2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--函数零点问题(含解析)

1、导数的综合应用一函数零点问题考查内容：主要涉及利用导数解决函数零点问题一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .求函数/(x) = 2d3x + l零点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42 .若函数- 12x +“有三个不同的零点，则实数。的取值范围是()A. (一,8)B. (-oo,8)C. -16,16D. (-16,16)3 .若函数力=丁3犬+。在0,2)上有2个零点，则。的取值范围为()A. (2,2)B. (0,2C. (-2,0D. 0,2)4 .已知函数/'(x) =,xe(0,+8),若函数y = /(x)一为有两个不同的零点，

2、则实数。的取值范围是()-1 -5 .若函数/(封=二-依存在两个不同零点，则实数。的取值范围是()A.1y,一eB.0,1 e JC. (-8,0)一 eD. (一8,0)5 0,L eIn X6.已知函数/'(x) =-a， g(x) =X实数解，则实数a的取值范围是(3(ln x - ax) “一皿 ”、，、一.山-,若方程/(x) = gW有2不同的InxA. (一,e)B.C. (-,0)0(0,4-00)D. (e,+8)7.已知/("=。(y一)一工门(.>0)存在唯一零点，则实数。的取值范围A.兀 ,+8B.兀,+o02C.1,4-00 【2D.1一,+

3、8 28.已知函数/(*.)=2/-(6” + 3)X2+12公+1&/ (a<0)只有一个零点方,贝ija的取值范围为（）A.1一oO,2B.-r°C.3)03,2)D.39.已知函数/（x） = i（x - 2e）lnx + l在（1,+s）上有两个零点，则实数加的取值范围A.(0,B.1 -,+0010.设函数/(x) = V 2eW+田一Inx,C. (O,e)D. (e,+8)记 g(x) = 3X若函数g（x）至少存在一个零点，则实数机的取值范围是（）A.)1_=>©+一 eB.O,e2+1 eD._e2-l,e2+-11.设函数/'

4、（x）是函数X）（X£R）的导函数，当xwO时,f，(x) + - A - <0 ,则函数 g(x) = /(x) - -7 Xx的零点个数为（）A. 3B. 2C.D. 012.已知函数g(x) = e"sinx-若0<。41,则g。）在（0,兀）上的零点个数为A. 0B. 1C.D. 3填空题13 .已知函数/（外=/一”2一工+。有三个零点，则实数。的取值范围为14 .函数y = 在区间（0,3上有两个零点，则，的取值范围是15.已知函数/（x） =一 + mx2,x <0.C /、< ex,若函数/（x）有四个不同的零点，则实数ex +/zz

5、x2,x>0加的取值范围是16 .若函数/（1）=冰2+2（ l）x21nx1只有一个零点，则实数。的取值范闱是三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 .已知函数/(力=，43一与/, (x) = -v,且“X)在区间(2,RD)上 323为增函数.(1)求k的取值范围：(2)若函数/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范闱.18 .已知函数/(%) = -9-bx，+2x+l, (xeR).(1)若/, = ”,求函数y = /(x)的单调区间：2(2)若x =-l是函数y =/(x)的一个极值点，试判断此时函数y =/(X)的零点个数, 并说明理由

6、.19 .设函数 J'(x) = Inx-L/x?-以2(1)若x = l是/(X)的极大值点，求。的取值范围.(2)当。=0/=-1时，函数/(x) = /(x)丸/有唯一零点，求正数的值.2021届高三一轮复习题型专题训练20 .已知函数/(x) = (xT)lnx, g(“ = x-lnx-. e(1)求证：函数y = /(x)的图象恒在函数y = g(x)图象的上方：(2)当"7>0时，令/?() =时(x) + g(x)的两个零点M，工2(NV)求证:1Xy - X <6.21 .已知函数/(x) = axsinx ;“(a £ R, ”。0)

7、,(1)讨论人工)在。巳上的单调性.2(2)当。>0时，若/(X)在0, y 上的最大值为乃1,讨论：函数/(X)在(0,4) 内的零点个数.22 .已知函数/(x) = ；x'-«/+x + l).(1)若4 = 3,求/(五)的单调区间：(2)证明：/(x)只有一个零点.-#-导数的综合应用一函数零点问题解析1 .【解析】/ (x) = 6x2 - 3 = Ox = ±-,上单调递增，在上单调递减，在当斗上单调递增, 所以当x = _当时J")取到极大值1 + 0>0.所以当x = ? 时,"X)取到极小值1一点<0，所以函

8、数f(x) = 2x3-3x + 1零点的个数为3,所以C选项是正确的2 .【解析】/(幻=1-121+。，fx = 3x2 -12 = 3(x + 2)(x-2).令/'(x) = 0,解得玉=一2, %二2.XG (-00,-2), /'(x)>0, 7")为增函数，工£(一2,2),广(幻0, 7*)为减函数，xe(2,+oo),八%)>0, f(x)为增函数一所以f极大值W = f(2) = l6 + a , /极小伯(x) = /=-16 + a.因为函数x) = M-12x + ”有三个不同的零点，等价于方程/。) = 0有三个不同的

9、根.16 + «>0所以一 八，解得16<。<16.故选：D16 +。<03 .【解析】由/(x) = 0得 =一/+3设g(x) = -x3 + 3x, 0<<2, 则函数/(x) = V3x+。在0,2)上有2个零点等价于直线y = 与函数g(x)的图像有两个交点，又g (x) = -3,d+3,当0<x<l时，g'(x)>0；当 1<文<2时，g'(x)<0.则函数g(x)在。,1)为增函数，在(1,2)为减函数，g(x)m”=g(l)= 2,又g(O)= O, g=_2,又函数/(&quo

10、t;二父一3工+。在0,2)上有2个零点，则。的取值范围为0,2).故选：D.4 .【解析】因为函数)，= /(人) 久，有两个不同的零点，所以函数/(x) =乙,xe(O,+s)的图像与直线 >有两个不同的交点，X由 /e (°，+s)得 / (x) = 丁 = e，令/ (力=0,则x = l,当0<x<l时，/ (x)<0；当工>1 时，f (x)>0,所以/(x)在(0/)上单调递减，在(1,一)上单调递增，所以x = l时，/(X)取最小值/(l) = e,且当文-0时，,当时，/(x)-ko,所以要使函数/(X)= ,x e (0,2)

11、的图像与直线V = 2a有两个不同的交点，只要即可，即。>£,故选：B2 厂5 .【解析】函数/(x) =下心存在两个不同零点，V-等价于* 有两个不同的解，XX = 0满足条件，所以4 = 3有一个非零根， e人 / X ,/、 G' XC i 1 - X令gW = ；7，屋(x) = = ee e当x>l 时，g'(x)<0, xvl时，g'W>。，所以g(x)在(-8,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，且当xe(一)时，/(x)e(-oo/),当xe(l,+8)时，/(x)e(0,-), ee所以有一个非零根时，实数的取值范

12、围是(故选：C. 、 z、z«lnx3(lnx-av)6 .【解析】由 /(x) = g(x) f jci =,xIn.r去分母整理得(出工一3幻。0不一4的=0有2不同的实数解，In xInx所以lnx-3x = 0或lnx-at = O,所以一-=3或一=",XX设 /?w = (x> 0),所以 hx)=匕% , X厂当0<文<6时，hx) > 0,函数刀(X)单调递增，当x>e时，'(x)<0,函数/?*)单调递减.所以/7(X)min=(e)= ,v3,所以史 =3没有实数解 exlux所以方程。有两个不同的实数解.X当

13、 x - 0 时，/?(X)< 0 ；当 时，h(x) > 0.要方程”="有两个不同的实数解，必须0<。<1 .故选：B. xe7 .【解析】由题意知/(。)=。，./3) = 4(/-07)-$H丫(">。)存在唯一零点，/3)只有一个零点0.,./(r) = sinx + “(eT/) = -/(x),./(x)是奇函数，故只考虑当x>0时，函数/(X)无零点即可.1V当 X > 0 时，有 X > sin X,. /(X)= "(，一"' -sinx)> a(ex -1 - -). a

14、a令g(x) = H一* , x>0,则 g(0) = 0,a短(x) =x > 0 ,ag(x) =，-> 0 ,g'(x)在(0,48)上单调递增，g(0) =。，.*'")>g"(0) = 2,20, / 故选：D. a28.【解析】/(不)=213一(6。+ 3)X2+12or+16.J-7-/. f(X)= 6x2 -2(6a + 3)x + 2a = 6(x-l)(x-2a),a <0.令 f'(x) = 0,解得 xx =l,x2 =2a ,则当 xe(f ,2)U(l,+s)时，f'(x) >

15、; 0,故函数在(f,2«)，(1,y)上单调递增，当xe(2a,l)时，/x(a)<0,函数为减函数，所以当x = l时，函数取得极小值，极小值为/(1) = 16/+6。1,当x = 2a时，函数取得极大值，极大值为/(24，且 X T 时，/(A)-> -oo , X>_K50 时，/(X)因为函数只有一个零点与，所以/=16/ + 6 - 1 > 0 或 f(2a) = 16/ _ 4a2(6a + 3) + 40a2 < 0,1171解得-或。>一或">一，因为“<0,所以。<一一，故选：.4 28229.【解

16、析】因为方程心2e)lnx + l=。在(l,+oo)上有两个解，即(x - 2e) In x =在(1,)上有两个解， m设8。)=(工一26)11】，则 g'(x) = lnx + l-U, x,飞'(不)在。(1,+00)上为增函数,且g'(e) = 0,，当xe(l,e)时，g'(x)vO, g(x)单调递减，当xe(e,Ts)时,g'(x)>0, g(x)单调递增.又g(l) = o, g(e) = -G, Xf+oo时，g(x)一，1 (1A<Q,-,+8 .故选:BmeJ10.【解析】函数g(x)定义域是(0,xo),晨不)=/

17、一24+ 7-史，Xg (x) = 2a* 2c； , 设 h(x) = 2x 2er h,则厂厂 厂“、321 - 21nx 2.v3 + 3 - 2 In x "3 C 仁7/? (x) = 2 + +；=：, 设心)=2丫+3 21nx, 则JT XJT2 62Iq*(x) = 6x2 = -, (1 (x) = 0 = x = -y=,易知g极小的(x)=x x>/3。(金) = |" + 3 - 21n5>0,即q(x)>。也即/?'(x)>0在(0,一)上恒成立，所以(x)在(0,*。)上单调递增，又(c) = o,因此是/7(x

18、)的唯一零点，当0cx<e时，h(x) < 0 t当时，/z(x) > 0,所以g(x)在(0,e)上递减，在(e,一)上递 增，g极小(ft(x)=放)，函数g(x)至少有一个零点，则8(6)= /-2/+.e,1m «+ 故选B.e11【解析】设/(x) = df(x)-l,则F(x) = 丁/'(“ + 3x2f (x) = x3 1r(x) + 空D当 XW0 时，/z(A-) + -<0,当x>0时，x3>0.故夕'(x)<o,所以，函数y = F(x)在(o,x)上单调递减； 当x<0时，x3<0,故尸

19、'(x)>0,所以，函数> =尸()在(f,0)上单调递增.所以产(x)max=f'(0) = -lvO,所以，函数)' = E("没有零点，故g(x) = /(x)-3 = 2也没有零点做选：D. Xf X12 .【解析】由题意，gf(x) = evsinx + evcosx-a = ev(sinx + cosx)-a , 令 (x) = g'(x), WO hf(x) = e1 (sin x + cos x) + e1 (cos x - sin x) = 2er cos x ,，当工£(0，)时，hl(x) > 0, /

20、?(x)单调递增，即g'(x)单调递增：当xe(5,冗)时， 22h'(x) < 0, (x)单调递减,即g'(x)单调递减一v0<n<l, /. g,(0) = l-i/>0, gf(ji) = -en<0.z()>0 ,2，存在,%£(；,兀)，使得 g'*o)=。，.当xe(0,%)时,g'(x)>0, g(x)单调递增；当 xe(%,7t)时，gx) < 0, g(x)单调递减，又= g(0) = 0 , gS) = -an < 0,9二函数g（X）在（0,兀）上的大致图象,如下图所

21、示:所以，若函数g（x）在（。,兀）上有1个零点.故选：B.13 .【解析】由题意可得：函数/（外=«?一工2一%+ ，所以/"（x） = 3W_2x 1,令/'（x）>。，则 X>1 或XV；,令/'（X）<。,则一;vxvl,1A（ 1 A所以函数的单调增区间为-8,一三和（1.桢），减区间为一三1（5所以当工=一一时函数有极大值，f - = + a 3 3 7 2 /当x = l时函数有极小值，/（!）= «-1,因为函数/1）=/一 / 一 x + ”有三个零点，1A 5解得-上 2714-所以f -鼻| =万 + 4&g

22、t;0且F（l） = "_l<0,故实数”的取值范围为-Jy.故答案为: 乙/14 .【解析】由题意得），=/一忒=0,得 ？ =色，设 xf （x）=r（X）= H V）,可得/（X）在区间（1,3）上单调递增;AA.X在区间（。/）上单调递减，所以当x = l时，函数/（X）取得极小值，同时也是最小值"1） = 6,因为当工.0时，/（X）f+S,当x = 3时，/（3）=-,所以要使得函 3数y = ex 在区间（0,3上有两个零点，所以实数？的取值范围是e v m<y.2021届高三一轮复习题型专题训练15 .【解析】x>0时，f（x） = ex

23、+mx2 1 /（-x） =+ mx1 = ex + mx1,所以/（T）= X）,因为函数/（x）的定义域为（yo,0）U（0，+s）,该定义域关于原点对称，所以函数/（X）为偶函数.若函数/（X）有四个不同的零点，则函数/（X）在（0,+8）上有两个不同的零点.当x>0时，令/（工）=。得/+"?:/=0,即加=一二， 厂令8（%）=一，/>0,则函数/（工）在（0,+“）上有两个不同的零点时，尸直线），=m与函数g （x）的图象在（0, X）上有两个不同的交点.，,、 2er ex （2-x）ex 人（2 x）/ 八出 g'（x） = y r = -j，令-

24、=0得x = 2, X r XX当0vx<2时，g<x）=（2 '）e' >0, g（x）为增函数：当x>2时，x4（幻二（27 Jo, g（x）为减函数：X所以g（X）mx=g（2） = -9，作出图象如图,16 .【解析】因为司=以，2(。-1)/21I1X1,定义域为(O,x),rr. . ，/、z 2 2av + 2(" - 1)x 2 2(cix - l)(x + l)所以 f(x) = 2ax, + 2卜，. 1) 一 一 =-XX当公0时，x)vO恒成立，即“X)在定义域上单调递减，f(l) = 3(a 1)<0,当x .。

25、+时，>0, 2(。一l)x f 0, 2Inx > +qo,所以/(x) -«Q，所以f(x)在(0,1)上存在唯一的零点，满足条件；当>0时，令/(、)= 2(八二】儿' + 1)>0,解得即函数在L+s上单调'，xa Cl )递增，令/“(* =11 1<0,解得0<x<即函数在。，一a a)上单调递减，则/(x)在x取值极小值即最小值，/(x)mm=/(；) = l + 21n” 一 ；，令 g()= l + 21n“一，«e(0,-b<o),则/(。)= 2 + 二='：>。恒成立，即

26、g()= l + 21na 1在定义域上单调递增，且g= l + 21nl 1 = 0,a所以要使函数/(1)=仪2+2(一l)x21nx1只有一个零点，则/(x)min =/(：) = l + 21na_： = 0,解得” =1,综上可得“W0或” =1：17 .【解析】(1)由题意/。)=工2一(攵+ 1)工因为/(M在区间(2,)上为增函数所以/'(x) = Y 一仕+ 1卜20在区间20)上恒成立, 即k + 恒成立，又4>2,所以攵+ 142,故AW1. 当& = 1时，/(x) = £ 2在区间(2,一)恒大于0.故f(x)在区间(2,0)上单增，符

27、合题意.所以的取值范围为&<1(2)设/?(x) = /(x)_g(x) = J一二112/+奴一!h (x) = x1 _( + l)x + = (x-Z:)(x-l)令人'(x) = 0得x = k或x = l,由(1)知AVI,二当A=1时，/z(x) = (x-l)2>0, (力在R上递增，显然不合题意二当Avl时，(力，/随工的变化情况如下表:工（一0°,&）k（W1（1,+功“(X)+00+h（x）/攵 3 k2 1 极大_L+L_162 3极小B 2/由于一> 0,欲使/(x)与g(X)图象有三个不同的交点, 乙即方程fM =

28、g(x),也即(x) = 0有三个不同的实根5 / G 1故需+>0 即（攵-1）（/-2 攵-2）vO所以<k<左2一2 攵一 2>0解得女<1一百综上，所求k的范围为18 .【解析】fx) = x2-2bx+2.(1)Z? = ,时，/'(1) = 9-3；1+2 =(1-1)(1_2),令/'(工):>0解得犬<1或工>2.所以，人=，时函数的单调递增区间为(口,1),(2,转).令(文)<0,解得1cx<2.所以,=,时函数的单调递减区间为(1,2).(2)因为1 =1是函数y = f(x)的一个极值点，则/1

29、)=0,故：1 +勃+ 2 = 03解得：h = -,此时尸(_¥)=/一次+2 =犬+3.丫+2,令/(x) = 0解得：x = 2或工=一1 .则x变化时，/'(x)J(x)的变化情况如下.X(口,-2)-2（-2,一1）-1(T，”)+00+/W递增极大值递减极小值递增故此时X = 1时，/ (X)有极小值/ (- 1) = > 0 : 6%=一2时，/(x)有极大值/(-2) = ->0：则当文>2时，1)>0,显然函数在(一2,内)上无零点.又/(3)= -，,(也可取x = T等)，则/(3)/(2)<0,结合函数在(一co,-2)

30、2上单调递增，故由零点存在定理知，函数在(口,-2)上必有唯一零点.综上：若工=_1是函数y = "x)的一个极值点，则此时函数y=4x)在R上有唯一零点19 .【解析】(1) /(x)的定义域为(0,+8),fr(x) = -ax-b,由=得/? = _.XA f(x) = - 公 + 4 - 1 = LXX若由/'(x) = o,得x = L当Ovxvl时，/'(%)>0,此时“X)是单调递增;当%>1时，尸(工)<0,此时“X)是单调递减，所以无=1是/(X)的极大值点.若"<。，由/'(x)=。，得X = 1或工=一.

31、a因为X = 1是/(x)的极大值点，所以一：>1,解得1<4<0, 综合：。的取值范围是4>一1.(2)因为函数尸(x) = /(x)"£有唯一零点，即/hu x = 0有唯一实数解, 设8(1)=%/一1改一工，则g，(x)= 2/ ' 二 '二1 .令g'(x) = O , 22x2-x-1 = 0.因为4>0,所以 = l+8/l>0,方程有两异号根设为 x, <0,x2 >0 t因为x>0,所以演应舍去.当工£(0,)时，g'(x)<°，8(X)在(0,

32、)上单调递减：当)£(天,+00)时,g<x)>0, g(x)在(松+8)单调递增.故 ga"n=g(x2).因为 g(x) = o 有唯一解，所以 gH) = °，则卜R 口"/5-=。屋仁)=。'2忒；-马-1 = 0因为丸>0,所以21nx2+/-1=。 (*),设函数/?(x) = 2hix+x-l,因为当x>0时，(另是增函数，所以/?(x) = 0至多有一解.因为/?(1) = 0,所以方程(*)的解为 = 1，代入方程组解得4 = 120 .【解析】证明：构造函数(x) = /(M g(x) = xlnx x

33、 + 2,(x>0). e则”(x) = lnx+l-l = Inx » 令'(x) = 0得x = l：.X G(0,1)时 (x) V 0 , X £ (1,4*00)时 h' (x) < 0./?("在(0,1)为减函数，在(1.m)为增函数，3 3右，、/ 、所以+>0，即/(x)>g(x)e 3故函数y = / (工)的图象恒在函数y = g (x)图象的上方.，、，、, 、3(2)证明：由2(x) = /z?f(x) + g(x) = m(+_l)lnx+x_lnx_有两个零点, e当 m > 0时力

34、9;(x)=lnx + 1-j + 1- 则/?(、)在(0,+a)为增函数，且"(1) = 0,则当xe(O,l)时/«x)<0, (力为减3函数，当xe(l,+<功时'(x)>。，(x)为增函数，./7(力皿=/?(1) = 1 一二<0,(一 in fi 1 1,13 人 2 八又 /? 一 = ? _ _ 1 . In + _ In = in 1 +1 _ > 0 , e Jee e ee) e31（6）= 7（£-1） + 6-1一二>0.二.（工）在一和（1,6）上各有一个零点 内 , ee Jx）（N vxj, 故M一玉 <e-L e21,解析】（1） /' （x） = a sin x+or cos x = a （sin x+xcos x）-15-当xe 0,二时，sinx+xcosx>0 2