韦达定理应用

1、韦达定理的应用一、典型例题例1已知关于x的方程2x ( mi+ 1) x+ 1 - m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为 xi，则相加，得x例2:已知方程x 5x+ 8=0的两根为xi, X2,求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 .解： 又代入得，新方程为例 3：判断是不是方程 9x 10x 2=0 的一个实数根解：二次实数方程实根共轭，若是，则另一根为，。以为根的一元二次方程即为 .例 4：解方程组解：设 . A=5. x-y=5又 xy=-6.解方程组可解得例5:已知RtABC中，两直角边长为方程x( 2m+ 7) x+ 4m ( m 2) =0的两根，且斜边长为 1

2、3 ，求 S 的值解：不妨设斜边为 C=13,两条直角边为a, b，则2。又a, b为方程两根。 ab=4m( m-2) S但 a， b 为实数且 m=5 或 6当m=6时, m=5 S.例6: M为何值时，方程 8x （ m- 1） x + m- 7=0的两根 均为正数均为负数一个正数，一个负数一根为零互为倒数解： m>7 不存在这样的情况。 m<7 m=7 m=15.但使不存在这种情况【模拟试题】（答题时间： 30分钟）1. 设n为方程x + mx+ n=0 （nO）的一个根，贝U nn+ n等于2. 已知方程 xpx- q=0 的一个根为- 2，可求得 p= ,q=3. 若方

3、程x+ mx+ 4=0的两根之差的平方为 48，则m的值为（）A± 8 B.8 C. - 8 D. ±44. 已知两个数的和比 a少5,这两个数的积比 a多3，则a为何值时，这两个数相等5. 已知方程（a+ 3） x +仁ax有负数根，求 a的取值范围。6. 已知方程组的两组解分别为，求代数式aib2+a2bi的值。7. ABC中，AB=AC A , B, C的对边分别为 a, b, c,已知a=3,b和c是关于x的方程x + mx+ 2- m=0的两个实数根，求 ABC的周长。试题答案】1. 1 2. 4 ，1 3. A 4. a=1 或 135. 3 w aw 2提示：

4、分 a= 3以及a 3讨论求解6. 13例1已知p+ q= 198,求方程x2 + px + q = 0的整数根.('94 祖冲之杯数学邀请赛试题 )解：设方程的两整数根为x1、x2,不妨设xiwx2.由韦达定理，得x1 + x2= p, x1x2= q.于是 x1x2 (x1 + x2) = p+ q= 198,即 x1x2 x1 x2 + 1 = 199. (x1 1)(x2 1) = 199.注意到 x1 1 、 x2 1 均为整数,解得 x1 = 2, x2= 200； x1 = 198, x2= 0.例2已知关于x的方程x2 (12 m)x+ m- 1 = 0的两个根都是正整

5、数，求 值.解：设方程的两个正整数根为 x1、x2，且不妨设x1w x2.由韦达定理得x1 + x2= 12 m, x1x2= m 1 .于是 x1x2+x1+x2=11,即 (x1 + 1)(x2 + 1) = 12. x1、x2为正整数，解得 x1 = 1 , x2= 5；x1 = 2, x2= 3.故有 m= 6 或 7.例3求实数k,使得方程kx2 + (k + 1)x + (k 1) = 0的根都是整数. 解：若 k= 0，得 x= 1 ，即 k= 0 符合要求.若kM0,设二次方程的两个整数根为 x1、x2,由韦达定理得 x1x2 x1 x2 = 2,(x1 1)(x2 1) =

6、3.因为 x1 1 、x21 均为整数，所以例4已知二次函数y = x2 + px + q的图像与x轴交于(a, 0)、( B, 0)两点， 且 a> 1>B，求证：p+ q> 1.( '97 四川省初中数学竞赛试题 )证明：由题意，可知方程一x2 + px+ q = 0的两根为a、B .由韦达定理得a + B= p,ap= q.于是 p+q a + 3 aB,(aB a B+ 1) + 1(a 1)( B 1) + 1> 1(因 a> 1>B ).一元二次方程根的判别式、 判别式与根的个数关系、 判别式与根、 韦达定理及其 逆定理大纲要求1. 掌握

7、一元二次方程根的判别式， 会判断常数系数一元二次方程根的情况。 对含 有字母系数的由一元二次方程， 会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母 的取值范围；2. 掌握韦达定理及其简单的应用；3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式；4. 会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问 题。内容分析1. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式 b2-4ac> 0时，方程有两个 不相等的实数根当 0时，方程有两个相等的实数根，当< 0时，方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程

8、ax2+bx+c=0(aM0)的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2,那么x1+x2=-P, x1x2=q (3)以x1， x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 . 3. 二次三项式的因式分解 (公式法) 在分解二次三项式 ax2+bx+c的因式时，如 果 可 用 公 式 求 出 方 程 ax2+bx+c=0 的 两 个 根 是 x1,x2 ， 那 么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重点与常见题型1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况， 有关

9、试题出现在选择题或填空题 中，如：关于 x 的方程ax2- 2x+ 1 = 0中，如果a<0,那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)不能确定2. 利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值， 有关问题在中 考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设xl, x2是方程2x2 - 6x+ 3 = 0的两根，贝U x12 + x22的值是()( A) 15 ( B) 12 ( C) 6 ( D) 33在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三 年试题中又出现了有关的开放探索型试题， 考查了考生分

10、析问题、 解决问题的能 力。考查题型1.关于x的方程ax2 - 2x+ 1= 0中，如果a<0,那么根的情况是()(A)有两个相等的实数根(B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)不能确定2 .设x1, x2是方程2x2 - 6x+ 3 = 0的两根，贝U x12 + x22的值是()( A) 15 ( B) 12 ( C) 6 ( D) 33. 下列方程中，有两个相等的实数根的是()(A) 2y2+5=6y ( B) x2+5=”5 x (C)V 3 x2-V 2 x+2=0 (D) 3x2 - 2V 6 x+ 仁04. 以方程 x2+ 2x- 3= 0 的两个根的和与积为两根

11、的一元二次方程是( )( A) y2+5y - 6=0 ( B)y2+5y+ 6=0 ( C)y2- 5y+ 6=0 ( D)y2- 5y- 6=05.如果 x1， x2 是两个不相等实数，且满足 x12-2x1=1， x22-2x2=1，那么 x1?x2 等于( ) ( A)2 ( B)- 2 ( C)1 ( D)- 1 6 .如果一元二次方 程 x2+ 4x+ k2= 0 有两个相等的实数根，那么 k=7.如果关于x的方程2x2 (4k+1)x + 2 k2- 1 = 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是8.已知 x1， x2 是方程 2x2-7x+4=0 的两根，贝 x1+x2

12、= ， x1?x2= ，(x1 x2) 2= 9 .若关于x的方程(m2- 2)x2 (m- 2)x + 1 = 0的两个根互为倒数， 贝 m=二、考点训练：1、 不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x2 x=5 (2)9x2 6V2 +2=0(3)x2 x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m=时，方程mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、 已知关于x的方程10x2 (m+3)x+m 7=0,若有一个根为0，贝U m=，这时 方程的另一个根 是 ；若两根之和为 3/5 ，贝 m= ，这时方程的两个根为 . 4 、 已知 32 是 方程x2+mx+7

13、=0的一个根，求另一个根及 m的值。5、求证：方程(m2+1)x2 2mx+(m2+4)=0没有实数根。& 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1V5和1+V5。3) x12+ x1x2+2 x17、 设 x1,x2 是方程 2x2+4x 3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： (1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2解题指导1、如果x2 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，贝U m=;2、方程 2x(mx 4)=x2 6 没有实数根，贝最小的整数 m= ;3、 已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m 4) 两根的和与两根的积相等，贝m= ;

14、4、 设关于x的方程x2 6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20则k值为； 5、设方程4x2 7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值：(1) X12+X22 (2)x1 x2 (3)2x1 +2x2 *( 4) x1x22 + 12 x1衣6.实数s、t分别满足方程19s2 + 99s + 1 = 0和且19+ 99t +12 = 0求代数式(st + 4s+ 1)/t 的值。7. 已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1 (1/2) (a2x2 a2 1)=0 有无实根8. 求证：不论k为何实数，关于x的式子(x 1)(

15、x 2) k2都可以分解成两个 一次因式的积。9实数K在什么范围取值时，方程kx2 + 2 (k 1) x( K 1)= 0有实数正根 独立训练(一)1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t 4=0, ； (2)16x2+9=24x, ； (3)5(u2+1) 7u=0, ；2、 若方程x2 (2m 1)x+m2+1=0有实数根，贝U m的取值范围是；3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+23和2 23，贝U p= ,q=;4、 已知方程3x2 19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m=;5、 若方程x2+mx-仁0的两个实数根互为相反数，那么 m的值

16、是；6、m,n 是关于 x 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，贝代数式 mn= 。7、 已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值 ;8、 如果a和B是方程2x2+3x仁0的两个根，利用根与系数关系，求作一个 一元二次方程，使它的两个根分别等于a +(1/ B )和B +(1/ a )；9、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程 (a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两 个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k21 可因式分解.11. 已知关

17、于X的一元二次方程 m2x2+ 2 (3 m) x + 1= 0的两实数根为a , B, 若S = 1/ a + 1/ B，求S的取值范围。独立训练(二)1、 已知方程x2 3x+1=0的两个根为a , B,贝U a + B = , aB =；2、如果关于x的方程x2 4x+m=0与 x2 x 2m=0有一个根相同，则m的值为；3、已知方程2x2 3x+k=0的两根之差为2又1/2，贝U k=;4、若方程 x2+(a2 2)x 3=0的两根是 1 和3，贝 a= ；5、方程 4x2 2(a-b)x ab=0 的根的判别式的值是 ;6 若关于x的方程x2+2(m 1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数， 那么m的值为；7、 已知p<0,q<0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是；8、以方程 x2 3x 1=0 的两个根的平方为根的一元二次方