数列通项公式的求法之构造辅助数列(教师版

1、数列通项公式的求法之构造辅助数列 预习案：1数列an满足an+1=2an-1，a1=2，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x=2(an+x),即an+1=2an+x,对比系数有x=-1， 故由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1)，即an+1-1=2，得新数列an-1是以an-1a1-1=2-1=1为首项，以2为公比的等比数列，an-1=2n-1，即通项an=2n-1+1。整理：一阶线性递推的一般形式及其解决方法： 思路：利用待定系数法，将an+1=qan+d化为an+1+x=q(an+x)的形式，从而构造新数列an+x是以a1+x为首项，以q为公比的等比数列。（待定系数法

2、，构造等比数列） 教学案：题型一：递推公式满足an+1=qan+g(n)型例1. 已知数列an满足an+1=2an+(2n-1)，且a1=2，求数列an的通项公式。设an+1+k(n+1)+b=2(an+kn+b)，解得k=2,b=1，求得an=52n-1-2n-1。 小结：当g(n)为一次函数时,思路：利用待定系数法，构造等比数列an+kn+b设an+1+k(n+1)+b=q(an+kn+b)例2. 已知数列an满足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)， 比较系数得，an+1+3(

3、n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)， 故数列an+3n2+10n+18为以a1+312+101+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an+3n2+10n+18=322n-1，则an=2n+4-3n2-10n-18小结：当g(n)为二次函数时，思路：构造等比数列an+xn+yn+z利用待定系数法设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=q(an+xn2+yn+z) 例3. 已知数列an满足an+1=2an+32n，a1=2，求数列an的通项公式。 解：an+1=2an+32n两边除以2n+1，得2an+1an3an+1an3，则， =+-=2

4、n+12n22n+12n2故数列an33an是以1为首项，以为公差的等差数列，得， =1+(n-1)nn22223212所以数列an的通项公式为an=(n-)2n。例4. 已知数列an满足a1=1，an+1=3an+2n（nN+），求数列an的通项公式。解法1：设an+1+x2n+1=3(an+x2n)x=1an+2n为等比数列从而an=3n-2n。解法2：由an+1=3an+2n知anan+13an13b=+1，令，则=+b=bn nn+1n+1nn222222b1=33 bn=()n，从而an=3n-2n。 22例5. 已知数列an满足an+1=3an+52n+4，a1=1，求数列an的通

5、项公式。 解：设.an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y)， 比较系数得，an+1+52n+1+2=3(an+52n+2)， 故数列an+52n+2是以a1+521+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此an=133n-1-52n-2小结：当g(n)为类指数函数，思路：观察g(n)的形式，如果g(n)的底数与an的系数c相同时，则把an+1=can+g(n)两边 同时除以cn+1，从而构造出一个等差数列；如果g(n)的底数与an的系数c不相同时，可以利用待定系数法构造一个等比数列 例6. 已知数列an满足a1=1,an+1=an，求an的通项公式。 3an+1解： an+

6、1=an1111，两边取倒数有-=3 =+3，即3an+1an+1anan+1an111 数列是首项为1，公差为3的等差数列；=3n-2,an=a3n-2ann例7. 在数列an中，已知a1=2,an+1=2an，求数列an的通项公式。 an+1解：由a1=2,an+1=2an可知，对nN，an0；两边取倒数得an+1111111111-1= -1-1a=1,，即，又。数列-1=-=+1an+12 aaa2an+122an1nn11111-1=- 是首项为-，公比为的等比数列，an22222n。 an=n2-1小结：递推公式满足an+1=n-11=- ， 2n1an型，取倒数，构造数列，使其为

7、等差数列。 pan+1an递推公式满足an+1=比数列。巩固案： 1banan+，使其为等型或an+1=型，构造数列can+dpan+qan1、已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1，求数列an的通项公式。 解： an+1=2an+1(nN),an+1+1=2(an+1), *an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。 an+1=2n.，即an=2n-1(nN*)。2、已知数列an中，a1=1，an+1=解：在an+1=11an+()n+1，求数列an的通项公式。 2211an+()n+1两边乘以2n+1得：2n+1an+1=(2nan)+1 22+1，所以令bn=2nan，

8、则bn+1-bn=1，解之得：bn=b1+n-1=n-an=bnn11n+-。 =nnn2221an-1+2n-1，求数列an的通项公式。 211111解：设an+An+B=an-1+A(n-1)+B，an=an-1-An-A-B 222223、已知a1=1，当n2时，an=1-A=2A=-412解得： a1=3an-4n+6是以3为首项，为公2B=6-1A-1B=-122比的等比数列；an-4n+6=3 ()12n-1an=3+4n-6。 2n-14、已知数列an满足an+1=2an+35n，a1=6，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x5n+1=2(an+x5n).，比较系数得，an

9、+1-5n+1=2(an-5n)， 则数列an-5n是以a1-51=1为首项，以2为公比的等比数列，则an-5n=2n-1， 故an=2n-1+5n。5、已知数列an满足an+1=2an+3n2+4n+5，a1=1，求数列an的通项公式。 解：设an+1+x(n+1)2+y(n+1)+z=2(an+xn2+yn+z)， 比较系数得，an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)， 故数列an+3n2+10n+18为以a1+312+101+18=1+31=32为首项，以2为公比的等比数列，因此an+3n2+10n+18=322n-1，则an=2n+4-3n2-1

10、0n-18。6、已知数列an满足an+1=3an+23n+1，a1=3，求数列an的通项公式。 注：若an+1=3an+23n+1，中不含常数a=31时，则直接构造等差数列即可，但含常数1时则需累加。解：an+1=3an+23n+1两边除以3n+1，得an+1an21，则=+3n+13n33n+1an+1an21，故-=+n+1nn+13333ananan-1an-1an-2an-2an-3a2a1a1=(-)+(-)+(-)+ +(-)+3n3nan-1an-13n-23n-23n-332313212121213=(+n)+(+n-1)+(+n-2)+ +(+2)+3333333332(n-

11、1)11111=+(n+n+n-1+n-2+ +2)+13333331n-1(1-3)an2(n-1)n2n11因此n=，则+1=+-n331-33223211an=n3n+3n-. 3227、已知数列an满足an+1=3an+52n+4，a1=1，求数列an的通项公式。 解：设.an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y)，比较系数得，an+1+52n+1+2=3(an+52n+2)， 故数列an+52n+2是以a1+521+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此an=133n-1-52n-2。8.已知数列an中，其中a1=1，且当n2时，an= an-1，求数列an的通项2an-1+1公式。解：将an=an-1111两边取倒数得：-=2，这说明是一个等差数列，2an-1+1anan-1an首项是111。 =1，公差为2，所以=1+(n-1)2=2n-1，即an=2n-1a1an9. 已知数列an+1=an2an+1n,a1=1，求数列an的通项公式。 解：1an+1=1+2n，即bn+1=bn+2n，则an21-2n-1bn=b1+=1-2+2n=2n-11-2()an=1。 n2-12n+1 an10. 数列an中，an+1=n+1，a1=2，求数列an的通项公式。 2+an2n+1+an1111=