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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据(如下表),确定人口指数增长模型和Logistic模型中的待定参数,估计出美国2010年的人口,同时画出拟合效果的图形。表1 美国人口统计数据年 份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.

2、5提示:指数增长模型:Logistic模型:解:模型一:指数增长模型。Malthus 模型的基本假设下,人口的增长率为常数,记为r,记时刻t的人口为 ,(即为模型的状态变量)且初始时刻的人口为,因为由假设可知 经拟合得到:程序:t=1790:10:1980;x(t)=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);

3、plot(t,x(t),r,t,x1,b)结果:a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为:,其中x0 = 1.2480e-016,输入:t=2010;x0 = 1.2480e-016;x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 。模型二:阻滞增长模型(或 Logistic 模型) 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,人口增长到一定数量后,增长率会下降,假设人口的增长率为 x 的减函数,如设,其中 r 为固有增长率 (x 很小时 )

4、,为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量), 于是得到如下微分方程: 建立函数文件curvefit_fun2.mfunction f=curvefit_fun2 (a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a(2)*(t-1790);在命令文件main.m中调用函数文件curvefit_fun2.m % 定义向量(数组)x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4;plot(

5、x,y,*,x,y); % 画点,并且画一直线把各点连起来hold on; a0=0.001,1; % 初值% 最重要的函数,第1个参数是函数名(一个同名的m文件定义),第2个参数是初值,第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y); disp(a= num2str(a); % 显示结果% 画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2(a,xi);plot(xi,yi,r);% 预测2010年的数据x1=2010;y1=curvefit_fun2(a,x1)hold off运行结果:a=311.9531 0.y1

6、 =267.1947其中a(1)、a(2)分别表示中的和,y1则是对美国美国2010年的人口的估计。第二题:问题重述:一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给与鼓励,俱乐部只准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量(g)76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6问题分析:鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一

7、般来说,鲈鱼的胸围越大,鱼的体重会越重,身长越长,体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联系,共同影响鱼的体重。建模的目的是寻求鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律模型假设:1、鲈鱼的身长越长体重越重,体重与身长存在正相关关系;2、鲈鱼的胸围越大体重也越重,体重与胸围存在正相关的关系;3、鲈鱼的胸围、身长互相影响,共同作用鲈鱼的体重;4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。符号说明:鲈鱼的身长鲈鱼的胸围鲈鱼的体重模型的建立及求解:(一)、鲈鱼体重与身长模型的确立为了研究鲈鱼身长与体重的关系,我们利用已测量的数据,取出身长及体重的数据,利用MATLAB软件画出散点图,如下:从图形

8、上看,鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系,我们利用多项式拟合的方法,得到: (1)根据拟合的函数,我们画出拟合图:从拟合图上看,大部分原始数据在拟合函数附近,说明用二次函数拟合的效果较好,下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计,用相对误差检验拟合度,得到下表:表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长(cm)31.832.132.135.936.836.843.845.1重量(g)48248245465273776511621389拟合值(g)466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相对误差(%)3.20.445.73.444.935.753.570

9、.86从表中的数据,我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大,说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。(二)、鲈鱼体重与胸围的模型确立 仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响,我们采用与模型一相同的方法,先画出鲈鱼体重与胸围的散点图:从图形上看,鲈鱼体重与胸围可能成线性关系,利用多项式拟合的方法,我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式: (2)根据拟合函数(2),画出胸围与体重关系的拟合图:利用拟合函数及实际数据,求出实际值与拟合值得相对误差表:表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围(cm)21.321.621.622.924.824.827.931.8重量(g)4824824546

10、5273776511621389拟合值(cm)462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差(%)4.131.607.866.556.392.507.982.81从鲈鱼胸围与体重的拟合图,及表二中的数据,我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高,鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大,说明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。(三)、建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下,鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响,因此考虑建立身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设,(4),即:鲈鱼的体态用与胸围等周长,与身长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高,底面积可以用周长表示:.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积,因此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为:,问题转化为对系数的求解。根据已知数据,利用MATLAB软件求解,得到: 0.0327 (3)因此, (4)利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表:表三、重量估计值及相对误差重量(g)7654821162737

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