24.3正多边形与圆讲义学生版

1、24.3正多边形和圆【学习目标】1 .了解正多边形和圆的有关概念：理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。2 .知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。3 .会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。知识点一正多边形和圆的关系1 .正多边形：各边相等，各角也相等的多边形2 .正多边形与圆的关系把一个圆分成n （n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形， 这个圆叫做这个正多边形的外接圆.【例题】如图所示，六边形ABCDEF内接于且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求

2、证：六边形ABCDEF为正 六边形。【变式2】正八边形的中心角是（）A. 45° B. 135° C. 360° D. 1080°知识点二正多边形的有关概念与计算正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.【例题】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积.（结果保留根号）5【变式】已知正六边形ABCDEF,如图所示，其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和

3、而积.知识点三正多边形的画法要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。正三角形的画法第一步：用圆规画一个圆，第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于 两点A、B,第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点 P、Q（P是第二步中的P）,第四步：以A、B、Q为顶点作aABQ,则 ABQ即为圆内接等边。正四边形的画法取已知圆0上任一点A,以A为一个分点把。0六等分，分点依次为 A、B、C、D、E、Fo分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G, 以A为圆心，0G为半径作圆，交。O于M、N,则A、M、D、N即四等 分。0的

4、圆周。其中的把。O六等分，是取AB=AO（因为是等边三角形），以 此类推，可得到六等分点可参考图片正五边形的画法 以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。平分半径ON,得OK=KN0以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H, AH即为正五边形的边长。以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点,正七变形的画法以定长R为半径作圆，并过圆心0作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. 过N点任作一射线NS,用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平行线，把MN七等分.以M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点 （图

5、中是1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.正八边形的画正九边形的画法内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意 一端点的距离为半径，面圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。拓展点一圆内接正多边形的判断【例题】如图所示的圆，把。O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF,下面证明，它是

6、正六边形.C D【变式】如图， ABC是。0的内接等腰三角形，顶角NA=36。，弦BD、CE分别平分/ABC、NACB,求 证：五边形AEBCD是正五边形拓展点二圆内接正多边形的有关计算 【例题】已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距丫6，而 积S6.【变式】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC求NBCM的大小.拓展点三与圆内接正多边形有关的证明【例题】已知。O和。上的一点A(1)作。O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH：(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是。内接正十二边形的一边.6【变式】如图，已知等边 ABC内接于G）O, BD为内接正十二边形的一边，CD=5V2cm,求。0的半径R.8拓展点四实际应用题【例题】如图有一个宝塔，他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE （如图），点0为中心.