数理统计例题(1)课件

1、例题解析（1）例1设随机变量X和Y相互独立，。是X的一个样本，是的一个样本，测得数据（1）分别求的矩估计量；（2）分别求的极大似然估计值；（3）在显著水平下检验假设 ，。 解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得和的矩估计值：。 （2）正态总体的参数的极大似然估计量为。因此的极大似然估计值为 （3）是未知，双总体方差的假设检验。待检假设；，是在下的单侧检验。 因为。所以F同机量得值 查F分布表，得.经比较知，故接受，认为大。例2 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。机器1机器2机器30.2360.2570.2580.2380

2、.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262 试考察机器对薄板厚度有无显著的影响。解 检验假设。是各台机器生产的薄板总体的均值。经计算， 。，,.列出方差分析表如下方差来源平均和自由度均方F比结论因素20.005266132.92显著误差0.000192120.000016总14因为，故拒绝，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。下面写出常用的几个估计：是的无偏估计。分别是的无偏估计。是的无偏估计，且。两总体与的均差值的置信度为的置信区间为。例3 求上例中未知参数的点估计及均值差的置信度

3、为0.95的置信区间。解 ，又由，知，故的置信度为0.95的置信区间分别为（0.242-0.2560.0055）=（-0.0195，-0.0085），（0.242-0.2620.0055）=（-0.0255，-0.0145），（0.256-0.2620.0055）=（-0.0115，-0.0005）。例4 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原料，每种搭配都做一种试验，测的产品成品的压强（单位：兆帕）数据如下表：催化剂原料 31 33 3534 36 3735 37 3939 38 42试在下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。解 设为因素A在水平的效应，为因素B在水平

4、的效应。待检验假设， 。因为，所以，。列出方差分析表如下 方差来源平方和自由度均方结论因素因素误差总和25.1769.34 4.1698.673361112.58523.113 0.69318.12633.35显著显著 因为，所以拒绝和，认为催化剂和原料的影响都是显著的。例5 设关于某设备的使用年限和支出的维修费用（单位：千元）如下所示：2 3 4 5 62.2 3.8 5.5 6.5 7.0求（1）关于的回归方程，的无偏估计； （2）检验回归是否显著，并求时，维修费用的0.95预测区间。解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。列计算表： 2 2.2 4 4.4 4.843 3.8 9

5、11.4 14.444 5.5 16 22.0 30.255 6.5 25 32.5 42.256 7.0 36 42.0 49.0020 25 90 112.3 140.78并计算下列数据：，解得 ，。所以，线性回归方程为。的无偏估计为。（2）将代入回归方程得。因为，所以的置信度为0.95的置信区间为。计算统计量 。因为，故知回归效果是显著的。例6（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问三种菌型的平均存活天数有无显著差异？ 表4-3菌 型 接种后存活天数 型（）2 4 3 2 4 7 7 2 5 36 型（）5 6 8 5 10 7 12 6 6 65 （

6、）7 11 6 6 7 9 5 10 6 67 计算： 列成表格 如下，其中，方差来源 平方和 自由度 均方 值因素 2 33.4445 7.1809误差 24 4.6574 总和 26 ，查表 对给定的显著水平，查表因，故拒绝，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌的平均存活天数有显著差异。关于未知求，（i1,2,3）的参数估计的区间估计的置信区间为（=X=3.065(0.936,7.065), (4.158,10.287), (4.380,10.509)（）=2.0640（5.322， 1.123）；（5.544， 1.345）； （2.322， 1.878）例7.（正交试验）为了制造轴承，寻求新

7、钢种最佳等温淬火工艺。考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：），等温温度（单位：），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。 水平列号A加热温度 B 等温温度 C淬火返修次数 1 2 3 900 880 860 250 260 270 0 1 2 因为是3元素3水平，选择正交表合适。 制定试验方案表 表头设计 A B C 列号试验号 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880） 3（860） 1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 33（2）1（0）2（1）231123 2

8、 3 1 3 1 2 1 2 3 确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。等1号试验条件是：加热温度是900（），等温温度是250（，返修次数是2次（），记作为 ，类似地第2号试验条件是，第9号试验条件是。试验方案的实施 按正交表中的试验条件严格操作。将各次的试验结果记录下并列如下表中。 其中 第列因素水平，第列因素水平的3次试验指标的平均例 对因素，有硬度。各因素的3个水平的负荷之和各元素的3个水平平均硬度。=（硬度）= 列号试验号 1(A) 2(B) 3(C) 试验指标负荷硬度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1（900） 2（880） 3（860）

9、1 2 3 1 2 3 1（250） 1 1 2（260） 2 2 3（270） 3 33（2）1（0）2（1）231123 5.5 7.4 5.9 5.7 6.1 7.8 8.4 9.5 6.9 59.5 59.0 59.0 58.0 58.0 58.0 57.057.5 57.057.5 57.057.5负荷 19.60 18.80 23.60负荷单位：硬度单位：硬度 174.75 177.50 174.25负荷 23.00 19.60 21.10硬度 174.25 174.00 174.25负荷 20.60 24.80 18.50硬度 174.25 171.75 174.75负荷 6.5

10、3 6.27 7.87硬度 58.25 59.20 58.10负荷 7.67 6.53 7.03硬度 58.10 58.00 58.10负荷 6.87 8.27 6.17硬度 58.10 57.25 85.25负荷 3.40 6.00 5.10硬度 0.15 1.95 0.15正交试验结果的分析1. 直接看：（1）比较9次试验的负荷：抗压负荷最高的试验条件是，即第8号试验，其次是（第7号试验），（第6号试验），（第2号试验）。（2）再比较9次试验的硬度是：硬度的高低主要取决于等温温度，加热温度和返修次数对硬度无明明显影响。综合考虑，等2号试验的条件问好。2. 计算分析；（1）负荷 因素 平均负

11、荷是 因素 平均负荷是 因素 平均负荷是由此分析出是最好的试验条件。但这个条件在表中没有出现。类似 （1）硬度根据每个因素对试验指标的影响不同，区分出主次。由上表可见 主 次 负荷 硬度 用极差大小来区分主次：若某因素的极越大，则该因素对指标的影响就越大。结果可以看出是因素。综合平衡考虑：硬度不能低于在这一条件下高负荷的好水平组合为。试验结果的分析很分别的在正交表中进行。3. 方差分析 这是3元素3水平的无重复试验设计问题。其效应模型为 设表示从第1号试验到第9号试验的试验指标。具体效应模型表示如下检验假设 总离差平方其中第列的离差平方和，由于正交表具有均衡分散性和综合可比性的特点，所以=同理 记为因素的平方和 为因素的平方和为因素的平方和。则，当为真时，检验统计量分布；当为真时，检验统计量分布；当为真时，检验统计量分布。若给定显著系性水平，拒绝域，当拒绝，则认为因素对试验指标有显著影响；当拒绝，则认为因素对试验指标有显著影响；当拒绝，则认为因素对试验指标有显著影响；利用正交表进行方差分析时，要确定自由度可以用如下方法。；正交表每列的自由度正交表总的自由度即每个因素平方和的自由度正交表总的自由度=各自由度之和，即；正交表空白列的自由度=误差平方和的自由度。若无空白列，则将最小的离差平