【中考几何模型压轴题】专题9《费马点》

1、中考几何压轴题（几何模型30讲）最新讲义专题9费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离.若三角形的内角均小于120。，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分 费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120。，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.若三角形有一个内角大于等于120。，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在4ABC中，/ BA0120° ,求证：点 A为ABC勺费马点 证明：如图，在 ABC内有一点P延长BA至C,使得AG= AC作/ CAP Z CAP 并且使得AP= AP,连结PP贝UzXAPCiAAP

2、C PC= PC因为/ BA0120°所以/ PA邑 / CACc 60所以在等腰 PAP中，AP> PP所以 P/ PB+ PO PP+ PB+ PC> BC= AB+ AC9所以点A为4ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120° ,则以三角形的任意两边向外作等边三角 形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.如图，在4ABC中三个内角均小于120。，分别以AR AC为边向外作等边三角形, 两个等边三角形的外接圆在 ABC内的交点为Q求证：点O为ABC勺费马点证明：在ABCft部任意取一点O, ;BC 3将4AO磔着点A逆时针旋转60。

3、所以 AOO为等边三角形，OO所以。金OO O氏OO + O计O' 则当点B、Q O'、D四点共线时, 此时ABAC边向外作等边三角形，；连接 OA OB OCC,得到 AO D连接OO则O' D= OC=AOD。心 OB OCR小两个等边三角形的外接圆在 ABC内的交点即为点O如图，在 ABC中，若/ BAC / ABC /ACB匀小于120° ,。为费马点，则有/ AOB = /BO* /CO每1200 ,所以三角形的费马点也叫 三角形的等角中心例1 如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（一6, 0）,点B的坐 标为（6, 0）,点C的坐标为（6, 4

4、v3）,延长AC至点D使得C* AC过点 DE作DE/ AB,交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点，点P从直线y = 邛x + 6再与y轴的交点M出发，先沿y轴到达点G,再沿GAgU达点A,若点P在y 轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P 按照上述要求到达A所用的时间最短GM GA 2GA GM2v v 2v 当2GA GMft小时，时间最短如图，假设在OM±存在一点G,则BG= AG MJ 2AG= MGb A® BG把 MG晓点B顺时针旋转60° ,得到 M G B,连结GG , MM .GG B、AMIM B都为等边三

5、角形则 GG = G' B= GB又M G = MG .MJA（G- BG= M' G +GG + AG丁点A、M为定点 .AM与OM的交点 为G,止匕时MJ Aa BG最小 点G的坐标为（0, 2V3）例2 A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路 系统使得每两个城市之间都有公路相通， 并是整个公路系统的总长度为最小，则 应当如何修建？解：如图，将 AB啖点N逆时针旋转60° ,得到4EBM同样,将 DC端点C 顺时针旋转60° ,得到 FCN连结AE DF,则AABE zDCF均为等边三角形， 连结PM QN则4BPM CQU匀为

6、等边三角形所以当点E, M P, Q, N, F共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为 线段EF的长，如图，此时点P, Q在EF上， 仁 2= 3= 4 = 30 .进阶训练1 .如图，在 ABC中， AB谖60 , AB= 5, BO3, P 是 ABC内一点， 求PA+ PB+ PC的最小值，并确定当 PA+ PB+ PC取得最小值时，APC的度数.答案：PA PB+ PC的最小值为7,此时 APC= 120EB【提示】如图，将 APB绕点B逆时针旋转60 ,得到 A BP ,连结PP , A'C .过点A作A E BQ交CB的延长线于点E.解Rt A' EC求A' C的长，所 得即为PA+ PB+ PC的最小值.2 .如图，四边形ABCEM正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN连结AM CM EN(1)当M在何处时，ACM勺值最小？(2)当M在何处时，AB吠CM勺值最小？请说明理由；(3)当A吐BM CM的最小值为 疵1时，求正方形的边长.答案：(1)当点M落在BD的中点时，AW CM的值最