高职高等数学 第二章 导数与微分第二节初等函数的求导法则(二

1、沈 阳 工 程 学 院 第二节 初等函数的求导法则 (二 (Rule of Finding Derivative of Elementary Function 教学目的:1.掌握复合函数的求导法则2.会求函数的高阶导数内 容:1.复合函数的求导法则2.高阶导数教学重点:复合函数的求导法则教学难点 :利用复合函数的求导法则时注意函数的复合过程、合理分解、正确使用链式求导法则教 具:多媒体课件教学方法 :精讲多练教学过程:1. 引入新课:函数求导的四则法则只能求出一些简单的初等函数的导数,对于复合函数的导数 又如何计算?2. 教学内容:一、复合函数的求导法则定理.( (, (, ( (, (000

2、0000x u f dx dy x x f y x u u f y x x u x x ''=且其导数为可导 在点 则复合函数 导 可在点 而 可导 在点 如果函数 即:因变量对自变量求导 , 等于因变量对中间变量求导 , 乘以中间变量对自变量求 导 .(链式法则 证:, (0可导 在点 由 u u f y = (lim 00u f uy u '= 0lim ( (00=+'=u u f uy 故 u u u f y +'= (0则 x y x 0lim (lim 00xu x u u f x +'=x u x u u f x x x +'

3、;=0000lim lim lim (. ( (00x u f ''=沈 工 程 学 院 推广:,(, (, (x v v u u f y =设 . (dxdv dv du du dy dx dy x f y =的导数为则复合函数 例 1设 (ny ax b =+,求 xy '解 设 u ax b =+,则 ny u =(11n n x u x y y u n u a na ax b -'''=+例 2求函数 ln tan 24x y =+ 的导数 解 设 ln , tan , 24x y u u v v =+2211sec 2112tan co

4、s 2424112sin cos 242411sec cos sin 2x u v x y y u v v u x x x x x x x ''''=+ =+ =+ 例 3求函数 2sec y x =+的导数解沈阳 工 程 学 院 ( ( ( 2222222sec sec 2sec sec tan csc2sec tan csc 12sec tan csc y x x x x x x x x x x ''=+''=+'=+-'=-=+二、高阶导数问题 :变速直线运动的加速度 ., (t f s =设 ( (t f

5、t v '=则瞬时速度为 的变化率对时间 是速度 加速度 t v a . ( ( (''='=t f t v t a 定义:.( (, ( (lim (, ( (0处的二阶导数 在点 为函数 则称 存在 即处可导 在点 的导数 如果函数 x x f x f xx f x x f x f x x f x f x '''-+'='''记作 . (, , (2222dx x f d dx y d y x f 或 ''''二阶导数的导数称为三阶导数 , . , , (33dxy d

6、y x f ''''''三阶导数的导数称为四阶导数 , . , , (44 4( 4(dx y d y x f记作 阶导数 的 阶导数的导数称为函数 的 函数 一般地 , (1 (, n x f n x f -. (, , ( ( (n n n n n n dxx f d dx y d y x f 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 .(; (, 称为一阶导数 称为零阶导数 相应地 x f x f '沈 阳 工 程 学 院 注意:求函数的高阶导数并不需要引进新的公式和法则,只需用一阶导数的公式 和法则即可。例 4.0(, 0(, ar

7、ctan f f x y '''''=求 设 解 211x y +=', 11(2'+=''x y 22 1(2x x +-= 1(2(22'+-='''x x y 322 1( 13(2x x +-=022 1(2 0(=+-=''x x x f =0, 0322 1( 13(2 0(=+-='''x x x f .2-=例 5., ( (n y R x y 求 设 =解 1-='x y (1'=''-x y 21(-

8、=x 1(2'-='''-x y 3 2(1(-=x 1( 1( 1( (+-=-n x n y n n 则为自然数 若 , n ( ( (n n n x y =, ! n = ! ( 1('=+n y n =0注意 :求 n 阶导数时 , 求出 1-3或 4阶后 , 不要急于合并 , 分析结果的规律性 , 写出 n 阶导数 .(数学归纳法证明 例 6., sin (n y x y 求 设 =解 x y cos =' 2sin(+=x 2cos(+=''x y 22sin(+=x 22sin(+=x 22cos(+='''x y 23sin(+=x 2sin( (+=n x y n 同理可得 2cos( (cos (+=n x x n沈 阳 工 程 学 院 课堂练习:求下列函数的数(10231. 312. 2sin 33. sin