模块十 运动学与动力学简介

1、模块十 运动学与动力学简介概 述运动学研究物体的空间位置随时间变化的规律，而不考虑引起位置变化的原因，研究对象为点和刚体。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系，以牛顿定律为基础建立动力学基本方程，为解决工程实际问题奠定理论依据。本模块有两个学习任务：任务一 刚体的定轴转动任务二 刚体的平面运动任务一 刚体的定轴转动& 知识点 转速 角速度 线速度 角加速度 转动动力学方程 转动惯量 转矩的功率 机械效率& 技能点 能够利用刚体定轴转动时角量和线量的关系进行有关计算 能够利用刚体转动动力学方程解决基本的转动动力学问题& 任务分析在机械工程中，常见到刚体绕定轴转动的例

2、子，如齿轮、带轮、飞轮、电机转子、涡轮机转子、车床主轴等。它们的运动具有一个共同的特点，即刚体运动时，体内一直线始终固定不动，其他各点都绕此直线作圆周运动。这种运动就称为刚体的定轴转动，简称转动，固定不动的直线称为转动轴。刚体绕定轴转动时，转轴以外的各点都作半径不同的圆周运动，本任务将学习定轴转动刚体转速和体内各点线速度之间的关系、变速转动和刚体转动动力学方程、转矩的功率计算等 问题。& 任务实施一、转速和线速度如图10-1所示，刚体上过转轴的平面经过时间t后转到平面的位置，该平面转过的角度称为刚体t时间段内的转角。单位时间内刚体的转角叫做刚体转动的角速度，角速度是描述刚体转动快慢的物

3、理量，用字母表示，角速度的单位是。图 10-1工程上常用每分钟转过的圈数表示刚体转动的快慢，称为转速，用符号n表示，单位是r/min（转/分）。转速n与角速度的关系为 （10-1） 在生产中有时还需要计算转动部件上某点的线速度，线速度和角速度的关系为 （10-2）上式表明定轴转动刚体上任意一点线速度的大小，等于该点的转动半径与刚体角速度的乘积，它的方向垂直于转动半径，指向与角速度转向一致。由于线速度方向沿圆周切线。所以又称圆周速度。将=（/min）及R=D/2（mm）代入式10-2 可得线速度和转速之间的关系如下： （m/min） （10-3）式中，转速n的单位为（r/min）。例10-1 用

4、圆盘铣刀铣削工件，如用直径D=125 mm的铣刀，机床主轴转速n=80 r/min，要保持这一切削速度而选用直径D=200 mm的铣刀，试选择机床主轴的转速。解 切削速度要保持这一切削速度而选用直径D=200 mm的铣刀，则转速应选择二、变速转动与转动动力学方程当作用在转动刚体上的合力矩等于零时，刚体作匀速转动，角速度为一常量，当作用在转动刚体上的合力矩大于零时，刚体就作变速转动。角加速度是表示角速度变化快慢的物理量。定轴转动刚体的角加速度等于单位时间内角速度的变化量，即 （10-4）式中表示初始角速度，表示t时刻后的角速度。角加速度的单位是rad/s2。角加速度是代数量，当为正值时，表示角速

5、度随时间增加而增大，刚体作加速转动，反之，则作减速转动。定轴转动刚体运动状态的变化决定于转动刚体所受的转矩，由实验可知，定轴转动刚体受到转矩M作用时，产生的角加速度的大小与转矩大小成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比，即 M=J （10-5）式中M表示转矩，单位是Nm，表示角加速度，单位是rad/s2 ，J表示刚体对转轴的转动惯量，单位是kgm2。式10-5称为刚体转动动力学方程。例10-2 已知飞轮的转动惯量J=18×103 kgm2，在恒力矩M的作用下，由静止开始转动，经过20s，飞轮的转速n达到120r/min，若不计摩擦的影响，试求启动力矩M。解 取飞轮为研究对象。由于飞轮作

6、用有恒力矩，因此角加速度为常量，即飞轮作匀变速转动。经过20s后，飞轮的角速度为飞轮的角加速度为由转动动力学方程得出飞轮的启动力矩为三、转动惯量的概念转动惯量是度量刚体转动惯性大小的一个物理量。由式(10-5)可知，外力矩一定的情况下，刚体的转动惯量越大，则转动的角加速度越小；转动惯量越小，则转动的角加速度越大。所以，刚体转动惯量的大小可以反映刚体转动状态改变的难易程度。刚体绕定轴的转动惯量等于刚体内各质点的质量与质点到转轴的距离平方的乘积的总和，即 （10-6）式中JZ表示刚体对转轴z轴的转动惯量，单位是kgm2。若定轴转动刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算式可写成定积分形式，即 （1

7、0-7）式中，M表示刚体的总质量，r表示质量为dm的微元到转轴的距离。该式只适用于质量均匀分布且具有规则形状的刚体，否则采用近似方法或通过实验来测定其转动惯量。由式10-6和10-7可知，刚体的转动惯量跟刚体的质量和质量分布有关，刚体质量越大，质量分布离转轴距离越远，转动惯量就越大。 工程中为了表达和计算方便，常用到惯性半径这一概念。设想刚体的全部质量集中在与轴z相距为的一质点上，则此质点对轴z的转动惯量等于原刚体对同一轴的转动惯量。称为刚体对该轴的回转(惯性)半径，于是有 （10-8）应注意的是，回转半径是一个假想的长度， 并不是质心到转轴的半径。四、转矩的功率功率P表示单位时间内力所作的功

8、，不变力的功率P等于力F与其作用点速度v的乘积（设力F与速度v方向一致），即 P=Fv （10-9）对于作定轴转动的刚体，如果其转动的角速度为，则转矩M的功率P等于转矩M与刚体转动角速度的乘积，即 （10-10）上式中，功率的单位是瓦特（W），转矩的单位是Nm，角速度的单位是/s。在机械传动中，常常需要根据给定的功率和转速计算转矩的大小，将（rad/s）代入则可导出转动刚体的功率、转速和转矩之间的关系： （10-11）或写成 （10-12）式中转矩的单位是Nm，功率的单位是kW，转速的单位是r/min。五、机械效率任何一部机器都要从外界输入能量。工作时，从外界输入的一定功率称为输入功率P0。输入功率中用于能量转化而消耗的一部分，称为有用功率P1；而另一部分用于克服机器在传动中的摩擦等阻力，称为无用功率P2。机器在稳定运转时，它们之间必然存在 （10-13）工程中为了比较输入功率被利用的程度，常用机械效率来进行度量。机械效率就是机器的有用功率与输入功率的比值，用表示，即 （10-14）例10-3 单级齿轮减速器如图10-2所示。已知电动机的功率P=7.5kW，输入轴的转速n1