中考数学反比例函数的命题分析与复习策略

1、中考数学反比例函数的命题分析与复习策略 中考知识梳理1.反比例函数的概念反比例函数y=(k0中的是一个分式，自变量x0，函数与x轴、y轴无交点，y=也可写成y=kx-1(k0，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0这一限制条件。2.反比例函数的图象在用描点法画反比例函数y=的图象时，应注意自变量x的取值不能为0。运用函数图象（草图即可），比较函数值的大小，根据自变量（或函数值）的取值确定函数值（或自变量）的范围是非常有用的。3.反比例函数图象性质图象分布象限；反比例函数增减性；反比例函数图象是关于原点成中心对称；反比例函数图象关于直线成轴对称。4.反比

2、例函数y=中k的意义注意:反比例函数y=(k0中比例系数k的几何意义，即过双曲线y=(k0上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k。5.反比例函数经常与一次函数、二次函数等知识相联系.综观2007年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。”1.反比例函数的基本题(江苏省淮安

3、市例1在函数中，自变量x的取值范围是（ ）。A、x0 B、x2 C、x2 D、x2分析：根据反比例函数y=(k0，自变量的取值范围,X-20,得x2。答案：D点评：此题考查的是基本概念，体现新课程注重双基。(浙江台州例2反比例函数图象上一个点的坐标是。分析：按照要求写一对符合函数的有序实数。答案：略。点评：函数图象的点与符合函数的有序实数对一一对应，这是一道结论开放的填空题，新颖、独特，也让学生感受数学的灵动性，感受数学的无限魅力。2 2 反比例函数的图象(湖北省十堰市例3根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa与它的体积v(m3的乘积是一个常数k，

4、即pvk(k为常数，k0，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（ ）。 DD      分析：(k>0，如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自变量的取值范围应为v>0。答案：C。点评：以相关学科知识为背景，以反比例函数图象知识为载体，体现了学科间的综合。 (安徽例4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2x10，则y与x的函数图象是（ ）分析：先求出反比例函数解析式，还需要考虑自变量的取值范围。答案：A。评注

5、：同学们学习实际应用画反比例函数图象时，易忘自变量的取值范围。（江苏省淮安市）例5关于函数的图象，下列说法错误的是（ ）。A、 A、 经过点(1，1B、在第二象限内，y随x的增大而增大B、 B、 是轴对称图形，且对称轴是y轴 D、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点分析：x=1，y=-1符合函数，A对；k<0，图象分布在二、四象限，第二象限内，函数随自变量的增大而增大，所以B对；函数是中心对称图形，对称中心是坐标原点，所以D对；比例函数图象是轴对称图形，对称轴是直线。答案：C。评注：看起来是一道简单的反比例函数，事实上它把函数性质：点与函数图象的关系；图象分布象限；函数增减性；自变量的取

6、值范围；函数图象对称性都考查到了。其中函数图象的对称性是新课程下的较高要求。3.反比例函数图象的面积与k问题(武汉市例6。如图，已知双曲线(x0，经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k_。(第6题图分析 : 因为 F 是 AB 的中点 , 所以 ，又 ， 。答案：1。评注：已知面积求k，渗透数形结合的思想方法和待定系数法。已知面积求k的一类题型相当多见。(山东潍坊例7设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P，过P作PA平行于y轴，过P作PA平行于x轴，PA与PA交于A点，则的面积（ ）A等于2 B等于4 C等于8D随P点的变化而变化分

7、析：点P关于原点的对称点为P，P与P的横坐标与纵坐标都互为相反数，=，PA=答案：8。评注：这是一道已知函数，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标乘积等于k，可求得三角形与矩形面积。4.利用图象，比较大小(泰安市2007例8已知三点，都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（ ）A BC D分析： P3（1，-2）是一隐含条件，求出k，则根据反比例函数的图象分布，可得出函数值的大小。答案：D评注： 灵活利用图象能较快比较出函数值的大小。5.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系(四川省眉山市例9如图，A、B是反比例函数y的图象上的两点。AC、BD都垂直于x轴，垂足分别为C

8、、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则BDE的面积与ACE的面积的比值是（ ） A B D分析：A、B均在反比例函数图象上，又都知道横坐标，可求出点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，），求出过A、B的直线：，令y=0，得x=5；所以E点坐标（5，0），所以CE=4，DE=1，BDE与ACE相似，面积比等于相似比的平方。答：D。评注：这一题比较灵活，不但与一次函数结合，且让相似也参与进来。反比例函数实在是个灵活的函数，它会轻而易举地进入其它几何图形中。（扬州）例10如图，二次函数（m<4）的图象与轴相交于点A、B两点（1）求点A、B的坐标（可用含字

9、母的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C，且BAC的余弦值为，求这个二次函数的解析式略解：（1），令，可解得；，A（-4，0），B（。（2）RTAOD中，COSBAC=，AO=4，AD=5，OD=3。求出过A、D的直线为：，由与求得C点坐标（2，），把（2，）代入二次函数求得，所以所求二次函数解析式：。评注：这是一题一次函数、二次函数与反比例函数结合的题目，把这几个基本函数结合在一起，但难度不大，考查基础知识较为全面，只有对这些函数的基本知识较为清楚，才能完整解决这个问题。例11如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置

10、B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况。实验数据记录如下：x（cm）1015202530y（N）3020151210（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小,弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？解：（1）如图，猜测y是x的反比例函数，设，把x=10，y=30代入，得k=30， 所以 （x>0）。（2

11、），当y=24时，解得x=12.5。随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将不断增大。评析：这是一题新课程下的操作题，把有序实数对描在直角坐标系，分析归纳出函数图象特征，得函数形式，再求函数解析式。考查了学生用表能力，如何将表格中的数据运用函数特征信息，这是新教材中出现的一个重要实验操作，会让学生进行多角度思考问题，在这一方法的教学过程中，学生的学习将不再枯燥乏味，可以动手操作确定函数形式，一定是有吸引力，具备生命力的。初中数学涉及的知识点有120个左右，每一份试卷覆盖95个左右，占75%。分析2006年、2007年中考试题中的反比例函数型的试题，灵活、新颖，并且在一定的题量中就会有反

12、比例函数的题目出现，占得分值不小。分析2006年、2007年中考试题中的反比例函数的题量和分值如表：年份2006年2007年试卷数6036反比例函数 （ 平均总题量/道）283279反比例函数 （平均总分值/分）4184162008年中考数学复习，反比例函数复习策略：1 1  抓实双基，掌握常见题型；2 2  重视函数的开放性试题；例:我们学习过反比例函数.例如,当矩形面积S一定时,长a是宽b 的反比例函数,其函数关系式可以写为a=(S为常数,S0.请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例,并写出它的函数关系式。例:_；函数关系式:_.3 3  编拟逆向思维问题；4 4  注意编拟与其它图形的结合，如例9，一道选择题可以涉及那么多的知识点；5 5  新课程出现的新内容，用表在直角坐标系描点，观察分析得出函数类型，如例11，再求函数解析式；6 6  新课程下非常注重函数图象的灵活运用，运用图象求解已知自变量（或函数值）的取值写出函数