【KS5U解析】浙江省金华市东阳中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

1、东阳中学2020年上学期期中考试卷（高二数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合a=1，2，3，4，b=2，4，6，则ab的元素个数是（ ）a. 0个b. 1个c. 2个d. 3个【答案】c【解析】试题分析：求出a与b的交集，找出交集元素的个数即可解：a=1，2，3，4，b=2，4，6，ab=2，4，则ab的元素个数是2个故选c考点：交集及其运算2.直线x+2y+3=0的斜率是（ ）a. b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析】将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出直线的斜率【详解】解：由题可

2、得,则直线斜率为故选a【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题3.“且”是“直线过点”的（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件【答案】a【解析】【分析】充分性：验证在直线上，充分性成立；必要性：点代入不一定得到且，必要性不成立.【详解】充分性：且则，验证在直线上，充分性成立；必要性：点代入得不一定得到且，必要性不成立.故选：a【点睛】充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据进行判断(2)集合法：根据成立对应的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转

3、化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.函数的最小正周期是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据三角函数的周期公式得到结果.【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数，=2，t=故选b【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单.存在周期性，其最小正周期为t=.5.已知，且，则实数的值为（ ）a. b. 2c. 8d. 【答案】b【解析】【分析】直接利用向量的平行的坐标运算，求出的值即可.【详解】解：已知，且，则，所以.故选：b.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力.6.已知等比数列中，则由此数列的偶数项所组成的新

4、数列的前n项的和为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因为等比数列中，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选d7.中，角所对的边分别为，若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据正弦定理得到，结合两角和的正弦公式即可得到答案.【详解】，则，即，因为，所以，所以，故选：c.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.设椭圆的离心率为,焦点在轴上且长轴长为26,若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线的标准方程为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分

5、析】根据椭圆焦点在轴上且长轴长为26，得到，再由椭圆的离心率为，得到，再根据曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，得到双曲线与椭圆共焦点以及实半轴长求解.【详解】因为椭圆焦点在轴上且长轴长为26，所以，又因为椭圆离心率为，所以，因为曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，所以，所以曲线的标准方程为.故选：a【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9.设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ）a. b. c. 1d. 2【答案】a【解析】【分析】【详解】因为解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线a

6、x+by=z（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点a（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：a.10.定义域为的偶函数满足对任意的实数，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先根据题意得到函数为上的偶函数，且周期为，令，画出，在区间的图象，将函数在上至少有三个零点，转化为函数与在上至少有三个交点，列出不等式组，从而得到的取值范围.【详解】由题知：，令，.因为为偶函数，所以，即.所以，即的周期为.又因为，所以函数的图象关于对称.设，当时，画出

7、，在区间的图象，如图所示：因为函数在上至少有三个零点，所以函数与在上至少有三个交点.所以，解得故选：b【点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据题意画出函数的图象为解题的关键，同时考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算即可.【详解】，.故答案为：；【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.12.若函数是偶函数，则_，值域为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】首先根据为偶函数，利用即可

8、算出的值，再利用，即可得到函数的值域.【详解】，定义域为.因为为偶函数，所以.所以，即.，因为，所以.即值域为.故答案为：；【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了二次函数的值域问题，属于简单题.13.在等差数列中，若，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首先根据，即可得到的值，再根据，利用诱导公式即可得到的值.【详解】因为，所以，.因为，所以.故答案为：；【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了三角函数的诱导公式，属于简单题.14.一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为_该该几何体的体积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】首

9、先将三视图还原几何体得到直观图为正四棱锥，再根据三视图的长度计算表面积和体积即可.【详解】由题知：该几何体为正四棱锥，为底面的中心，直观图如图所示：因为，所以该几何体的表面积，所以该几何体的体积故答案为：；【点睛】本题主要考查三视图的还原，同时考查了四棱锥的体积和表面积，属于简单题.15.过点的直线与抛物线交于两点，且则此直线的方程为_.【答案】8x-y-15=0【解析】【分析】为中点，设，相减得到，故，计算得到答案.【详解】，故为中点，设，则，相减得到，故，故直线方程为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查了点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.若函数在区间内是增函数，则实

10、数的取值范围是_ .【答案】【解析】【分析】先求得导函数，根据导函数与函数单调性关系，结合所给区间，即可求得的取值范围.【详解】函数，则，函数在区间内是增函数，所以在区间内恒成立，即在区间内恒成立，所以在区间内恒成立，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，根据函数单调区间求参数的取值范围，属于基础题.17.若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解.【详解】,设 ，且，故答案为：【点睛】解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变

11、元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知向量，且分别是锐角三角形三边所对的角.（1）求的大小； （2）若成等比数列，且，求的值.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）根据向量数量积得到，计算得到答案.（2）根据题意，计算得到答案.【详解】（1） ，即，所以，又因为是锐角三角形内角，所以.（2）因为，又，所以，即，即，所以.【点睛】本题考查了向量的数量积，等比数列的性质，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设数列是公差大于零的等差数列，已知. （1）求数列的通项公式

12、；（2）设数列是以为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2），利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1），故，解得或（舍去）.故.（2），则，故.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20.在四棱锥中，平面，.（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】试题分析：（1）要证平面，从而通过证明，即可（2）作于点，连接由（1）知平面，故所以平面，从而得，故是二面角的平面角，由在中，得出等式解方程即可试题解析：（1）证明

13、：设为与的交点，作于点由四边形是等腰梯形得，所以，从而得，所以，即由平面得，因为，所以平面 （2）解：作于点，连接由（1）知平面，故所以平面，从而得，故是二面角的平面角，所以在中，由，得在中，设，可得解得，即21.已知椭圆离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设过点直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2） 或【解析】【分析】（1）根据离心率，和菱形的面积为4，即求解。（2）由（1）可知点a的坐标是（-2，0）.设点b的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.与椭圆方程联立消去y并整理，得.再利用两点间的距离公式，通

14、过求解。【详解】（1）由，得.因为，所以.由题意可知，即.所以.所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知点a的坐标是（-2，0）.设点b的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.直线l的方程与椭圆方程联立消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.适合所以直线l的倾斜角为或.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题。22.设函数（1）求函数的最小值；（2）设，讨论函数的单调性；（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：【答案】（1）；（2）当时，在上增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.【详解】（1），令，得因为当时；当时，所以当时，（2），当时，恒有，在上是增函数； 当时，令，得，解得；令，得，解得，综上，当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 要证，即证，等价于证，令，则只要证，由知，故等价于证 (*) 设，