【精选】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题30规律型问题(教师版)

1、专题30规律型问题专题知识回顾1 .数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过 适当的计算回答问题.2 .数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即 函数关系式为主要内容.3 .图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的 算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.4 .数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数 或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，

2、进而解决相 关问题.5 .解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确.专题典型题考法及解析【例题1】（2019?四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为1-2=-1, - 1的差倒数依此类推，a20i9的值是（,已知ai=5,a2是ai的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数一，A. 5B.C.113个数为一个循环组依次循环，用 2019除以【解析】根据差倒数的定义分别求出前几

3、个数便不难发现，每3,根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解.1a2=- a1= 5,a4=为数列以5, - L, 4三个数依次不断循环,2019+3=673, a20i9= a3-32,，其中某三【例题2】(2019砌北省咸宁市) 有一列数，按一定规律排列成1, -2, 4, - 8, 16,个相邻数的积是412,则这三个数的和是【答案】-384.【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律.可以求得这三个数,根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 从而可以求得这三个数的和.一列数为 1, 2, 4, 8, 16,

4、 32,，这列数的第n个数可以表示为(-2)厂1,.其中某三个相邻数的积是412,，设这三个相邻的数为(-2) nF ( - 2) n、( - 2) n+1,则(2)-1? (2) n? ( 2)n+1 = 412,即(2) 3n= (22) 12,(-2) 3n= 224,3n=24,解得，n=8, ，这三个数的和是:(-2) 7+(-2) 8+(-2) 9 =【例题3】(2019?四川省广安市)(-2) 7x (1 -2+4) = (- 128)如图，在平面直角坐标系中，点Ai的坐标为(1 ,再以OA2为直角边作RtAOA2A3,并使/ A20A3= 60°,以0A1为直角边作再

5、以0A3为直角边作RtAOAiA2,并使/ AiOA2=60°,A2019的坐标为Ai, A2, A3, A4,各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论.【解析】通过解直角三角形，依次求由题意得，Ai的坐标为（1,0）,A2的坐标为（1 , V3）,A3的坐标为（-2, 2心），A4的坐标为（-8, 0）,A5的坐标为（-8, - 873）,A6 的坐标为（16, - 163）,A7的坐标为（64, 0）,由上可知，A点的方位是每6个循环, 与第一点方位相同的点在 x正半轴上，其横坐标为 2n 1,其纵坐标为0,与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22,纵坐标为23,与第三点

6、方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n 2,纵坐标为2n 2,/3,与第四点方位相同的点在 x负半轴上，其横坐标为-2n一1,纵坐标为0,与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-22,纵坐标为-22百,与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2,纵坐标为-2n送巧， 2019田=336 -3 ,点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n 2=- 22017,纵坐标为22017 ?【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：3-2岳（也1） 2,5-2V5= （V3-/2） 2,7-2V12= （V4-V3） 2,请你根据以上规律，写出第 6个等式

7、 .【答案】13-2 =（斤隅）2【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1,根号下的数为n （n+1）,利用完全平方公式得到第 n个等式 右边的式子为（VirH-Vn） 2 （n>l的整数）.写出第6个等式为13-2=（/-班）2.【例题5】（2019小肃庆阳）已知一列数a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b,，按照这个规律写下去，第9个数是.【答案】13a+21b.【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案.由题意知第7个数是5a+8b,第8个数是8a+13b,第9个数是13a+21b【例题6】（20191胡北省鄂州市）在直线y = X

8、3x上，若A1（1, 3如图，在平面直角坐标系中， 点A1、A2、A3An在x轴上，B1、B2、B3BnS2、S3Sn.则Sn可表不为（）C. 22nD. 22n V50）,且aAlBlAz、祥2B2A3祥nBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角 , / QBnAn=30o,ZOB1A2 = 90°,，【解析】直线y= 返x与x轴的成角/ B1OA1=30°,可得/ OB2A2= 30°，-3/OBnAn+1 =90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1 = 1, B2A2=OA2=2, B3A3=4,，BnAnMan1；根据勾股定理可得B1B2 =

9、 V3, B2B3=2V3,，BnBn+1= 2旷5,再由面积公式即可求解；解： A1B1A2、祥2B2A3nBnAn+1都是等边三角形,A1B1 / A2B2/ A3B3/ / AnBn,B1A2/B2A3/B3A4/ /BnAn+1 ,AA1B1A2、AA2B2A3AAnBnAn+1 者B是等边三角形，;直线y =.x 与 x 轴的成角/ B1QA1= 30 °, /OA1B1=120°, / QB1A1 = 30 , .OA1= A1B1, A1 (1, 0), .A1B1 = 1,同理/ OB2A2= 30°,，Z OBnAn=30°, B2A2

10、=OA2=2,B3A3=4,，BnAn=2n 1,易得/ OB1A2= 90 ,，Z OBnAn+1 = 90 , B1B2= 71, B2B3=2行，BnBn+1 = 2nd3,必心=看,S2 = -7 >2专题典型训练题、选择题1. （2019 湖南常德）观察下列等式：70= 1, 71 = 7 , 72 = 49 , 73 = 343 , 74 = 2401 , 75= 168 07,，根据其中的规律可得70+71+7,+72019的结果的个位数字是()A. 0B. 1C. 7D. 8【答案】A.【解析】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键.首先得出尾数变化规律，

11、进而得出70+71+72+72019的结果的个位数字.70= 1, 71= 7 , 72 = 49 , 73 = 343 , 74 = 2401, 75= 168 07,，二个位数4个数一循环，(2019+1) F= 505,1+7+9+3 = 20,70+7 1+72+72019的结果的个位数字是：0.2. (2018成都)如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n盆花，每个图案花盆总数是 S,按此推断S与n的关系式为()"3.5=6帝=轧§.9A. S=3n B. S=3 (nT) C. S=3n - 1 D. S=3n+1 【答

12、案】B.【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的变化类. 由图可知：第一图：有花盆 3个，每条边有2盆花，那么3=3X (2-1); 第二图：有花盆 6个，每条边有3盆花，那么6=3X (3-1)； 第三图：有花盆 9个，每条边有4盆花，那么9=3X (4-1);由此可知S与n的关系式为S=3 (n-1).根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次.所以 S=3n- 3,即 S=3 (n- 1).3. (2019云南)按一定规律排列的单项式：x3, 一 x5, x7, 一 x9, x11, 第n个单项式是()A. ( 1)广11B. ( 1)1C

13、. (-1) n-1x2n+1D. (-1) nx2n+1【答案】C【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用(1)n 1或(1)n 1 , ( n为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n 1。4. （2019河南）如图，小聪用一张面积为 1 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合, 在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第的正方形纸片，按如下方式操作：展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉2019次操作时，余下纸片的面积为（【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开, 第一次：余下面积51得，第二次：余下面积第三次

14、：余下面积 3，=-,当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为阳口焦二-5. （2019湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点。顺时针旋转45 °后得到正方形OA1B1C1,依此方式，绕点。连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019c2019,那么点A2019的坐标是C.坐，-乌D. (0, - 1)【解析】四边形 OABC是正方形，且 OA=1, .A (0, 1),将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1, A1 (),A2 (1, 0), A3 (与,一等)发现是8次一循环，所以2019+8 = 252余3

15、,6. （2019广西贺州）计算-+-+-+-+ +- 1X3 3X5 5X7 7X937X 39的结果是B.19D.3839【解析】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计 算.把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算.原式=：_X+.L2223 35577937 39;7. （2019?南）按一定规律排列的单项式：x3, 一x5, x7, 一x9, x11,第n个单项式是（）n 1 2n 1n 2n 1n 1 2n 1n 2n 1A. （ 1） x B. （ 1） x C. （ 1） x D. （ 1） x【答案】C【解析】观察各单项

16、式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用（1）"或（1）n1（n为大于等于1的整数）来控制正负，指数为从第 3开始的奇数，所以指数部分规律为2n 1 .n 1.n 1观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用（1） 或（1） （n为大于等于1的整数）来控制正负，指数为从第 3开始的奇数，所以指数部分规律为2n 1 ,故选C.二、填空题8.（2018云南）观察下列各式：十2号 X 2亍+3=X3 十生 设n表示正整 数，用关于n的等式表示这个规律是 .【答案】:止Lrdl'k"： . nn【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联系，由特殊找出一般规律

17、解决问题.通过观察可以看出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此规律得出答案即可.由所给的各式可知，不妨设分母为n,则分子为 n+1,另一个因数和加数也为n+1,因此可知律为故答案为：丁+1'+nn【解析】由题意 分数墙”的总面积=2d+3注+4+门工=门i 234 n故答案为n- 1.10. （2019贵州安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12,则位【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2,第45行第一个数是2025,第45行、第7列的数是2025- 6=2019,故答案为201911. （2

18、0197W南省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和.如 果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是,这2019个数的和是.【答案】0, 2.【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决.由题意可得, 这列数为：0, 1, 1, 0, - 1, - 1 , 0, 1, 1, 前 6 个数的和是：0+1+1+0+ （ - 1） + （ - 1） =0, 2019田=336 -3 ,（awo）,按止匕 这 2019 个数的和是：0X336+ （0+1 + 1 ） = 212. （2019须州省铜仁市） 按一定规律排列的

19、一列数依次为：-V，与规律排列下去，这列数中的第n个数是. （n为正整数）3rrl【答案】（-1） n7 .n2fl5X Hl【解析】第1个数为（-1） 1加二，12 + 12X3-1第2个数为（-1） 2,2?十13X3-1第3个数为（-1） 3足下,32十1第4个数为（-1） 4足下,42十13rrl所以这列数中的第 n个数是（-1） n至下一13. （2019苏州）如图，点B1在直线l: y = Lx上，点B1的横坐标为2,过B1作B1A1H,交x轴于点A1,以A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3c2, 延长

20、B3c2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4c3延长B4c3交x轴于点A4；按照这个规 律进行下去，点？n的横坐标为 （结果用含正整数 n的代数式表示）【解析】 过点 Bi、Ci、C2、C3、C4分另IJ作 BiDx 轴，CiDix 轴，C2D2，x 轴，C3D3，x 轴，C4D4，x轴,垂足分别为D、Di、D2、D3、D4,一点Bi在直线|： y = x上，点Bi的横坐标为2,，点Bi的纵坐标为i,即：OD = 2, BiD=i,图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是i: 2,B jD DA】C)_D JOD 2-BtD-A1D1-CjDj-i 3，点Ci的横坐

21、标为：2+ (-?) °,点C2的横坐标为:点C3的横坐标为:i+ （2n- in的横坐标为:+（可）故答案为：-I-)% J/14. （2019黑龙江省绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放.点P从原点 O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OAiA1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第 n秒运动到点 Pn （n为正整数），则点 P2019的坐标 是.答案：2019 732 ' 217解析：解：由麴意知,心(U 0)4 (2, 0)& C21 40)& 6争由上可知，每个点的横坐标为序号的一半

22、j纵坐标每6个点依次为：叶.0,皇，0. 这样循环，,2019 '启 ?口】，, F -J J 22故答竽，用15. （ 2019?!龙江省齐齐哈尔市）如图，直线l： y=x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1,过点A1作A1B1H,交x轴于点B1,过点B1作B1A2，x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2L,交x轴于点B2,过点B2作B2A3，x轴，交直线l于点A3,依此规律 ，若图中阴影 AAiOBi的面积为Si,阴影评2B1B2的面积与y轴交点Ai的坐标，进而得到 OA, OAi的30。角长，也可求出 RtAOAAi的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是

23、含有的直角三角形，然后这个求出Si、S2、S3、S4、根据规律得出Sn.直线 l： y=gx+i,当 x=0 时，y=i;当 y=0 时，x= - A (-3, 0) Ai (0, i) / OAAi = 30 °又 AiBiXl, ./ OAiBi = 30°,在 RtOAiBi 中，OBi =Si = £oA同理可求出：A2Bi =,BiB2=S2 =B"逮2 =如、V3亍）一X依次可求出：S3 二一一L；S4 j；士=专为故答案为：一.1比3*i6. (20i9?山分）在平面直角坐标系中，直线 l: y=x+i与y轴交于点Ai,如图所示，依次作正方

24、形OA1B1C1,正方形 C1A2B2c2,正方形 C2A3B3c3,正方形 C3A4B4c4,，点 Al, A2, A3, A4,在直线l上，点Cl, C2, C3, C4,在x轴正半轴上，则前 n个正方形对角线长的和是 【答案】也（2二1）【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答.根据题意和函数图象可以求得点Ai, A2, A3, A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决.由题意可得，点Ai的坐标为（0, 1）,点A2的坐标为（1, 2）,点A3的坐标为（3, 4）,点A4的坐标为（7, 8）,

25、OAi = 1, CiA2= 2, CzA3=4, C3A4= 8, ,前 n 个正方形对角线长的和是：e（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+-TCn-lAn）（ 1+2+4+8+2n-1）,设 S= 1+2+4+8+-+2 n 1,贝U 2S= 2+4+8+- +2 n 1+2n,则 2S- S=2n- 1,S= 2n- 1,1+2+4+8+- +2 n 1=2n- 1 ,前n个正方形对角线长的和是：於x （2n-1）。17. （2019?山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半径分别为1,2,3,，按照 加1”依次递增；一组平行线，I。，11

26、,12,13,都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1,其中1。与y轴重合若半径为2的圆与11在第一象限内交于点 P1,半径为3的圆与12在第一象限内交 于点P2,，半径为n + 1的圆与1n在第一象限内交于点 Pn,则点Pn的坐标为 . （ n为正整数）【答案】（n, V2n+1）.【解析】连 OPi, OP2, OP3, 11、12、13与 x 轴分别交于 Ai、A2、A3,在 RtOAiPi 中，OA1=1, OPi = 2, 由勾股定理得出 AlPl = Jq p 1 2 _0A 2 =V,同理：A2P2=dW, A3P3 = JY, ,得出Pi的坐标为（1 , 色），P2的坐标为（2,右）

27、，P3的坐标为（3,行），得出规律，即可得出结果.连接OPi, OP2, OP3, li、12、l3与x轴分别交于 Ai、A2、A3,如图所示：在 RtOAiPi 中，OAi=i, OPi = 2,. Ab： JoP1 2-041=五，-1 '=6,同理：A2P2=2=45, A3P3=Nq2_32=a/t, ，Pi的坐标为（i,用）,P2的坐标为（2,4），P3的坐标为（3, V?）,，按照此规律可得点 Pn的坐标是（n, J（炉）2 _口2）,即（n, gn+j.）故答案为：（n, 42nH ） ./A三、解答题18. （20i9湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列

28、数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项，记为ai,排在第二位的数称为第二项，记为a2,依此类推，排在第 n位的数称为第n项，记为an.所以，数列的一般形式可以写成：ai, a2, a3,，an,.一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.如：数列1, 3, 5, 7,为等差数列，其中 ai=l, a2=3,公差为d = 2.根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5, 10, 15,的公差d为,第5项是.(2)如果一个数列 a1，a2, a3,，an，是等差数列，且公差为 d,那么根据定义可得到a2-a1 = d, a3- a2= d, a4a3=d,an - an 1 = d,.所以a2= a1+da3=a2+d= ( a+d) +d= a1+2d,a4=a3+d= ( a+2d) +d = a1+3d,由此，请你填空完成等差数列的