高等代数试题附答案0001

1、科 目 名 称：高 等 代 数姓名：班级：考试时间：120 分钟 考试形式：闭卷SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、在P X中，向量1 x x2关于基1, x 1,x23x 2的坐标为_。2、向量组11,2, 1,22,4, 2,33,0,3,1, 1,2,55, 3,8的秩为_，一个最大无关组为_._。3、 （维数公式）如果y,v2是线性空间 V 的两个子空间，那么_。3204、 假设A 1 31的特征根是_，特征向量分别为_。5715、 实二次型f X1,X2,X34x1X22x1X32x2X3的秩为_、是非题（每小题

2、2 分，共 20 分）1、如果a1,a2, ,ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ）2、 在Px中，定义变换Af（x） f（xo）,其中xoP，是一固定的数，那么变换 A 是线性变换。（）3、 设W1,W2是向量空间 V 的两个子空间，那么它们的并 W,W2也是 V 的一个子空间。（ ）4、 两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、 令（X1,X2,X3,X4）是 R4的任意向量，那么是 R4到自身的线性变换。其中（）（X12,x|,xf,X4）。（）6、矩阵 A 的特征向量的线性组合仍是 A 的特征向量。（）7、若矩阵 A 与 B 相似，那么 A

3、 与 B 等价。（）&n阶实对称矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。（）9、在M2（R）中，若 W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么 W 是M2（R）的子空间。（）10、齐次线性方程组（E A）X 0的非零解向量是 A 的属于 的特征向量（ ）三、明证题（每小题XX分，共 31 分）1、 设1,2, ,n是线性空间 V 的一组基，A 是 V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当A1, A2, An线性无关。（10）2、 设 是n维欧氏空间 V 的一个线性变幻，证明：如果 是对称变幻，2= |是单位 变幻，那么是正交变换。（11）3、 设 V 是一个n维欧氏空间，证明：如果W1,W2都

4、是 V 得子空间，那么W W2W W20（ 10）四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）1331、求矩阵A353的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得 P1AP 为对664角形矩阵。3202、求一个正交矩阵U，使得UAU使对角形式，其中A 242o0253、化二次型f X1,X2,X34x1X22x1X32x2X3为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数一、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、（ 3,4,1 ）2、 秩为 2，个最大无关组为1,33、维（V） +维（V2）=维（VV2） +维（VV2）姓名:班级:考试时间：120 分钟 考试形式：闭卷4、特征根是 1，

5、1， 2，特征向量分别为5、秩为 3、是非题（每小题 2 分，共 20 分）1、 （是）2、 （是）3、 （是）4、 （否）5、 （否）6、 （否）7、 （是）8（是）9、 （是）10、 （是）三、明证题（每小题XX分，共 31 分） 1、证明 设A可逆，则 A1存在，且 A1也是 V 的线性变换，（1）若A1,A2, ,An线性相关，则A （A1）, A （A2）, ,A （An），（2）即1,2, ,n也线性相关，这与假设1,2, ,n是基矛盾，故A1,A2, , An线性无关。（5）反之，若A1,A2, ,An线性无关，因 V 是n维线性空间，故它也是 V 的1,1,1,22,1, 1

6、,故 对 V中任意向量1有1A(k1 1k2 2kn n)，即存在(k11k2 2kn n)，使 A()1，故A为 V 到 V 上的变换。（8）若又有l1 1l2 21n n使A( )1，即AI1A112A2InAn(k1A1k2A2knAn)，因为A1,A2,An日甘lki,(i1,2,n),即，从而 A 又日 、 zft土存故 A 为可逆变换。 （10）是基,li是的变换,2、证：2),)2,）（,，=:Q (2),(8)=2)2(2(10)=0J（11）3、证：（1）wWwW2wW2wW2,(5)同理 wwW2，(8)一组基，（7）则 w 她 w 她O(10)四、计算题(每小题 8 分，共 24 分)1、解：E A=(2)2(4)，则 A 的特征根为1,24,i(i 1,2,3)，它们对应的特征向量分别为易知13线性无关，取P 01那么就得1AP00。(8)42、解:E A (1)(4)(7)，则特征根为1,4,对应它们的线性无关的特征向量分别为他们单位化后分别为2313,232321313132323取正交矩阵U2323丄3231132