【KS5U解析】广东省佛山市2020届高三教学质量检测（二模考试）数学（理）试题 Word版含解析

1、20192020学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）高三数学（理科）试题2020年5月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6

2、0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）a. b. 或c. d. 或【答案】b【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，根据并集的概念即可得出结果.【详解】或，或，故选：b.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题.2.复数z满足，则（ ）a. 1b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【详解】因为复数满足，则，故选：a.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题.3.的二项展开式中，x的系数与的系数之差

3、为（ ）a. b. c. 90d. 0【答案】d【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出的系数与的系数，再求其差即可.【详解】的二项展开式中，通项公式为，故的系数与的系数之差为，故选：d.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4.设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )a. 3b. 4c. 18d. 40【答案】c【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值考点：线性规划.5.设函数，则下列结论错误的是（ ）a. 的最小正周期为b. 的图像关于直线对称c. 的最大值为d. 的一个零点为【答案】

4、d【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据的图象与性质判断出各选项的真假.【详解】因为，所以的最小正周期为，的最大值为，a、c正确；当时，所以的图象关于直线对称，b正确；因为，所以不是函数的零点，d错误故选：d.【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数的图象与性质的应用，属于中档题.6.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】首先得出，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可.【详解】，即，即，故选：a.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.7.已知点在抛

5、物线c：（）的准线上，过点a的直线与抛物线在第一象限相切于点b，记抛物线的焦点为f，则（ ）a. 6b. 8c. 10d. 12【答案】c【解析】【分析】由点在准线上可知的值，从而确定抛物线的方程，设点的坐标为，通过对抛物线方程求导，可得点直线ab的斜率，再通过、两点的坐标也可求得，于是建立关于的方程，解之可得的值，最后利用抛物线的定义即可得解.【详解】抛物线的准线方程为，点在准线上，即，抛物线的方程为，即，设点的坐标为，对求导可得，直线ab的斜率为，由、，可知，解之得，或（舍负），点，由抛物线的定义可知，故选：c.【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的

6、斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.8.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄

7、色球的概率为：，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：，故选：a.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.9.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比(本期数-去年同期数)/去年同期数，环比(本期数-上期数)/上期数下列结论中不正确的是（ ）a. 2019年

8、第三季度的居民消费价格一直都在增长b. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些c. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上d. 2019年3月份的居民消费价格全年最低【答案】d【解析】【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案.【详解】由折线图知：从2019年每月环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故a正确；在b中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故b正确；在c中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在以上，进而估

9、计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故c正确；在d中，不妨设1月份消费价格为，故可得2月份价格为；同理可得月份价格为；4月份价格为；月份价格和4月份价格相同；6月份价格为，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格是最低的，故d错误.故选：d.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题.10.已知p为双曲线c：（，）上一点，为坐标原点，为曲线c左右焦点.若，且满足，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】点在双曲线的右支上，且满足，即有为外接圆的圆心，即有，运用勾股定

10、理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点在双曲线的右支上，且满足，即有为外接圆的圆心，即有，由双曲线的定义可得，所以，则，由，即，即有，故选：c.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题.11.已知a，b，c是球o的球面上的三点，若三棱锥体积的最大值为1，则球o的表面积为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】作出草图，易得和均为等边三角形，当面面时，三棱锥的体积最大可求出球的半径，进而可得球的表面积.【详解】设球的半径为，如图所示，和均为等边三角形，边长为，由图可得当面面

11、时，三棱锥的体积最大，此时，解得，则球o的表面积为，故选：c.【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.12.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线c.已知点是双纽线c上一点,下列说法中正确的有（ ）双纽线c关于原点o中心对称； ； 双纽线c上满足的点p有两个； 的最大值为.a b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】对,设动点,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立；对,根据的面积范围证明即可.对,易得若则在轴上,再根

12、据的轨迹方程求解即可.对,根据题中所给的定点,距离之积等于,再画图利用余弦定理分析中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】 对,设动点,由题可得的轨迹方程,把关于原点对称的点代入轨迹方程显然成立.故正确；对,因为,故.又,所以,即,故.故正确；对, 若则在的中垂线即轴上.故此时,代入，可得,即,仅有一个.故错误；对,因为,故,即,因为,故.即,所以.又,当且仅当共线时取等号.故,即,解得.故正确.故正确.故选：b【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨

13、析.属于难题.第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.设命题p：，则为_.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题否定是特称命题求解.【详解】因为命题p：，是全称命题，所以其否定是特称命题，即：，.故答案为：，.【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题.14.已知函数，若，则_.【答案】4【解析】【分析】化简成奇函数加一个常数的结构,再求解的值即可.【详解】由题, ,设,则为奇函数.故.故.故答案为：4【点睛】本题

14、主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15.在面积为1的平行四边形中，则_；点p是直线上的动点，则的最小值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由平行四边形的面积为1可得，根据向量数量积的定义即可得出的值；由于，取bc的中点q，连接pq，则，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】平行四边形的面积为1，即，故.，取bc的中点q，连接pq，则，此时，故答案为：，.【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题.16.数学兴趣小组为了测量校园外一座“

15、不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定a点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到b点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为_米.（精确到0.1）参考数据：， 【答案】31.6【解析】【分析】由题意画出简图，设，即可得、，利用即可得解.【详解】由题意画出简

16、图，如图：由题意可得，所以，设，则在中，在中，所以，解得，所以该建筑的高度约为米.故答案为：31.6.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前n项和为（），满足，成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设数列的公比为q，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得、，即可得解；（2）由题意，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列的公比为q，依题意得，所以即，因为，所以，

17、解得或， 因为，所以， 又因为，所以即，所以；（2）题意可得，则 .【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n项和的应用，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，点m，n分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点为q，连接，由平面几何知识可得且，进而可得，由线面平行的判定即可得证；（2）过点p作交于点e，作交cd于点f，连接，取的中点为o，连接，建立空间直角坐标系后，求出平面的一个法向量为、直线的方向向量，利用即可得解.【详解】（1）证明：取的中点为q

18、，连接，如图：又点n是的中点，则且，又点m是的中点，底面是矩形，则且， 且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面；（2）过点p作交于点e，作交cd于点f，连接，则，平面，又平面，平面平面，.设平面平面，可知，平面平面，取的中点为o，连接、，则平面，、两两垂直，以o为坐标原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,，如图所示，则，设平面的一个法向量为，则由，令可得. 设直线与平面所成角为，则 直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19.已知椭圆c：（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆c的方程

19、；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于m，n两点，过点m作圆的一条切线，交椭圆于另一点p，连接，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率为，且过点，由，结合求解.（2）当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为或，验证即可. 当直线斜率存在时，设直线的方程为，根据直线与圆相切，得到，设，则，联立，由弦长公式求得 ，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为，且过点.所以，又，解得，所以椭圆c的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，依题意，可得直线的方程为或. 若直线：，直线：，可得，则，所以；其他情况，由对称性

20、，同理可得. 当直线斜率存在时，设直线的方程为，直线与圆相切，圆心o到直线的距离为，即，设，则，联立，消元y，整理得，则，. ， ，.，. 综上可知成立.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山

21、市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x（）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.x57911y200298431609工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型： 模型：.其中模型的残差（实际值预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是一个与产量x相关的随机变量,分布列为：qp0.50.40.1结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少

22、（精确到0.1）？【答案】（1）模型更适宜作为y关于x的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元.【解析】【分析】(1)作出模型的残点图,再对比的残点图分析即可.(2)根据题意作出y的分布列,进而得出其数学期望,再求导分析其单调性求出最大值即可.【详解】（1）模型的残差数据如下表：x57911y200298431609 20 21模型的残点图如图所示. 模型更适宜作为y关于x的回归方程,因为： 理由1：模型这个4个样本点的残差的绝对值都比模型的小.理由2：模型这4个样本的残差点落在的带状区域比模型的带状区域更窄.理由3：模型这4个样本的残差点比模型的

23、残差点更贴近x轴.（2）设月利润为y,由题意知,则y的分布列为：yp0.50.40.1 设函数, 令,解得或（舍）,当时,则单调递增；当时,则单调递减.则函数的最大值,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元.【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题.21.已知函数（）.（1）若恒成立，求a的取值范围；（2）若，证明：在有唯一的极值点x，且.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）计算得到，再证明当（）时，先证明（），讨论和两种情况，计算得到证明.（2）求导得到，得到存在唯一实数，使，存在唯一实数，使，得到，得到证明.【详解】（1）由，得，即，解得，以下证明，当（）时，.为此先证：（）.若，则；若，则.令（），可知，函数单调递增，故，即（），综上所述：（）. 若（），则当时，故，即；当时，由（），得.故当（）时，.综上，所求a的取值范围是. （2），令，是上的增函数，又， 故存在唯一实数，使，当时，递减；当时，递增.又，则，. 故存在唯一实数，使. 当时，递减；当时，递增.所以在区间有唯一极小