2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5名师精编学案：第三讲二一般形式的柯西不等式

1、名校名师推荐般形式的柯西不等式学习1.理解三维形式的柯西不等式,在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.i2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值等问题.预习案，自主学习.T研读思考芸试,学生用书P43)新知提炼1 .三维形式的柯西不等式设a1，a2,a3,bi,b2,b3是实数，则(al+a2+a3)(b1+b2+b3)。(aibi+a2b2+a3b3广,当且仅当bj=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=i,2,3)时，等号成立.2 .一般形式的柯西不等式设ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是实数，则(a2+a2+a2)(b2+

2、b2+b2)>但与士a也工土二土_0曲抽，当且仅当b=0(i=i,2,，n)或存在一个数k,使得a=kbi(i=i,2,，n)时，等号成立.自我尝试,1 .判断(正确的打“，”，错误的打"x”)(I)二维形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情况.()(2)三维形式的柯西不等式可以由空间向量的几何意义推导出来.()(3)柯西不等式中的字母a,b,c,具有轮换对称性，按照一定顺序轮换，式子不变.()(4)在应用柯西不等式时，不需要验证等号成立的条件.()答案：(I)，(2)，(3)，(4)X2 .已知x,v,z>0,且x+y+z=I,则x2+y2+z2的最小值是()I

3、A.iB.-3iC.2D.3答案：B3.设a,b,c>0,且a+b+c=i,则,+出+代的最大值是()A.iB.V3C.3D.9答案：B4.已知a,b,cCR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为.解析：由柯西不等式，得(i2+i2+i2)(a2+4b2+9c2)(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2>I2,当a=2b=3c=2时，等号成立，所以a2+4b2+9c2的最小值为I2.答案：I2探究案，讲练互动,电堡探究,突破探究点1利用柯西不等式证明不等式学生用书P44(i)设a,b,c为正数，求证a7十bc名校名师推荐(2)设ai,a2,，an为实数，bi,b

4、2,，bn为正实数，求证:2222a+a2+an>(a+a2+an)bib2bnbi+b2+bn【证明】222 b + 7+l(a+b+c)=临+闺+编(加)2+(乖)2+(乖)2= (a+ b+ c)2,刍2 b2 c2、即-+7/a+b + c)>(a+b+ c)2.因为 a, b, cC R+,所以 a +b+c>0,所以 a + + >a+ b+ c.b c a222ai . a2 . an(2)鼠+后+ +bJbi+ %+-+%A隽.的+/.西+/.财=(ai+ a2+ +an)2因为bi, b2,，bn为正实数，所以 bi + b2+ bn>0.222

5、2而A ai a2 . an.(为+&+即)所以一 十 一+ ->bi b2bn bi b2 bn .当且仅当ai=詈=,时，等号成立.bi b2bn利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(i)构造符合柯西不等式的形式及条件(2)构造符合柯西不等式的形式及条件(3)构造符合柯西不等式的形式及条件 式的目的.,可以巧拆常数.,可以重新安排各项的次序.,可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等(4)构造符合柯西不等式的形式及条件 也跟踪训练i.已知正数a, b, c,可以添项. 求证：b2c2+c2a2+a2b2a+ b+ c>abc.证明：构造两组数 ab, bc, ca; c

6、a, ab, bc,则由柯西不等式得,a2b2+b2c2+c2a2- ,c2a2+a2b2+b2c2> ab - ca+ bc ab+ ca bc,即 b2c2 + c2a2 + a2b2v abc(a + b+c).于是b2c2+c2a2+a2b2a+ b+ c> abc.52.已知a,b,cR,a2+b2+c2=i.求证：|a+b+c|w3.证明：由柯西不等式，得(a+b+c)2w(12+12+12)(a2+b2+c2)=3.所以一3Wa+b+cw3,所以|a+b+c|w3.探究点2用三维形式柯西不等式求最值学生用书P44设a,b,c为正数，且a+2b+3c=13,求，%+/2

7、5+皿的最大值.因为（a+2b+3c） （43）,xV3+V2bx1+V3Lx所以（4+4十班）213*3+1+所以3a+2b+c<133,3当且仅当*=罩=亭时等号成立.,311,3又a+2b+3c=13,所以当a=9,b=3,c=1时，(43a+亚+&)max=3¥3233利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题，其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果，同时要注意等号成立的条件.区跟踪训练设2x+3y+5z=29,求函数严1+3y+4+5z+6的最大值.

8、解：根据柯西不等式，有(12x+11+13y+41+，5z+61)2<(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)(1+1+1)=3X(2x+3y+5z+11)=3X40=120.故：2x+1+V3y+4+<5z+6W2730,当且仅当2x+1=3y+4=5z+6,即x=37,y=28,z=劄等号成立.此时即ax=2,/30.素养提升、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,1 .对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方.运用时的关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2 .一般形式柯西不等式

9、成立的条件an b?由柯西不等式的证明过程可知A=0?f(x)min=0?axbl=a2Xb2=二anxbn=aia20?bl=b2='=bn"或bTW=【规范解答】构造三维柯西不等式求最值典例(本题?茜分7分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|xb|+c的最小值为4.求a+b+c的值；(2)求1a2+#+c2的最小值.【解】(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c>|(x+a)(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当一a<x<b时，等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的

10、最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(3分)(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式，得&+步+c2)(4+9+1)>(a><2+x3+cx1)2=(a+b+c)2=16,即1a2+1b2+c2>1.4923497(5分)1r 一 2a当且仅当一214,即a=7,Tc= 2时等号成立,故2+1b2+c2的最小值是§(7497分)规范与警示(1)结合本题特征，用绝对值三角不等式求函数f(x)=|x+a|+|xb|+c的最小值简单快捷非常方便，此外本题也可作出函数f(x)的图象，利用数形结合思想方法求解.(2)本题第(2)问的求解显然需要构造三维形式柯西不等式的条件及结构特点，因为现有的两组数为(a2,9b2,c2:口(a,b,c),因此需构造一组常数(4,9,1)才能符合三维柯西不等式的条件.当堂检测1 .若x,y,zCR,x2+y2+z2=1,求m=J2x+>/2y+*/5z的最大值.当且仅当解：由柯西不等式得(x2+y2+z2)(亚)2+(V2)2+(V5)2>(V2x+42y+V5z)2,等号成立,所