方法与技能、整合学生的思维方式、发展学生的思维能力。（一）学在教之前从自主预习开始感受、理解知识，轻结果、重问题 爱因斯坦曾经说过：“发展独立思考和独立判断的一般能力应当始终放在首位”，学在教之前，就是要让学生先自主、独立的学习数学。我的学生经过几个月的培训，已经养成了“问题式预习探究”的数学学习习惯和“五个一”的预习方法。即：读一遍课文，了解要学什么；想一遍课文，知道学到了什么；做一遍例题，校正对知识的正确理解是什么；总结一遍例题，反思应注意什么；练一遍练习，感悟在实践中正确运用知识和方法的途径是什么。所以在此自主学习的基础上，两个变量的线性相关给出

8、如下问题重在指导学生“反刍式的探究”：1在散点图中怎样画出线性回归直线？你能确定其正确性吗？2你能尝试推导线性回归直线方程吗？（二）教在关键处在合作探究中推理、运用知识，轻知识、重认识数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜想、探求出适当的数学结论、或规律，给出解释或证明。而讲在关键处，就是对于在探究过程中形成认知结构上的重点、障碍点、难点的认识由学生想、学生说、学生做、学生讨论、老师指导和疏导、形成多维互动，在交流与质疑反思中避免近乎直接告知的猜想和不体验多种情形而回避失败，避免师生“一问一答式”思维暗示而让学生亲历探究

9、的真实。而两个变量的线性相关恰恰提供了最好的素材、恰当的机会，又怎能错过呢？1.学生自学探究检测，在点拨与梳理中逐步形成数学概念数学概念的理解是一个循序渐进的过程，首先要处理新旧知识的联系，产生一个新旧知识的特定概念关系实现知识的迁移；其次是组织起相应的关系结构，以利于新知识的存储和回忆。因此在两个变量的线性相关中设计如下问题串进行检测梳理知识：(1)人体的脂肪含量与年龄之间的关系是函数关系还是相关关系？生1：是相关关系。(2)当人的年龄增加时，体内的脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？生2：脂肪含量随年龄的增加而增加。(3)你能求出70岁的人体内脂肪含量百分比是多少吗？生：（沉思）。师：经验告

10、诉我们，求值就要列方程求解。如果我们能找到象函数关系式y=f(x)这样的关系式来表示脂肪百分含量和年龄这两个变量的关系，就能求出70岁人的脂肪含量。如何找出一个关系式来表示脂肪含量和年龄的关系呢？这就是我们这一节课讨论的主题，用关系式来表示这两个变量的相关关系。(4)如何找出这个关系式呢？还记的必修1学的几个增长的模型吗？生：（学生思考几秒）有线性增长，指数性增长，对数性增长。师：请问同学们，脂肪含量和年龄这两个变量的增长规律，和下面的那一个增长模型比较类似啊？生1：线性增长生2：对数性增长生3：指数性增长师：到底是哪个合适呢？生：（学生思考几秒后讨论） 因为指数性增长是爆炸性增长，增长过快，

11、对数性增长在0到1是负数，也不符合。因为散点分布和直线比较接近。师：对！如果两个变量在散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线的附近,那么我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。回归直线能大致的反映年龄和脂肪含量的增长规律，所以可以用回归直线的方程作为关系式来表示年龄和脂肪含量之间的相关关系。0510152025303540020406080脂肪含量0510152025303540020406080脂肪含量0510152025303540020406080脂肪含量反思：对于常规内容，在学生自主预习的基础上，由学生认识讨论交流，老师采用“点一点、提一提”的“点拨式”讲法，

12、梳理知识，纠正错误，形成认知结构。2.师生合作探究思考，在讨论与辨析中递进发展数学概念(1)讨论辨析“附近”的含义师：点在回归直线的附近是什么意思？生1：附近就是在周围。生2：附近就是靠近。生3：附近就是接近。（利用作回归直线的方法来探究“附近”的含义）师：好，既然“附近”是“靠近、接近”的意思，那么请同学们在散点图上画出回归直线。（学生作图画直线，老师巡堂，发现不同的学生画的回归直线并不同，用投影仪显示三个例(图1)子（如右图1）师：同学们，你们认为以上哪种画法正确？学生开始讨论，认为以上作图法各有道理，但又怀疑都存在问题“附近”到底应该是有多近？师：大家的质疑很好。正是因为“附近”是一个定

13、性的标准，还不是定量的值。那么，在数学上“附近”是什么意思？生：附近就是距离小的意思。师：（总结）满足每个散点到直线的距离的和最小的直线为回归直线。（演示课件（如图2），直线既可以平移，也可以旋转，利用电脑的计算功能引导学生观察回归直线的位置）（2）用数学的语言来描述回归直线的定义师：同学们尝试一下，如何用数学的语言描述以下回归直线的定义？经过学生思考讨论归纳出：首先应由待定系数法设出回归直线方程，其次还要用点到直线的距离公式表示出距离来。即生：哇！（形式太复杂，不能解决）师：当这个距离和最小时，的值为多少？求出了也就求出了回归直线的方程了。反思：对于数学概念，若在形成认识的过程中由学生想、做

14、、说、辩，充分酝酿、展现思维，老师是教学互动中的指导，就没有剥夺学生在概念形成前对概念内涵的感受，自然认识就深入的多。（3）探求用直线的倾斜角来表示距离师：你能将表达式化简、求值吗？若不能，应该怎么办？生：沉默不语。(图2)师：想一想，直线的位置确定了，我们还可以得到什么结论？学生思考并发言作直角三角形的方法，在反复的发言辨析与争论中，老师进行思维整合。回归直线是距离散点最近的，只有一条。假设这就是那条回归直线，那么它有一个固定的倾斜角，我能否用利用角来表示距离呢？经验告诉我们，要求角和边的关系，就要解直角三角形。如何构造出直角三角形呢？师：过A点做X轴的垂线，垂足为点D,交回归直线于点 C，

15、这样我就制造出两个直角三角形，并且它们是相似的，所以， 根据根据直角三角形角与边的关系，有(图3)，即。（右图3）要使距离最小，也就是要保证最小，是不是要简单一点呢？因为 。（4）用偏差表示距离将称作为这个点到直线的偏差。现在问题转化为满足偏差最小时的值为多少（学生尝试用偏差表示距离，老师展示学生运算结果）。生1：生2：生3：将数值代入后发现距离变小或为负数生4：上述表示形式是错的。偏差有正有负，两个偏差加起来有可能抵消了。师：（强调总结）由于偏差不是距离，所以点到回归直线的偏差的不能真实的反映点到直线的距离。那怎么办？生4：用偏差的绝对值表示，即（由学生表示偏差形式的距离）。生5：所有偏差的

16、和为师：但是如何化掉绝对值呢？生1：遇到绝对值就平方。生2：两边同时平方。生3：不是，应将每个绝对值分别平方。师：为什么？生4：经验告诉我们！因为在推导方差公式时是这样变形的。即师：在数学上求上式的最小值方法是：当 （*） 时的值最小，从而就求出了的值，也就求出回归直线的方程。（同学们，关于是如何求出的就作为我们今天的作业研究一下。）反思：通过设疑，鼓励学生有疑、讲疑、解疑、质疑，在发现与反思中培养学生的质疑意识，让质疑成为学习习惯。在讨论辨析中整合出正确的解题方案，突出重点，突破难点；更重要的是可以及时纠正学生的错误，发现学生思考问题解决的出发点，修正老师解决问题的切入点。讲课时，经常有学生

17、会突然站起来指点“江山”：或修正原解法、或提出新思路、或发现新解法。每一次的发言都能激起同学们的讨论、辩解。此时不正说明了学习者的积极投入、思维的快速发展、解题分析在讨论中越辩越明。此时我所做的是梳理：从错误中找到闪光点鼓励发言者，因为他激起了大家学习的热情；感谢提出正确思路的同学，因为他就是思维航行的指明灯，为我们指明了解决问题的方向；感激发现正确解法的同学，因为他为我们解决问题开辟了一片新天地，使我们长了见识、多了本领。这样，让学生在不断的看数学、想数学、做数学、说数学、辩数学、反思数学、应用数学，在做中学、学中思、思中悟中培养自己的对数学的认识，在探究中解决问题并形成新认知。（5）观察回

18、归方程的系数公式、确定应用方法师：你认为应该先求，还是先求？ 生：先求,因为 的表达式中含有。师：在求时应如何处理？生：（思考）处理数据最好的方法是列表求值法。要求每个点纵横坐标乘积的和，纵横坐标的平均值，横坐标的平方和，这多多数据，我们最好是列表来求。（6）初步应用公式现在我们利用最小二乘法求所讨论的脂肪含量和年龄这两个变量的回归方程。列（列表求值）（表略）：求（求系数）：得，写（写方程）：回归直线的方程为我们就用回归方程作为脂肪含量和年龄的关系式，将70岁代入回归方程得脂肪含量为。（7）课堂总结在长期的教学中，课堂总结已经形成一种模式：课堂总结是知识的总结、方法的提炼、技能的强化、易错问题

19、的提醒，课堂总结与教学任务前后呼应、连贯一致。对于两个变量的线性相关的课堂总结设计如下：从知识方面来讲：本节课学习了用直线的方程来表示两个变量的相关关系，记住回归直线的定义和回归方程的形式，理解方程系数公式。从方法方面来讲：（1）掌握求回归直线方程的方法和解题步骤：方法待定系数法步骤一列（列表求值）二求（求与）三写（写回归方程）（2）形成解决数学应用题的思路和解题步骤：思路将实际问题转化为数学问题建立数学模型求的数学问题的结论归结到实际问题中解决步骤审题（弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系）建模（将文字语言转化为数学语言、建立相应的数学模型）求模（求解数学模型，得出数学结论）还原（将用数学

20、方法得到的结论，还原为实际问题的意义 ）解题时应注意的问题：在求回归直线的方程时应注意方程系数的意义，不要写错位置，在求系数时应采用列表法整理数据，不要出错。（三）练在四基点在温故而知新中探究、拓展知识，轻技能、重反思与建构学习要取得很好的成绩，训练显得尤为重要，而传统的训练往往是没完没了的作业，接二连三的考试，学生疲惫又厌学，在反复的训练中也基本上只做了早已经会做的问题，原来不会的问题还是不会。所以改变传统的作业模式理应成为改变学生学习方式的重要一环。所谓“练在四基点”，就是数学练习应包括四个最基本的内容：巩固知识，知识形成网络；强化解法，解法形成技能；总结方法，方法形成规律；反思上课过程，形成思维习惯。1.常规性练习是数学理解的初试步骤，是巩固“双基”必不可少的练习：假设关于某设备的使用