2020高考数学-函数和导数专题复习策略

1、2020高考数学-函数和导数专题复习策略函数是贯穿高中数学的一条主线，全国卷对函数与导数知识的考查f 占30分左右.2019年以前，全国卷文.理科的压轴题（即第21题）基本上为函数与导数试题. 2019年困数与导数试迤虽然前移至厅第20题，但是试题位置变化并未带来考查方向的变化，"函"概重点. “导”向高考的趋 势仍在进行中目录O ”函数与导数”专题近年考情分析O 解睡思维的形成及典型例题分析数与导数”专题近年考情分析2019年全国试卷中函数与导数相关试题的位置分布卷别选择题（112 题）填空题（ 1316 题 ）解答题C1723 题 ）分值全国1 篇理科3,5, 1113

2、2032分文科3.513, 152032分全国II 春理科6,9,12142032分文科6,102122分全国III理科6,7,112027分文科5,7,122027分考纲：支撑学科知识的体系的重 点内容，构成数学试卷的主体；® 在知识网络的交汇点处设计试题， 对数学基础知识的考有达到必要的 高度.初中以方程作为主线，高中以西敷 作为主线函数一导数一方程不等式对里点内容的考查，在整体符合考 试大纲和考试说明要求的前提下， 在各部分内容的布局和考查难度上 可以进行动存设计，这种设计有助 于学生全面学习掌握至点知识和2B 点内容，同时有助于破解保化的应 试敕或函数与导数专题近年考情分析2

3、 019函数与导数内容的考点分布考点试题函数捡念、本 点全国川卷文科第5题函数的性质全国I卷文、理科第5题、全国 II卷文科第6题、理科第12、14 题全国III卷理科第7题指数函数、对 数函数全国I卷文、理科第3题全国II 卷理科第6题全国III卷文科第12题，理科第11题导教概念及几 何意义全国I卷大、理科第13题全国III 卷文科第7题，理科第6题导教运算及应 用全国I卷文、理科第2Q题全国II 卷文科第21题，理科第20逊全国川春文、理科第20题从知识上讲：考直了基本初等函数（常数函 数、一次函数、二次函效、反比例 函数、器函数、指数函数,对数由 数；特殊函数，三角函数、数列. 对勾函

4、数等）；函数图象与性质（包括定义域、佰域.单调性、奇 偶性.周期性、对称性等）；导数 及应用（包括导敌意义.导致公式. 导数运算法则、切线方程、单调性. 极值、最值等）等基本点.考点试题函数概念、或 点全国川卷文科第5题函数的概质全国1卷文、理科第5题、全国 II卷文科第6题、理科第12、14 距全国川卷理科第7题指数函数、对 数函数全国I卷文、理科第3题全国II 卷理科第6题全国III卷文科第12 题，理科第11题导致概念及几 何意义全国I卷文、理科第13噩全国川 卷文科第7题，理科第6邈导教运算及应 用全国I卷文、理科第2。题全国II 卷文科第21题，理科第20题全国川一文、理科第2。题

5、“函数与导数”专题近年考情分析从能力上讲：五大基本能力中的四项，即抽 象概括能力、推理论证能力、运算 求解能力、数形结合能力都在考题 当中有所体现，尤其是对发展性能 力，即应用意识和创新意识.从思想方法上讲:函数与方程思想.数形结合思 极化归与蕤化的思想、分类整合 思想.特殊与一般思想、有限与无 限的思想。中国高考命题正在实现从富力立意 朝核心案罪导向的历史性转变. “函数与导数”专题近年考情分析抽象概括能力学抽象核心素养逻相推理能力数形结合能力运算求解能力推理论证核心素养 直观想象核心素养 数学运算核心素养数据处理能力数据分析核心素养应用意识、创新能力I学建模核心素养考查能力就是在考查素养关

6、就能力就是核心素养的内涵之一函数与导数”专题近年考情分析存在问题:对于函数与导数试题，大多学生是依靠大量地刷题来掌握的，对函数试题概念不清、方法不明，导致下了大功夫却没有实效.在函数与导数的题型中，盲目求导后不知该干什么“求导的目的、导数与函数性质的关系等都是建立在对函数与导数的概念正确理解之上的。解题思维的形成及典型例题分析学的解决问题的一般结梅:让学生学会从最基本的数学概念出发去理解数学问题；从数学问 题的本质上去思考数学问题；用符合研究数学问题的一般方法去解决 问题数学问题考查的一般方向：提供一个问题的背景（有数学方面的，也有实际生活情境），提 出一个具有探索性的问题。学生若要解答这一类

7、问遨，霭要能够在理 解问题背景的前提下，探索问题的规律与本质.需要学生有理解问题、 分析问题与解决问题的能力，需要学生具备研究问邈的意识，需要学 生的数学思维具有逻辑性，需要学生能够综合运用所学的数学知识解 决问题。题思维的形成及典型例题分析解决函数问题的一般思维:解题研究一个函，要研究三个方,即函数的概念(定义域、值域、对应法则)，函数的图像，函数的性质。研究一道题，要关注两个要素,即研究对象，具体问题. 所以，对于函数的研究，可从以下思路入手：(研究对象性质关系数学问题问题结论具体问题具体方法 第一类:关注函数本质培养解题思维If ” « * jW1 (2018年仝国理科2卷11

8、题):已知八>)是定义域为(y,+8)的奇函数，满足/(1-y) = /(1 + x),若，Q)=2, !rt /(l)+/(2)+ r(3)+ . +/(50)=iA. -50B. 0C. 2D. 50 % »« »< > 一*问题诊断，在一些答案中常有这样的一些表述，/(1-X)=/(14.Y),鱼叵适) 至豆得t)=* + 2),又是号函数，所以# + 2) = -/(、)， 熊己森得/+ 4) = -/。+ 2)，由®©得幻=/("4),为什么要这样替换，下次应该用什么值去替换？第一类：关注函数本质培养解题思

9、维» 一 述例1 (2018年全国理科2卷11题):已知/(工)是定义成为(一%十8)的奇函数，满足“1一工)=/(1+二)，若/(1) = 2,:期 /+ /(2)+/。)+ +/(50)=A . -50B.0D. 50思路一：(性质分析)研究对象一抽象函数/W性质奇禹教,/(l-.t)=/(Ux)=x) = -/Cvl>/(l + x) + /(.v-l) = 0一 /(.v) = VU+2)(研究对象的一般分析) 第一类：关注函数本质培养解题思维7» 一 JI例1 (2018年全国理科2卷11题) : 也如是定义城为(一 8,，8)的奇函数，满足八17)=14。

10、，若fQ)=2, j . .测 / + /(2)+， + +/(50)=:9*A.-50B. 0C. 2D.50 思路一：(性质分析) /(均是寺函数->/(0) = 0/(0)4-/(2) = 0->/(2) = 0 /d) + r(3) = 0->r(3) = -2/(0) =/(4)-> /(4) = 0 ， + f(2)十 /(3)+ f(4) = 0八万八2) + 3)+50) = /+ /(2)=2(找到解决问题的具体方法)第一类：关注函数本质培养解题思维 ” 、T例2 （2015年全国文科2卷12题）: :J设函数/（工）三加（1十仲-三3 ,则使殍成立的

11、X取值范国是jI *B（W）U（X）cfggD.（_0TU&T |' , 1 ;思路;（性质分析）研究对象一/（X） = ln（l 4曲-二1 +广性质奇偶性单调性/（.x）>/（2x-l） /（W）>/（|2r-l|）|r|>|2x-l|<r<i第一类：关注函数本质培养解题思维从数学问题出发，分析研究对象的性质和属性，从具体问题出发，找到解决问题的特殊方法。注重自然语言.符号语言以及图形语言的相互转化只有在性质充分掌握的前提下，才能转化为解决问题的方法。. 第一类：关注函数本质培养解题思维| 例3 (2019年全国理科2卷12题)|*g设函数/的

12、定义域为R ,满足k + 1) = 2/(x),且当xe(O,l时，!I：/(x)=.x(x-l) »若对任意都有“02-：,则的取值范围是 »« 思潞一；(性质分析法)研究对象 /")/(x) = .r(x-l) xe(0,llF性 质/(r + l) = 2/WI一)5A , 自变量x每增加1时，函数值是原来的2倍第一类：关注函数本质培养解题思维: 、 例3 (2019年全国理科2卷12题) I:*?设甬数/的定义域为R,满足“x+l) = 2/a),且当xc(O川时，j , /(j)=.x(x-1),若对任意工e(-8,m,都有/(X)之则的取值范

13、围是思路二；(解析式)祗c(一巴加,都有/(x)g > 1 v v一弓， xw(2,3叶，令/(x) = 4U-2)(x 3) = 178/7"Xj = -,X2 = -, 7M的取值范国是- 第一类：关注函数本质培养解题思维小缰一：要让学生从函数本质一自变量、品数值的变化的角度去思考问整结论 1: 若 fU)=必(工 + m) 即 f (k + m) = ->0.A > 0)k2古+仑 2：若 f(x) =+ k.的)/(x+，“)= /(x) > O.* >0)结论 3 ：若 f9 = /(w.v)(训 > 0 )结论：4 ；若 /(.v) =

14、 kf(iux 即 f (mx) - - /O(/ > 0,片 > 0). k第一类：关注函数本质培养解题思维如：定义在实数集&上的的收fx)满足/(-v)4/(x + 2)=0 ,且/(4 = /(.v),现行以下三种叙述：8义周收/(、)的一个周期；0/(工)附像 关于近仪x=2对称；6/0)是偶函数,其中正殖的序号是/a _ a) = -/(.x)./(x+a) =, /(x + a) =关于工=4时称关于工=0时款/(x) + /(x + 2) = 0,即/«+2)=一/(<) /(4 -x) = /(x) /(r) = /(.v4-4) = /(4

15、 -x)/(4-x> = /(a) / /(2 - x) = -/(x) 关于r = 2对祢/(工+2)=/(工) 第一类：关注函数本质培养解题思维娜鳍二：更复杂的一类抽象函数表达式，引导学生从以下思路入手/(*十1)=/(&)十/a 十 2)/C0 = -/(x+3)周期为6/(x+2) = /(.v + l)+ /(x + 3)1-/W 第一类：关注函数本质培养解题思维, »« 一 1例4(2015年仝国J里科1卷12代)：已知由*/(.')=e' ( 2.V 1) (TX s 其中"< 1 , 若存在唯"一的空收

16、“ 使用： iii /Cvo)<O<则的取值范!£劄R -&：) C.亲：) D.源 » ,，f(x) = e (2x -1)-ar + a/(r0) <0g(x) = ex(2x - 1) h(x) = ax - a 第一类：关注函数本质培养解题思维 ” « , t H 42015年全国理科1卷12卷):已知|敦=+ ，其中nvl,若存在唯一的斜数飞.使用:2则。的取值范峋 第一类：关注函数本质培养解题思维 « :例52017年全国理科3卷11题)j已知函数八x) = F2w(E"+eT7)有唯一零点，则“二()|

17、i A. -1 B. -C. 1D. 1I2 , , .二 32； . _;,. J思路一：(最值法)fx) = 2.t - 2 + 以/T 一 /Z)= 23 -1) + c e当 k =】时./(I) = 0 当 xe(-sj)时.2K-2<0.e"川 <】一<02(Z)_/(工)<0 1 /”)在(-8)上单洞递减.当 kw(1.+oo)时.2rL>o/K)>0f /在(1,y)上单网理增.所以/(,¥)= = /。)= 2<1-】所以/(.v)有唯一事点的充分茶件为/(1)=0.即 第一类：关注函数本质培养解题思维e <

18、; 一 例52017年全国理科3卷11庭;已知函数八外二1一2y + (E"+2T7)有唯一零点，则“二() :： A.B. -C. -D. 1i 2.32 思路二：(性质法)j = .r2 -2x 关于*=1对粒j = ex'l+e'x'1 二"十"' 关于戈-1 对称有唯一本点，本点只能出现左对称轴上1)=7+加二0第一类：关注函数本质培养解题思维一 »« i 例52017年全国理科3卷11题):已知晶数八家)=.一一2,H(07+二7)有唯一零点，«'U=(i： A.B. -C. -D.

19、1232思路三：(换元法)/a)=a-iF，eT，W)-i令/ = xT .购 g(r) = /(.r)=r+ci(er+4-)-1 -Iy二ZW、中一发点 幽丁 = g(，)也疗唯一零点V - 8(，)龙俑的数 g(E)= a。二1 第二类：强调方法梳理形成解题思维例6 (2019年全国理科1卷5题) .曲数士在卜万.用上的图像大孜北()cos X + X"小学学生从舟元品坡的定义塔一个调校一号伍姓f旅伍X机色一最优、板优一类化始分等批质入手"、4 + 2 ,7)= 丫>1 第二类:强调方法梳理形成解题思维引导学生从稀究图强的定义城一单调性一寺俑性 T殊住置取值一最

20、值、极值一变化林劣等 性质入手T L/(l) - 1 1，疝11 二 2f sml >2.v52 排除ACsin，$mxXT， t 0, J + x *->-ko第二类：强调方法梳理形成解题思维一:让学生梳理函数图象与解限之间的对应关系 从函数的定义域.判断图象的左右位置;从函数的值域（或有界性），判断图象的上下位置;从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势;从函数的奇偶性,判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致.偶函数的图象关于yM对称，在对称的区间上单调但B反： 从函数的周期性,判断圄象是否具有循环往复特点.第二类：强调方法梳理形成解题思维二:要强调

21、用特殊化法及变化趋势分析法去解决问题，体会特殊与一股、有限 与无限的思想一般问SS特殊化处理以及特殊间灌一般化处理，两者相互转化，常能使 解法简单明了，有限和无限思想体现了辩证的观点，通过有限向无限的飞跃, 无限向有限的回归,常使得解题思路柳暗花明。帆立以2L°4 >0log* 2-log4 31 og1 2 log + 3r= log/.” bg,A,:= 1or A2x > 3.v 第三类：注重数学运算培养解题思维 «« :例8 （2017年全国理科1卷12题）! ! !设.*乂二为正级，U2|=3'=5、则（）=A. 2r < 3y

22、 < 5二B. 5二 < 2x< 3yC. 3v < 5r < 2xD. 3v v5二2x：?：> « < ,/以指致函数和对数函数为我体命明，将对禹报寺偶姓、单调性，以及对指敷函数、时效函数的 运算的承交熔合在一挺，通过比较大小体现出耒.同时考查了学生通过构速图物1r速立数与静 之阿关系的能识和和力. 第三类：注重数学运算培养解题思维»»*.*««*«*«*» *««.*»* t»*«*A»44«aAa

23、aA* *»*»»» aa*«ai«A«a«A«4t*A*a»a*«k*A««a««4*«4aaA*«««4«B»« atAta例8 （2017年全国理科1卷12超）I 设x,y,二为正数，JL21 =3K = 5 则（）IA. 2x<3y<5:B, 5:<2x<3y C. 3v<5r<2x D. 3v<5;<2x9'&#

24、39; /思路一；（作基法ar sy =5'上>.则有2x-3y = 2log* 3log k 二同理可证！ 2x < 5z 绛上：3y < 2x < 5z 第三类：注重数学运算培养解题思维 ZJ例8 （2017年全国理科1卷12题）P*;设居招:为正致，反2'=3'=5：.则（）：!:iA. 2x<3y<5:B, Sr <2.r<3v C, 3y<5:<2x D, 3y <5: < 2x二 ”思珞三：（性质法） 过2” =31=5、六1,则有 ,r=log?v = log?r = log30 lo

25、g >25 = iog> 2"30log_5'= loj/6第三类：注重数学运算培养解题思维>aaaaiaaiA na ai itatiBiaaia aaitan aaaaaata aaai aa&naaa usai laa laaaaaaa atBaaaia an lam ataaaaaiaaaaBaai taa aiaaa saaiitaa aai.a«aia aaaiani aaaiaaaa aABiBaia iaa aaa iiaaaaaa1 例8 （2017年全国理科1卷12邈）：:设工/二为正数,JL2I=31=5 «

26、1 （）5A. 2.v<3"5二 B, 5:<2.v<3v C. 3v<5z<2x D, 3y<5; <2x:it、 " /思珞四：（性质法）2x > 31令 2|=31=5：=/,由于二乂二为正数 J>1 js <4i<l3x = log2r,y =咽仁=log/2x= log. r3y = iog /;5r = log/第三类：注重数学运算培养解题思维 1:例8 （2017年全国理科1卷12题）j设8乂二为正数.旦2, =3'=5二.则（）iA. 2x<3r < 5:B, 5: <

27、;2x<3v C. 3v<5z<2.v D. 3y<5z <2xOr®r思珞五：（性质法）在 2"=3' =5'r 111 2 二 j1n 3 二二 In 52xln2三二 3rhi35二 5二In 5$V5<V2<V3-5: > 2x > 3y第三类：注重数学运算培养解题思维 ， 例8 （20174公国理科1卷12题）设X,凹二为正数，JL21 =3r = 5则（）A. 2x<3y <5:B. Sr < 2x<3y C. 3y< 5- < 2x D. 3y <5

28、r < 2x 思路六,（性质法）Vs< 75 <V?3y< 2x< 5:令2、=3, =5：=/ 由于k.帆二为正景.:cy<x时=时=砥=, 阿，（阿 （阂，第三类：注重数学运算培养解题思维例8 （2017年全国理科1卷12邈）设.乂二为正效，JL21 = 3, = 5：则（）A. 2x<3y<5:B, 5z<2x<3y C. 3j<5; < 2x D. 3y <5: <2x思路七：（特殊值法）z=L2* =3、5工=啕54,=*52x = 2bg, 5 <log232 = 5z3y = 3 log 3

29、 5 v log. 125 = 5zy=l.21 y = log ； 3.2x = 2 log； 3 = log. 9 > log; 8 = iy第三类：注重数学运算培养解题思维比较大小最常用的方法.就是作差法和作商法，强化学生的指对运算 学生应用此法才会不慌不乱。比较有关指式、对数式的大小时,要注意指数函数与对数函数的灵活应用不同思维切入点.往往可以获得不同的解题体验。 第三类：注重数学运算培养解题思维例9 (2019年全国理科2卷20邈)已知的效龄款/(k)= 1«,上L (1)讨论/(工)的单词性,并证明/«)有旦仅行 x-1两个发点：(2)设.”是/(.V)的

30、一个发点.i£叨曲线y = In X在点d(而,111 %)处的切线也是曲娱=屋的切线ilxrx2是/CD的两个*点.则h玉=In xx2 = l» .V）+ In x2 =5+1 2 中 2T芭-l "（x1Tx占 T）所以$三=1走方程的根.n第三类：注重数学运篝培养解题思维例9 (2019年全图理科1卷20超)已知由数/(.V)= 2sin.v- .vcos.Y-.v . /'(r)为 /(.v)的导效,(1)证明：，(工)在(0,/)上有唯一零点。，（K）2 COS.T + .vsin X-1 在（0.xsin r= l-co$r 有唯一科Y当 r

31、c（0.yT）时 t sin二 >0 2.v = tan-有哝一群 2第四类：用好一题多解培养解题思维函数与导数问题的难度增减取决与两个方面、 Inx 12011 年：/()=- + - x + 1 x2013年：/")="-ln(T+l)2015年：f(x) = entx+x2-nix2012 年：/(x) = v-x + |x22014年：/(y) = ex - ex - 2r/ x-2 r2016年：/(x) = -x + 2第四类：用好一题多解培养解题思维函数与导数问题的难度增减取决与两个方面2017 年：(理)/(.v) = axy -av-.ylux (文

32、)/(.r) = (l-.r2)ex2018 年：(理)/(x) = /-o?(文)/(.r) = 3-a(x2 + x + l)t +12019年：(理)/(x) = lnx-(文)/CT) = (x-l)lnx-.x-lX27I多项式函数一多项式函数与指数函数、对数函数复合函数一多项式函数与指数函数、对数函数进行四则运算得到的新的函数类型第四类：用好一题多解培养解题思维函数与导数问题的难度增减取决与两个方面上述函数的一般结构为；/a)+©式2 f(x)也 /(x) + ln(g(K), /(x) ln(g(x) /e(幻/可=/'(X)+/")g'卜&q

33、uot;/(.r) + ln(g(x)/(x)+ln (g(x)j = /'(%)+对于，/a)ln(g(x)求导后走含有有理函数和无理函数的四则运 算，所以常要“猜零点”、“设隐零点”、“放缩找零点”的方式第四类：用好一题多解培养解题思维函数与导数问题的难度增减取决与两个方面多项式函数多项式函数与指数函数、对数函数、三 角函数的复合函数多项式函数与指数函数、对数函数、三角函数进行四则运箕得到的新的函数类型。考查导数在函数中的简单应用，如利用导数求函数的单调区间、利用导数求函数的极值及利用导数求函数在闭区间上的最值，到增加解不等式以及证明不等式等内容，到与 零点等问题交汇处第四类：用好

34、一题多解培养解题思维函数与导数问题的难度增减取决与两个方面多项式函数多项式函数与指数函数、对数函数、三 角函数的复合函数一多项式函数与指数函数、对数函数、本质都是利用函数的导数去研究函数的单调性以及变化率,从函数的变化趋势中更好的认识函数的"形态”变化。亏mm%田姒T口3日干巫rtj ,守姒小力姒口 j千调区间、利用导数求函数的极值及利用导数求函数在闭区间上的最值，到增加解不等式以及证明不等式等内容，到与零点等问题交汇处第四类：用好一题多解培养解题思维M例11 (2018年全国II卷21麴)沁知的数/(。=/一/.若0 = 1,证明：当X3。时./(x)1 ： (2)若 ! /(.V

35、)在(0, D)只有一个零点，求口 .标准等案:(1)当。=1时，/(幻41等价&、De7-lW0.设函数 g =(./+1)1 -1,则夕(幻=-(好一 2ts=-(,一以。7 .(2)设函 = 1/(.T)在(0,田)只有一个零点、当且仅当/1(A)在(0, E)只有一个零第四类：用好一题多解培养解题思维J一 lAaaiMAA aanAAaaa iiati aia， 4 a laa n ta«aaaAaaai aii a«aii aiaaaaia<a itaai lAaaiuai， a， ataaa amaaai a«iaaia an «

36、;1<«aaAiatA m ,9 ，.1例11(2018年全国II卷21题)|.*已知函数/(K"e=6<<1)若。=1,证明：当k'O时，/(x)21： (2)若:2I:：/(r)在(0, xc)只有一个手点，求a.；.、 思路一：(单询性+分类讨ife)/(x) = ex-o,(.x>0),贝旷'a)=，-2ar( 1 )更三> 0,/(大)在(。,y)上单调递增，/。)0a = /(o)= 1所以/(k)在(0,+«)上无零点。(2 )/"(x) = ex - 2ax > 0)第四类：用好一题多解

37、培养解题思维已知的数./(工)在(0.1 思路一：,r（r）>0,八）在（0,收）上单调递增例 11 （： （2）当 o>0时，小工）二一-2心>0）71W>/（o）=i,故/在（0,+*）上单调递增，八在（。,技）上无,令广(1) = 0,"岫)>0, /'(.r)在(0JM2G)上单调递减，在伍（24产）上单调递增,"工皿2期=24-呵24>第四类：用好一题多解培养解题思维例11 (2018华解法二;(分离参数法)匕知函数/(0 =:了在(0,+8)只* 息盛二:令/(k)=0,即e”-ax'= 0,则a = 

38、3;r，问题转化为曲线%(x)与直的 =a只有一 X*个支点令人X)二£,力'。)二 °，二" 二 ea：2Q ,当 h(0,2)时， X-XX(分高变量法)伏x)40,Wr)单调递减，当门(2,转)时，厅(x)>0,方单调递增，又2h2) =,x-QBj, /j(.v)-4 +seo如图：曲线网幻与直线F = a仅有一个交点，a =第四类：用好一题多解培养解题思维 1例 11 (2018 j已知函数/(xA (x)在(0)” 一 3 思路三t解法三：(图像法)令，(k)=0.即犬-a?=0,令 F(.r) = ,P(.t)=or ,研究 函数xF(

39、x) = ,Fix')=ar.当 yw(0,1)时，F*(.v)<0,F(.v)单调递减.，当.vw(1,+«) x时，尸(k)>0,尸。)单两递增，F(l) = e,且当xt0B3 g)f«c,如图：契便曲线尸(x)与直线P(x)=尔仅有一个交点，则代工)应为FM切叱飞一1)线，设切点(如凡)，则 %，解的。=25a=e4第四类：用好一题多解培养解题思维一 .MMMBBMa .MMMMaBBB1例11(2018解法四；令/(x) = 0,即当。勺0时，显然两曲线无交点，故。01已知的数/G)I| /(r)在(0, +OC)两曲我的公切我是相同的。设切点坐标(%