ANSYS非线性分析：4-非线性分析方法

1、第四章 非线性有限元方程的解法结构分析问题转化为代数方程组，线性静力问题化为线性代数方程组， 非线性静力问题化为非 线性方程组。线性代数方程组的解法有高斯消去法、三角分解法、非线性问题多种多样，但计算方法大同小异，无论材料非线性问题还是几何非线性问题， 经过 离散后，都归结为解一个非线性方程组。本章以截面非线性分析为例，说明如何求解非线性方程问 题。对于应力-应变关系为线性关系的问题，截面（单元）刚度是常量。当混凝土、钢筋材料的应力-应变关系为非线性时，截面（单元）刚度矩阵不是常数，而与截面应变平面值有关，记为D（）。 此时，截面平衡方程是非线性方程组：D（ ）P 0。求解非线性问题的方法可分

2、为 3类：增量法（显式求解）、迭代法（隐式求解法或全量迭代法）、混合法（增量迭代法）。4.1非线性方程组求解的增量法基本思路：分段线性化，将荷载分成很多小步，逐步施加。增量法也称为显式求解法。增量法将荷载分成若干增量，每次施加一个荷载增量；假设每一个 荷载增量段内（截面或结构）刚度矩阵是常量（线性的）；在不同荷载增量段内（截面或结构）刚 度可以变化，与当时应力-应变关系（或位移状态）相对应。增量法实质上是用一系列线性解去逼 近非线性问题，即用分段线性折线替代非线性曲线。增量法把荷载划分成许多荷载增量，增量的值可以相等，也可以不等。朴1读万卷书行万里路具体操作方法：压弯构件截面平衡方程的增量矩阵

3、表达式,C12C2nA .S 0 I do E i 1 si J0 I3 d s nAyi 1nAsiYii 1nA i y2i ii 1dNdMDt( ) ddPdtiidt21dt12dt22dNdMy式中，d截面增量应变平面；dP dNdM T截面力增量;Dt()刚度矩阵，弹性结构=常量，非线性问题是变量，随截面应变平面的变化而变化。用截面平衡方程的增量形式 Dt( ) d dP说明增量法的过程。因为非线性问题截面刚度Dt()是应变平面d 的函数。反过来，当前的截面应变平面又是过去许多d 的总和。当前的Dt()称为切线刚度，用来计算下一步的 d 。然后修改 ，再修改Dt()，并准备作下

4、一步计算。这样，就用一系列直线段近似的描述了截面力与应变平面的关系曲线。因此，非线性分析以线性分析理论为基础。直接增量法(尤拉折线法)用多段折线模拟曲线。设荷载为m级增量，第i级荷载增量产生位移增量:mPPii 11Dn 1 Pnn n 1n第n级荷载增量施加后产生的位移为:第n级荷载增量对应的刚度矩阵：则，计算公式为,图4-1直接增量法全过程分析计算步骤：(1) 选定第一级荷载增量P1=P/20 ； i=1, j=0.(2) 计算切线刚度矩阵Di-11(3) 计算位移增量iDi 1；(4) 判断是否收敛；否一一转到 ；(5) i=i+1,Pi= Pi-1,回到(2);(6) Pi= Pi/2, j=j+1,如果j2,结束；否则转到特点：(1) 每个荷载增量段都须计算刚度并进行 LDLt分解;(2) 误差逐步累积；(3) 减小步长可以提高精度；4.1.2 中点刚度法(修正的尤拉折线法)图4-2中点刚度法Kn11第n级荷载增量施加后产生的位移为:n)1(Kn11/2Pn4.2迭代法割线刚度法对于材料非线性或几何非线性问题，截面（单元）刚度是应变或应力的函数。而单元应力、应变是位移的函数。每次施加