一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案.

1、一、选择题1、设 、 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ， ，则（ ）A B C D2、下列命题：若 ，则 ； 若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；若 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3. 其中正确的是（ ）只有 只有 只有 只有3、若一次函数 的图象过第一、三、四象限，则函数 （ ）A有最大值 B 有最大值 C 有最小值 D 有最小值4、已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（ 1，0），（ 3，0）对于下列命题：b2a=0； abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确

2、的有（ ）A3 个 B 2 个 C 1 个 D0 个5、关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，且 ，则 的值是（ ）A1 B 12 C13 D25二、填空题6、设 、 是方程 的两根，则代数式 = 。7、已知关于 一元二次方程 有一根是 ，则 。三、计算题8、已知：关于 的方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（ 2）若方程的一个根是 ，求另一个根及 值9、解方程：四、综合题10、已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大 1，求的值.11、如图：抛物线 与 轴交于 A、B 两点，点 A 的坐标是（ 1，0），与 轴交于点 C（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐

3、标；（2）过点 C作 CP对称轴于点 P，连接 BC交对称轴于点 D，连接 AC、BP，且 BPD=BCP，求抛物线的解析式。12、已知关于 x 的二次函数 y=x 2- （2m-1 ）x+m2+3m+4.（1）探究 m满足什么条件时，二次函数 y 的图象与 x 轴的交点的个数 .（2）设二次函数 y 的图象与 x 轴的交点为 A（x1，0），B（x2，0），且 + =5，与 y 轴的交点为 C，它的顶点为M，求直线 C M的解析式 .13、如图，已知点 ，直线 交 轴于点 ，交 轴于点（1）求对称轴平行于 轴，且过 三点的抛物线解析式；（2）若直线 平分 ABC，求直线 的解析式；（3）若直

4、线产 （ >0）交（ 1）中抛物线于 两点，问： 为何值时，以 为边的正方形的面积为9？14、如图，抛物线 交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，连结 ， 是线段 上一动点，以为一边向右侧作正方形 ，连结 ，交 于点 （1）试判断 的形状，并说明理由；（2）求证： ；（3）连结 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，试探究 的最小值215、如图，抛物线 yx bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O为坐标原点，点 D为抛物线的顶点，点 E在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF为矩形，且 OF2，EF3(1) 求抛物线所对应的函数解析式；(2) 求ABD的面

5、积；(3) 将AOC绕点 C逆时针旋转 90°，点 A 对应点为点 G，问点 G是否在该抛物线上？请说明理由五、简答题16、已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程 的两个实数根，第三边 的长是 (1) 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形；(2) 为何值时， 是等腰三角形，并求 的周长17、已知关于 的一元二次方程： （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 （其中 ）若 是关于 的函数，且 ，求这个函数的解析式；（3）在（ 2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 的取值范围满足什么条件时， 18、已知抛物线 y = ax 2x + c 经过点

6、Q（2， ），且它的顶点 P 的横坐标为 1设抛物线与 x 轴相交于 A、B两点，如图（1）求抛物线的解析式；（2）求 A、B两点的坐标；（3）设 PB于 y 轴交于 C点，求 ABC的面积19、如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4）、抛物线与 y 轴交于点 B（0，3），与 x 轴交于 C、D两点.点 P 是 x 轴上的一个动点 .（1）求此抛物线的解析式 .（2）当 PA+PB的值最小时，求点 P 的坐标20、已知二次函数 的部分图象如图 7 所示，抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 .（1）若 ，求 的值；（2）若实数 ，比较 与 的大小，并说明理由 .参考答案一、选择题1、C

7、2、B3、B4、考点：二次函数图象与系数的关系。分析：首先根据二次函数图象开口方向可得 a0，根据图象与 y 轴交点可得 c0，再根据二次函数的对称轴 x= ，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1，结合对称轴公式可判断出的正误；根据对称轴公式结合 a 的取值可判定出b0，根据 a、b、c 的正负即可判断出的正误；利用 b2a=0 时，求出 a2b+4c 0，再利用当 x=4 时，y0，则16a+4b+c 0，由知， b=2a，得出 8a+c0解答：解：根据图象可得： a0，c0，对称轴： x= 0，它与 x 轴的两个交点分别为（ 1，0），（ 3，0），对称轴是 x=1， =1，b+2

8、a=0，故错误； a0，b0，abc 0，故正确；a2b+4c 0；b+2a=0，a2b+4c=a+2b 4b+4c=4b+4c ，ab+c=0，4a4b+4c=0 ， 4b+4c=4a，a0，a2b+4c=4b+4c=4a0，故此选项正确；根据图示知，当 x=4 时，y0，16a+4b+c 0，由知， b=2a，8a+c0；故正确；故正确为：三个故选： A点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数 a 决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b同号时（即

9、ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（ 0，c）5、C二、填空题6、17、4三、计算题8、解：（ 1） ，无论 取何值， ，所以 ，即 ，方程 有两个不相等的实数根（ 2）设 的另一个根为 ，则 ， ，解得： ， ，的另一个根为 ， 的值为 1 15 9、解：由题意得：由方程（ 2）得： 代人（ 1）式得解得， 或 代人得 或四、综合题10、设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ，则方程 的两根为 ，由题意得， 5 分两式相加，得 ，即 ，所以， 或 10 分解得

10、或又因为所以 ；或者 ，故 ，或 29. 20 分11、解：（ 1）对称轴是 ，点 A（1，0）且点 A、B 关于 x=2 对称，点 B（3，0）；（2）点 A（1，0），B（3，0），AB=2，CP对称轴于 P，CPA B，对称轴是 x=2，ABCP且 AB=CP，四边形 ABPC是平行四边形，设点 C（0，x）（x0），在 RtAOC中，AC= ，BP= ，在 RtBOC中，BC= ， ，BD= ， BPD=PCB 且PBD=CBP， BPDBCP，BP 2=B D?BC，即 = ，点 C在 y 轴的负半轴上，点 C（0， ），y=ax2-4ax- 3 ，过点（ 1，0），a-4a- 3=

11、0 ，解得： a= 解析式是：12、解：（ 1）令 y=0，得： x 2- （2m-1 ）x+m2+3m+4=0=（2m-1 ） 2-4 （m2+3m+4）=-16 m-15当 0 时，方程有两个不相等的实数根，即 -16 m-15 0m-此时， y 的图象与 x 轴有两个交点当 =0 时，方程有两个相等的实数根，即 -16 m-15=0m=-此时， y 的图象与 x 轴只有一个交点当 0 时，方程没有实数根，即 -16 m-15 0m-此时， y 的图象与 x 轴没有交点当 m- 时，y 的图象与 x 轴有两个交点；当 m=- 时，y 的图象与 x 轴只有一个交点；当 m- 时，y 的图象与

12、 x 轴没有交点 .（评分时，考生未作结论不扣分）（2）由根与系数的关系得 x1+x2=2m-1 ，x1x2=m 2+3m+4+ =（x1+x2） 1x2=（2m-1 ） 2-2x 2-2 （m2+3m+4）=2m2-10 m-72-2x 2-2 （m2+3m+4）=2m2-10 m-7 + =5，2m 2-10 m-7=5 ，m2-5 m-6=0解得： m1=6，m2=-1m- ， m=-1y=x 2+3x+2令 x=0，得 y=2，二次函数 y 的图象与 y 轴的交点 C坐标为（ 0，2）又 y=x 2+3x+2=（x+ ）2+3x+2=（x+ ）2- ，顶点 M的坐标为（ - ，- ）设

13、过 C（0，2）与 M（- ，- ）的直线解析式为 y=kx+b则 2=b k =- = k+b，b=2所求的解析式为 y= x+213、解：（ 1）直线 交 轴于 点，交 轴于 点。由此，得 点坐标为 ， 点坐标为 。由于抛物线过 ， ，故可设抛物线解析式为 。抛物线过点 ， ，抛物线解析式为 ，即 。（2）过 点作 ，交直线 于点 平分 ， ， 点坐标为设 的解析式为 ，解这个方程组，得直线 的解析式为 。（3）设 两点的横坐标分别为由题意知， 是方程 ，即 的两根，则 ， 时，以 EF为边的正方形的面积为 9。14、（ 1）令 ，得 ，令 ，得 ，（）如图， ， 是正方形，（） ， 设

14、， 则 ，当 时， 有最小值 715、考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：(1) 在矩形 OCEF中，已知 O F、EF的长，先表示出 C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式(2) 根据(1) 的函数解析式求出 A、B、D三点的坐标，以 AB为底、 D点纵坐标的绝对值为高，可求出 ABD的面积(3) 首先根据旋转条件求出 G点的坐标，然后将点 G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可解答：解： (1) 四边形 OCEF为矩形， O F2，EF3，点 C的坐标为 (0 ，3) ，点 E的坐标为 (2 ，3) 把 x0，y3；x2，y3 分别代入 yx2bxc 中，得

15、 ，解得 ，抛物线所对应的函数解析式为 y x22x3；(2) yx22x3( x1)2 4，抛物线的顶点坐标为 D(1 ，4) ， ABD中 AB边的高为 4，令 y0，得 x22x30，解得 x11，x23，所以 AB3( 1) 4， ABD的面积 ×4×48；(3) AOC绕点 C逆时针旋转 90°，CO落在 CE所在的直线上，由 (2) 可知 OA1，点 A对应点 G的坐标为 (3 ，2) ，当 x3 时，y322×3302，所以点 G不在该抛物线上点评：这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中五、简答题16、解：

16、由题意得： (1) ，整理得： ( 不合题意，舍去 )当 时 是以 为斜边的直角三角形；(2) 若 ；则 ，结果 ， ；注； 此问用根的判别式做也可以若 , 则 ，解得： ，当 时， ；当 时， ；若 ，同样 时 ：当 时， ；当 或 时 是等腰三角形，其周长为 14 或 16注：不论 或 都说明 是方程的一个根，也可以把 代入方程解得 值17、（ 1）证明： 是关于 的一元二次方程，当 时， ，即 方程有两个不相等的实数根 .3 分（2）解：由求根公式，得 或 ， ， ， 即 为所求 7 分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出 与 的图象由图象可得，当 时， 9 分18、（ 1）由题意得

17、 解得 ， 抛物线的解析式为 （2）令 y = 0 ，即 ，整理得 x 2 + 2 x3 = 0 变形为 （x + 3 ）（x1）= 0 ， 解得 x1 =3，x2 = 1 A（3，0），B（1，0）（3）将 x = l 代入 中，得 y = 2 ，即 P（1，2）设直线 PB的解析式为 y = kx + b，于是 2 = k + b，且 0 = k + b解得 k = 1，b = 1 即直线 PB的解析式为 y = x + 1 令 x = 0 ，则 y = 1 ， 即 O C= 1 又 AB= 1 （ 3）= 4 ， SABC = ×AB×O C= ×4×1 = 2 ，即 ABC的面积为 219、解：（ 1）抛物线顶点坐标为（ 1,4 ）设 y=a( x-1)2+4由于抛物线过点 B(0，3)3=a(0-1)2+4解得 a=-1解析式为 y=- ( x-1)2+4即 y=- x 2+2x+3（2）作点 B关于 x