2020届高考数学知识点题型总结：函数与导数

1、导数与函数核心考点目录题型一切线型1. 求在某处的切线方程2. 求过某点的切线方程3. 已知切线方程求参数题型二单调型1. 主导函数需“二次求导”型2. 主导函数为“一次函数”型3. 主导函数为“二次函数”型4. 已知函数单调性，求参数范围题型三极值最值型1. 求函数的极值2. 求函数的最值3. 已知极值求参数4. 已知最值求参数题型四零点型1. 零点 （交点，根 ）的个数问题2. 零点存在性定理的应用3. 极值点偏移问题题型五恒成立与存在性问题1. 单变量型恒成立问题2. 单变量型存在性问题3. 双变量型的恒成立与存在性问题4. 等式型恒成立与存在性问题题型六与不等式有关的证明问题1. 单变

2、量型不等式证明2. 含有ex与lnx的不等式证明技巧3. 多元函数不等式的证明4. 数列型不等式证明的构造方法题型一切线型1.求在某处的切线方程例1.12015重庆理20求函数f(x) = 3x%点(1, f(1)处的切线方程. e解：由 f(x)=,得 f (x) = 6x Jxx，切点为(1, e),斜率为 f(1)="|由f(1) = ,得切点坐标为(1,),由f '(1)=,得切线斜率为:； eeee.切线方程为 y e=e(x1),即 3xey= 0.1例2.求f(x) = ex(-+2)在点(1, f(1)处的切线万程.x111解：由 f(x)=ex(x+2),得

3、 f (x) = ex(q+ x+2)由f(1)=3e,得切点坐标为(1,3e),由f (1) = 2e,得切线斜率为2e；.切线方程为 y-3e= 2e(x- 1),即 2ex-y+ e= 0.11 - x / r例3.求f(x) = ln*7x在点(0, f(0)处的切线万程.1 x11解:由 f(x)=ln1q-x = ln(1-x)-ln(1 + x),得 f (x)=-xTx由f(0)=0,得切点坐标为(0, 0),由f (0) = 2,得切线斜率为一2;.切线方程为y= -2x,即2x+ y= 0.x2例4.【2015全国新课标理20】在直角坐标系xoy中，曲线C: y=4与直线l

4、: y=kx+ a(a>0)交于M, N两点，当k=0时，分别求C在点M与N处的 切线方程. x2一解：由题息得：a=,则 x= ±2独，即 M( 2血，a), N(2>/a, a),由 f(x)=x2,彳. f (x) = x,当切点为M(2g a)时，切线斜率为f'(2«)= F,此时切线方程为：Vax+ y + a=0；当切点为N(2«, a)时，切线斜率为f (2«) = «,此时切线方程为：Vax y a=0；解题模板一求在某处的切线方程写出f(x);求出f '(x);写出切点(X0, f(x。);切线斜率

5、k=f'(x0)；切线方程为 y f(x0) = f '(x0)(xx0).2.求过某点的切线方程点P不在曲线上点P在曲线上Stepl设切点为(x0, f(x0),则切线斜率f'x0),切线方程为：y f(xo) = f 'x0)(x xo)Step2 因为切线过点(a, b),所以 b f(xo) = f zx0)(a xo),解得 x0 = xi 或 x0 = x2Step2 当 xo=xi 时，切线方程为 y f(xi)= f'x0)(xxi)当 xo = x2 时，切线方程为 y f(x2) = f 'x0)(x x2)1 c 4 ,例1

6、.求f(x) = 3x3 + §过点P(2, 4)的切线万程.14解：设切点为(xo, 3xo3+3),则切线斜率f x0) = xo2,所以切线方程为：y 1xo3+4 = xo2(x xo),33由切线经过点 P(2, 4),可得 41xo3+4 = xo2(2 xo),整理得：xo3 - 3xo2+ 4 33=o,解得 xo= 1 或 xo = 2当xo = -1时，切线方程为：x y+ 2=o；当xo = 2时，切线方程为：4x y 4 = o.例2.求f(x) = x34x2+ 5x 4过点(2, 2)的切线方程.解：设切点为(xo, xo3-4xo2+ 5xo-4),则切

7、线斜率 f'xo)=3xo2 8xo+5, 所以切线方程为：y- (xo3 4xo2+ 5xo 4) = (3xo2 8xo+ 5) (x xo), 由切线经过点 P(2,4),可得 4-(xo3-4xo2+ 5xo4) = (3xo2 8xo+5) (2-xo), 解得xo= 1或xo=2当xo = 1时，切线方程为：2x+y 2 = o；当xo = 2时，切线方程为：x y 4 = o.例3.过A(1 , m)(mw2时作f(x) = x3 3x的三条切线，求m的取值范围.解：设切点为(xo, xo3- 3xo),则切线斜率f 'x(Q = 3xo2 3,切线方程为 3y

8、(xo 3xo) = (3xo2- 3)(x xo).切线经过点P(1,m),3. m (xo 4x02+ 5x0 4) = (3x02 8x0 + 5) (1 xo), 即：一2x03+3x02 3m=0,即 m= 2x03+3x02 3;过点A(1, m)(mw 2)作f(x) = x33x的三条切线，方程m= 2x03 + 3x02 3,有三个不同的实数根.曲线H(x0)= 2x03+3x02 3与直线y=m有三个不同交点，H ' x0)= 6x02+ 6x0= 6x0(x0 1)令 H 'x0)>0,则 0<x0< 1;令 H x0)<0,则 x

9、0<0 或 x0>1H(x0)在( 8, 0)递减，在(0,1)递增，在(1, +8)递减，.H(x0)的极小值=H(0)= 3, H(x0)的极大值=H(1) = 2,由题意得一3<x< -2.例4.由点(一e, e 2)可向曲线f(x) = lnx x1作几条切线，并说明理由1解：设切点为(x°, lnx0-x0- 1),则切线斜率f x0)= 1,切线万程为y (lnx0 x011)=疏1)(xX0),一切线经过点(e, e 2),1e. ©2 (lnx。一x。- 1)= &0-1)(一ex。)，即 lnx0=xoe ,. y=lnx与

10、y=一只有一个父点 x方程lnx0=e有唯一的实数根x0由点(一e, e-2)可向曲线f(x) = lnx x1作一条切线.解题模板二求过某点的切线方程设切点为(x0, f(x0),则切线斜率f 'x0),切线方程为：y f(x0) = f ' x(0)(x x0)因为切线过点(a, b),所以b f(x0) = f ' x0)(axo),解得x0= x1或x0 = x2当 x0=x1时，切线方程为 y f(x1) = f ' x0)(xx1)当 x0=x2 时，切线方程为 y f(x2) = f ' xQ)(xx2)3.已知切线方程求参数解题模板三已知

11、切线方程求参数已知直线Ax+ By+ C=0与曲线y=f(x)相切 设切点横坐标为x°,则Ax0+ C切点纵坐标=切点纵坐标f(x0) = 切线斜率=切线斜率即af (x0) = 一b解方程组得x0及参数的值.a(x+ 1)- alnx , xb一二(x+1)2 x2例1.函数f(x) = xOnx1+b在(1, f(1)处的切线方程为x + 2y3=0,求a, b的值.alnx b解：心)=力+ 1 f (x) =x十I xf(1)=1f =-2,b=1a .1一一 b二2 b 2例 2.f(x) = aexlnx +bex 1解：.f(x) = aexlnx+xbex在(1, f

12、(1)处的切线方程为y=e(x1)+2,求a, b的值.、，1、一 11，f (x) = aex(x+lnx)+bex 1(-)上口古,.f(1)=2 口口 b=2由题意知：f(1) 一e,即ae= ea= 1, b = 2例3.若直线y= kx+b是y=lnx + 2的切线，也是y=ln(x+1)的切线，求b.解：设y= kx+ b与y=lnx + 2相切的切点横坐标为x1，y= kx+b与y=ln(x+1)相切的切点横坐标为x2,lnx1+2=kx1 + b x1ln(x2+1) = kx2+b ，由行：x1 = x2+1,1rr=kx2+ 1由一得：lnx一ln(x2+1)+2= k(x

13、1 x2),将上式代入得：k= 21；x1 = 2,代入得：一ln2+2=1 + b. .b=1 ln2.例4.若 他)=以与g(x)=a Inx相交，且在交点处有共同的切线，求 a和该切线 方程.x0 = alnx0 解：设切点横坐标为x。，则，a 补,由得Vx0=2a, 濡1。e代入得：Xo=e2, 'a=2i i i，1切点为(e2, e),切线斜率为五，切线万程为x- 2ey+ e2=0.4D1例5.已知函数f(x)= x3+ax+4，当a为何值时，x轴为曲线方程y=f(x)的切线.例6.已知函数f(x) = x2+ ax+ b和g(x)= ex(cx+ d)都过点P(0,2)

14、且在P处有相同切 线 y=4x+2,求 a, b, c, d 的值.题型二单调型1.主导函数需七次求导”型 I不含参求单调区间1 例1.求函数f(x)= x61) 一/x2勺单调区间.解：f(x)的定义域为Rf 'x)=ex(1+x)1x=(x+ 1)(ex+1)令 f'x)>0,得 x< 1 或 x>0;令 f 'x)<0,得1<x<0 f(x)的增区间为(一oo, 1)和(0, + OO)减区间为(1, 0)。例2.求函数f(x)=(1+a) ex(a>0)在(一8 0)上的单调性.x，解：f(x)的定义域为(8, 0) x

15、, x a a /、 ef x)=e(十 x+1)= Nx2+ ax a)令f x)>0,得 x< -a-12a2±4a.令 f x)<0,得一"产必<x<0f(x)的增区间为(一8, * a),减区间为(-a 产3,0)。解题模版一求解函数的单调区问 求出函数f(x)的定义域；求f ' x);判断f 'x0的正负；f (x) = kx+b注：导函数的形式是有限的f '(x)=ax2+ bx+c二次求导型写出函数的单调区间.注：求单调区间结论一定叙述为f(x)单调区间为 讨论单调性可叙述为f(x)在某区间增(减)多个相同

16、单调性区间要用逗号隔开，不能用U单调区间书写时用中括号还是小括号问题II.主导函数需 上次求导”型例1.讨论函数f(x)= (x+1)lnx x+1的单调性.解：f(x)的定义域为(0, +8)x+11f x)=lnx+_x-1 = lnx + x人，、,1，11x1令 Mx) = lnx + x(x>0),则| xl= x-x2= F令 Mx)>0,则 x> 1;令(Xx)<0,则 0Vx<1 ,贬)在(0, 1)上递减，在(1, 十00比递增. (Kx)谶0)=1>0,从而 f'x)>0；f(x)在(0, +oo比递增.例2.求函数f(x)

17、=xe2-x+ex的单调区间.解：f(x)的定义域为Rf 'x)= (1 x)e2 x+ e令(Kx) = (1 x)e2 x+e,则 小'x)=(x 2)e2 x当xC (一, 2)时，小'x)<0,椽)在(8, 2)上递减;当 xC (2, +ooM, y x)>0,椽)在(2, +oo比递增;贬)词(2)= 1 + e>0；f(x)单调增区间为R,无减区间.例3.求函数f(x) = ln(x+1)的单调区间.x解：f(x)的定义域为(1, 0)U(0, +oo)f x)=x (x+ 1)ln(x+ 1)(x+ 1)x2令(Kx) = x(x+1)

18、ln(x+ 1),则 小'x)=ln(x+1)当xC (-1, 0)时,x)>0,则 椽)在(1, 0)上递增(Kx)< 设0) = 0f x)<0 f(x)在(一1, 0)上递减当 xC (0, +ooM, y x)<0,椽)在(0, +8比递减；(Kx)< 设0) = 0,f x)<0-f(x)在(0, +oo上递减综上所述：f(x)单调递减区间为(1, 0)和(0, + °°).例4.求函数H(x)= |lnx |eh+C的单调区间., x , lnx C 0Vx<1解：H(x)=exlnx-e2x+C x>l一

19、一 ，1当 xC (0, 1)时,H'x)= 1 x1-2x e2x x+2x22x = exe2x令(Kx) = -e2x-x+2x2, xC(0, 1)则 x)= 2e2x1+4x小x)4 4e2x + 4= 4(e2x1)<0,(|)'x) 在(0, 1)上递减 x)< 小'(0)-3<0. (Kx)在(0, 1)上递减.贬)< &0) = 1<0,即 H'x)<0H(x)在(0, 1)上递减r,1 12x e -x+2x2当 xC (1 , +oo59,H x) =1一 2x =2-xx e xe令(|(x)

20、= e2x x+ 2x2, x (1, + oo)贝Ux) = 2e2x 1 + 4x. x> 1(|)'x)>0贬)在(1, +8比递增 .(Kx)> M1) = e2+ 1>0,即 H'x)>0；H(x)在(1, +oo比递增综上所述：H(x)在(0, 1)上递减，(1, +8比递增.重要方法一二次求导求函数单调性当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对主导”函数再次求导,这种再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。通过判断f ' x)的符号,来判断f 'x)的单调性；通过赋特殊值找到f'x。的零点，进而得到f

21、'x)的正负区间.2.主导函数为次函数”型例1.求函数f(x)=aax+ 1的单调区间.解：f(x)的定义域为Rf 'x)=exa当a00时,f'x)>0包成立，. f(x)的增区间为R当 a>0 时，令 f 'x)>0,则 x>lna；令 f 'x)<0,则 x<lna；f(x)的增区间为(lna, 十 °°)减区间为(oo, lna)。综上所述：当a00时,f(x)的增区间为R当a>0时，f(x)的增区间为(lna, 十 °°)减区间为(oo, ina)01 例2.求函

22、数f(x)= lnx ax+gx2勺单调区间.解：f(x)的定义域为(0, +8)一，、, 1,1、f x)=x a+x= (x+x)-a当a02时，f'x)加成立，. f(x)的增区间为(0, +oo). Aa x/a2 4a+ a24当 a>2 时，令 f x)=0,则 x=2或乂=2令 f x)>0,则 0Vx<a+/a2 42令 f 'x)<0,则a 4a2- 42<x<a+/a2 42,RAJ4yti_. , aa Va2 4a+ a2 4；f(x)的增区间为(0,2)和(2，+00)减区间为(七户,)综上所述：当a02时,f(x)

23、的增区间为(0, +oo).-4_a ala2 4 / a ala2 4、当a>2时，f(x)的增区间为(0, 一4)和(一孑，+°0)月一/s2 4 a +，a2-4减区间为(一5，一手)例3.求函数f(x)= lnx ax的单调区间.解：f(x)的定义域为(0, +8)，V 1f x)= a x当 a00时，f'x)>0,. f(x)的增区间为(0, +oo)当 a>0 时，令 f 'x)>0,则 0<x<"；令 f 'x)<0,则 x>1； aa.f(x)的增区间为(0,；),减区间为(1，+8)

24、.综上所述：当a00时，f(x)的增区间为(0, +OO)1 1当a>0时，f(x)的增区间为(0,-),减区间为G，+ °°> aa例 4.求函数 f(x)=ax(a+ 1)ln(x+1)(a- 1)的单调区间.解：f(x)的定义域为(1, +oo), a+ 1ax 1f x)= a :=一r人 x+1x+1当一140O时，ax- 1<Q 即 f'xjwo.f(x)的减区间为(-1, +00)当 a>0 时，令 f'x)>0,则 x>1,令 f'x)<0,则一1<x<aa1 ,1.f(x)的增区

25、间为q, +8),减区间为(1,1).综上所述：当一1400时，f(x)的减区间为(一1 , + oo)当a>0时，f(x)的增区间为(；，+ °°)减区间为(1, $.例5.求函数f(x)=xekx (kw0)单调区间.解：f(x)的定义域为Rf 'x)=(1 + kx) ekx1当k> 0时，f(x)的增区间为(一1,+8),减区可为(OO,1 1当k<0时，f(x)的增区间为(一8, 一口，减区间为(k +°°),、一，、, 1 ,1综上所述：当k>0时，f（x）的增区间为（一1，+8）减区间为（8, 1）.kk1

26、1当k<0时，f（x）的增区间为（一8, p,减区间为（3+ OO）例6.求函数f（x）=x alnx （aC R）的单调区间.解：f（x）的定义域为（0, +8）x ax当a00时，f x）>Q则f（x）的增区间为（0, +oo）当 a>0 时，令 f 'x）>0,则 x>a,令 f 'x）<0,则 0<x<a,；f（x）的增区间为（a, +8）,减区间为（0, a）.综上所述：当a00时,f（x）的增区间为（0, +oo）当a>0时，f（x）的增区间为（a, +8）减区间为（0, a）.重要方法二一次函数型（一） , ，

27、一_11,，当导函数可表小为常见已知函数，（例如：ex, x + -, -, x2 2x）与一个常参数（例 x x1如：a, 2k, 1, a）的差的形式时，可通过回出已知函数与常值函数图像的方法 a对参数进行分类讨论.重要方法三一次函数型（二）二级分类法 当导函数为一次函数（一次项系数为参数）时，可用二级分类法判断最高次项系数的正负；判断一次方程的根与定义域端点值的大小.3.主导函数为七次函数”型例1.求函数f（x）=x2 2x+alnx的单调区间.解：f（x）的定义域为（0, +8）,a 2x2 2x+ a a- (2x2+ 2x)f x)=2x-2 + a= x x当ag时，f '

28、;x）Q则f（x）的增区间为（0, +oo）、/61 a ,1,11 2a 1 +71 2a当 0<a<2时，令 f x) = 0,则为=，2=2人，1 1 1 - 2a1 + 41 - 2a令 f x)>0,则 0<x<2 ，或 x>2人1112a 1 +12a令 f x)<0,则一<x<，上一%一、-、r1 -41 2a 1 +1 2a；f（x）的增区间为（0,2）和（2，十0°）减区间为(1一2a, 1飞-2a当 a00时，令 f 'x)>0,则 x> 1+1-2a,令 f xl< 0,则 0<

29、;x<1+412a2.f(X)的增区间为(止勺二& , +8)减区间为(0, 1+)；-2a)综上所述：当a$时，f(x)的增区间为(0, 十 °°)当 0<av；时，f(x)的增区间为(0, 17；-2a)和(1+4-2a, +8)减区间为(I2a, 1+-2a)当a&o时，f(x)的增区间为(1+y；-2a,+8)减区间为(0, 1+y；-2a)e例2.求函数f(x) = R；(k>0)单调区间. x2十k解：f(x)的定义域为Rf x)=ex(x2+ k) 2xex _ ex(x2- 2x+ k) _exk-(-x2+ 2x)(x2+

30、 k)2=(x2+ k)2=(x2+ k)2当kl时，f x)>Q f(x)的增区间为R当 0< k< 1 时，令 f 'x)=0,则 x1= 1 -V1 -k, x2= 1 + 7 1 k令 f'x)>0,则 0<x< 1 y!1 k,或 x> 1 +>J1 k令 f'x)<0,则 1 41 k<x< 1+41 k,；f(x)的增区间为(0, 1 W k)和(1 + 41 k, + 00)减区间为(1, 1+吊寸)综上所述：当k>OT, f(x)的增区间为R,当 0<k<1 时，f(x

31、)的增区间为(0, 1 1 k)和(1 +，1 k, + 00)减区间为(1 41 k, 1 +V1- k)2例3.讨论函数f(x)= x +a(2 Inx)的单调性. x解：f(x)的定义域为(0, + oo),2 a x2 ax+ 2f x)=1 + x2x=x+ 2-axx2当 a&M2时，f 'x)>Q f(x)的增区间为(0, + oo)当a>242时，令f x)=0,则刈=贮率三8, 乂2=心手三8a _ a2 8a + y a2 8令 f x)>0,则 0<x< 匕,或 x>V令f x)<0,则<乂<0势,.f

32、(x)的增区间为(0,a a2 8、工,a + */a2- 8、-2)和(2，+0°)1,a 7 a2 8碱区间为(2a + a! a2 82)综上所述：当a&北时,f(x)的增区间为(0,+ °0),当a>2必时，f(x)的增区间为(0,”呼8,土 a + 4 a2 8)和(2，+0°)重要方法四二次函数型(一)减区间为(a al a2 82a + a2 82)当导函数可表示为常见已知函数(例如：ex,1 1 x+ , x' x'x2 2x)与一个常参数(例1如：a, 2k, 1, a)的差的形式时，可通过回出已知函数与常值函数图像

33、的方法 a '对参数进行分类讨论.例如：2x2 2x + a, x (0, + oo)x2 2x + k, x Rx2 ax+2, xC(0, + oo)可化为 a- (-2x2+ 2x) k-(-2x2+ 2x) 2x+x a例4.求函数f(x)= (x k)春的单调区间.解：f(x)的定义域为Rex 1f ' x)= 2x 2k+2kx+ k2)苜=/x2当k> 0时，f(x)的增区间为(一£ k)和(k, +oo),减区间为(k, k).当k<0时，f(x)的增区间为(k, - k),减区间为(一°°, k)和(一k, + oo)

34、.综上所述：当k>0时，f(x)的增区间为(一8, k)和(k, +oo)减区间为(一k, k).当k<0时，f(x)的增区间为(k, -k),减区间为(一°°, k)和(一k, + °°).例5.求函数f(x)= lnx +ax2+ x(a R)的单调区间.解：f(x)的定义域为(0, +8)12ax2+ x+1f x)=x+ 2ax+1 =当a0时,f x)>0,则f(x)的增区间为(0, + oo). n 人，r r _ 1 +1 8a _ 1 _ 7 1 8a当 a<0 时，令 f x)=0, 则 x =，, x2=子4a

35、4a(此处xK0<x2),故将x1舍去. 1(汪息：此处x1 x2=%< 0,可知一根为正，一根为负) 138a - 1-/1-8a令f'x)>0,则0<x<1，f(x)的增区间为(0, 去)_ 1 _ 1 一 8a_ 1 _ 71 8a+ oo)令f 'x)>0,则x>六，f(x)的减区间为(六综上所述：当a0时,f(x)的增区间为(0, 十 °°).当a<0时,f(x)的增区间为(0,1 41 8a4a),+ OO)减区间为(1 例6.求函数f(x)= a(x-)-2lnx的单调区间. x解：f(x)的定义

36、域为(0, +8)a 2 ax2 2x+af x):a+7一= " x2 xx2当a00时,f x)<0,则f(x)的减区间为(0, + oo).(注意：此处 ax2V0, -2x<0, a<0,故 ax2 2x+a<0)当 a>0 时，由 ax2 2x+a = 0,得= 4 4a2当即al时，f'x)Q . f(x)的增区间为(0, + oo)当。，即0Va< 1时，令f'x) = 0,则刈=上业二22, x2=1 +虫a2aa人上，丫 . eh c 1 "v/l a21 +，1 a2令 f x)>0,贝U 0&l

37、t;x<或 x>1 1 a2 1+1 a2令 f x)<0,则X<x<Xaa"11Vti>、,、,1 J1 a2 1 + 7 1 a2；f(x)的增区间为(0, 七)和(-,+ 0°)aa、冷 Lt、-r4 1 - a2 1 + x/1 a2减区间为(一；, 一；一)aa综上所述：当a00时，f(x)的减区间为(0, + oo).当0<a<1时，f(x)的增区间为(0,111a2和(上坐二a2, +8) aa、，13a2 1 + V1-a2减区间为(一；, 一；一) aa当al时，f(x)的增区间为(0, +8)一-，x 1

38、、.一、例7.求函数f(x)=alnx + nx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0, +8).,_ a 2 _ a(x+ 1)2+ 2x _ ax2+ (2a + 2)x+af x)=x+ (x+1)zT x(x+1)2 = x(x+1)2当aO时，f'x)>0, ；f(x)的增区间为(0, +oo).(注：此处因 a>Q x>0,所以 ax2>0, (2a + 2)x>0, a>0,即 f'x)>0)当 a<0 时，由 ax2+ (2a + 2)x+a = 0,得= 8a+4一. 一 1 ,当&()即 a0 2时，f

39、 x)<0,，f(x)的减区间为(0, +oo).一. 一1 一. .，当4>0 即一2<a< 0 时，令 f xl= 0,一(a+1) 一,2a1 (a+ D+J2”1则 x1 =, x2 =aa 2a+ 22-(汪：此处由 x1 + x2=1>0, x1x2= 2>0,则 x1>0, x2>0)aa令 f x)>0,则 0<x<(a+1)逐1a或x>(a+1)+42a1aa , mi (a+ 1)12a 1 (a+ 1)+12a 1令 f x)< 0 ,则 S<x< X八aa1Vti_(a+1) 12

40、a 1(a + 1) + ) 2a 1；f(x)的增区间为(0,)和匕"，+00)aa、今bl以, (a+ 1) 、2a 1(a+ D+a 1减区间为(。,o )aa综上所述：当a10时，f(x)的增区间为(0, +oo).,1-当一2< a< 0 时，.,(a+1) 2a 1(a+ 1) +、2a 1f(X)的增区间为(0, -1)和, aa、#1_.f (a + 1) x/ 2a 1 (a+ 1)+x/2a 1减区间为(二早,3)aa ，,1 ,当a0 2时，f(x)的减区间为(0, +8)重要方法五二次函数型(二)当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分

41、解 判断最高次项系数与零的关系，分为三类a=0, a>0, a<0当a = 0时，很容易判断正负；当a>0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0;当a<0时，考虑及根与定义域端点值的大小.x2- k例如：-x-(k0)2ax2+ x+1, xC (0, 十 », ax2 2x + a, xC(0, + 0° ax2+ (2a+2)x+a, xC(0, +3a例8.求函数f(x)= (1 a)lnx x+2x2勺单调区间.1 _ af x)=YT + ax解：f(x)的定义域为(0, +oo)ax2 x+ 1 a (x 1)ax+ (a 1) = =1

42、 一、对应万(注 1:此处主导函数为 g(x) = ax2 x+1a 的= (2a1)2 >0)(注2：分类讨论的思想依据最高次的系数a=0;"0,则2=_ _1 a 1_ 程的两个根相等，即1= ,则a=1；让其中的根和区间端点相等，即 0=a21a,即a=1。至此，a的取值被分成了 7类，即a<0, a= 0, 0<a< 1, a=1, a2212<a<1, a=1, a>1）当a<0时，f（x）的增区间为（0, 1）,减区间为（1, + °°）1 a（汪 3：此处一a-<o<1）当a = 0时，f（

43、x）的增区间为（0, 1）,减区间为（1, + °°）当0<a<1时，f（x）的增区间为（0, 1）和（1 一a, +8）减区间为（1, 1一a） 2aa '1 a（注 4:此处 0<1<=-） a当a=2时，f（x）的增区间为（0, +8）当1<a<1时，f（x）的增区间为（0, =a）和（1, +8）,减区间为（=a, 1） 2aa（注 5:此处 0<=a<1） a当a=1时，f（x）的增区间为（1, + °°）减区间为（0, 1）、一.，1a 一 ，、（注 6:此处一a<0<1）当

44、a>1时，f（x）的增区间为（1, + °°）减区间为（0, 1）（注7:类可以合并，可以可并）综上所述：当a00时，f（x）的增区间为（0, 1）,减区间为（1, +oo）1 . - 一 1 a.、 -1 a当0<a<3时，f（x）的增区间为（0, 1）和（,+ 0°）减区可为（1,）2 aa ',1 ,当a=2时，f（x）的增区间为（0, + oo）当1<a< 1时，f（x）的增区间为（0, 1a）和（1, + °°）减区间为（1:a, 1）2aa当a=1时，f（x）的增区间为（1, + °&

45、#176;）减区间为（0, 1）。1例9.求函数f（x） = 2ax2 （2a + 1）x+2lnx的单调区间.解：f(x)的定义域为(0, +8)2 ax2 (2a+1)x+2 (x-2)(ax- 1)f 'x) = ax (2a+ 1) + 一=xxx（注 1:此处主导函数是 y= ax2 （2a+1）x+2, =（2a+1）2 8a=（2a1）2 芸0故主导函数是可以因式分解的）（注2:分类的思想a = 0;八=0,即a = 1;两根相等3=2,即a=1;其 2a2中一根与端点相等，即1 = 0,则0和1就可以将数轴分成5部分，即需要分成5 a2类）当awo时，f（x）的增区间是

46、（0, 2）,减区间（2, +8）当0<a<1时，f(x)的增区间是(0, 2)和(1, +8)减区间(2, 1) 2aa当a = 2时，f(x)的增区间是(0, +oo)当a>1时，f(x)的增区间是(0, 1)和(2, +3 减区间。2)综上所述：当a00时，f(x)的增区间是(0, 2),减区间(2, +oo)当0<a<1时，f(x)的增区间是(0, 2)和(1, +8)减区间(2,-) 2aa当a=1时，f(x)的增区间是(0, +oo)1 、a堂勺单调区间.当a>1时，f(x)的增区间是(0, 1)和(2, +8)减区间(1, 2) 2aa例 10

47、.求函数 f(x)= lnx - ax+a 1, x重要方法六二次函数型(三)当二次函数的判别式 >0时，可采用四级分类法.判断最高次项系数与零的关系.判断根的判别式与零的关系.两根的大小比较.根与定义域端点值的大小比较.例如：ax2 x + (1 a), xC(0, 十ax2+ x+a1, xC(0, 十 0°)；ax2+ (2a+1)x+2, xC(0, +31例11.求函数f(x) = xexaqx2+ x)的单调区间.解：f(x)的定义域为Rf ' x) = (1 + x)ex a(1 + x) = (x+ 1)(ex- a)当 a00时，令 f x)>0

48、,则 x>-1；令 f x)<0,则 x< 1；.f(x)增区间为(一1 , +8),减区间为(OO, 1)当 a<0 时，令 f 'x)=0,则 xi = 1, x2= lna当a>1时，f(x)的增区间是(一8 1)和(lna, + °°)减区间(i lna ) e当a=1时，f(x)的增区间是R e当a<H, f(x)的增区间是(一8, lna)和(一1, + °°),减区间(lna, - 1 ) e综上所述：当a00时,f(x)增区间为(一1, +8),减区间为(oo, 1)当a>-时，f(x)的

49、增区可是(一00 1)和(lna, 十 °°)减区可(ilna )e1 ,当a=1时，f(x)的增区间是Re1-当0<a<一时，f(x)的增区可是(一8 lna)和(-1, 十 °°)减区可(lna, 1) e_ 九例 12.求函数 f(x)= (xa)sinx + cosx, xC(0,昉，a>的单调区解：f(x)的定义域为(0,力f ' x)= sinx+ (x a)cosx sinx= (x a)cosx当 aK时，令 f 'x)>0,则 x 笔力；令 f，x)<0,则 x (0, -2)、- 冗.、-

50、冗.f(x)的增区间为(2，% 减区间为(0, 2)当尹a<九时，f(x)的增区间为(2, a),减区间为(0, j和(a,力综上所述：当a时，f(x)的增区间为(J力，减区间为(0, §当2Va<冗时，f(x)的增区间为(2a),减区间为(0, j和(a,力1例 13.求函数 f(x)=(ax2 x)lnx ax2+ x(a R)的单调区|可.解：f(x)的定义域为(0, +8)f ' x) = (2ax 1)lnx+ ax 1 ax+ 1 = (2ax 1)lnx当a00时，f(x)的增区间是(0, 1),减区间是(1, +8)当a>0时当出<1，

51、即a>1时，f(x)的增区间是(0,三)和(1, +°°)2a22a减区间是七，1)当；1=1,即a=1时，f(x)的增区间是(0, + oo)2a2当2a>1,即0<a< 2时，的增区间是(0,1)和3，+°°),减区间是(1, 2a)综上所述：当a00时，f(x)的增区间是(0, 1),减区间是(1, +oo)当a>2时，f(x)的增区间是(0, 2a)和(1, +00)减区间是(2a, 1),1 ,当a=2时，f(x)的增区间是(0, + °0)当0<a<1时，f(x)的增区间是(0, 1)和(2

52、a, +8)减区间是(1, 2a)重要方法七| 二次函数型(四)主导函数类似于二次函数形式.例如：f ' x) = (x+ 1)(ex a)；f x0= (x a)cosx, xC(0,昉，a>2；f ' x0= (2ax1)lnx , xC(0, +00)；4.已知函数单调性，求参数范围例1.函数f(x)=(a>0)为R上单调函数，求a的取值范围ax2H_ 1ex(ax2 2ax+ 1) 解：f x)=(ax2+1)2:函数 y= ax2 2ax+ 1 恒过点(0, 1)f(x)在R上单调.f'x)O在R上恒成立，即ax2 2ax+ 10在R上恒成立当a

53、= 0时，符合题意当a<0时，不符合题意当 a>0 时，只需= 4a2 4a<Q 即 0V a< 1综上所述：a的取值范围为0, 1的取值范围.1例2.函数f(x) = lnx+- + ax(aC R)在2,+ 00比是单调函数 求 a x一11斛：f x)=x x2+ a若f(x)在2,+ oo比是单调递增，一， 11则f x)=- + a>0在2, + 00止恒成立x x2x 2,+ °0)令t=% 则 v= t23 tC(0, 2,则 ye -2,0) x4T a R 0若f(x)在2,+ 8比是单调递减，11则f x)=-+ a00在2,+ 8比

54、恒成立'x x2x 2,+ oo).1 -11令 t=则 y= t2t, te(0, 2,则 ye -4,0)a0- 41综上所述：aC ( 00, -4 u0, + oo)注：以上两题是不明确函数是增函数还是减函数.例3.函数f(x) = xekx在(一1,1)内单调递增，求k的取值范围.解：f'x)=(1 + kx) ekxf(x) = xekx 在(一1,1)内单调递增,.f'x)/0在(1,1)内包成立 1 + 0。在(一1,1)内包成立k+10 0即 k+ Q。，即T4&1例4.函数f(x) = lnx +x2 ax在定义域上为增函数，求 a的取值范围

55、.一 一，1解：f x)=x+ 2xa. f(x)在(0, + 00比为增函数,1.f'x)=-+2xa>0在(0, +8 比恒成立 x1 .a+2x, x (0, + oo)x1 一 2 .1当且仅当 x=2x,即 x=拳时，(x+2x)min=2/2ax例5.函数f(x) = xa我(a>0)在(一1,1)内单调递增，求b的取值范围.解:f x)=a(x2 b)(x2+ b)2由题意知，f'x)0在(一1,1)上包成立. x2-b<Q xC(1, 1). b2 x (1, 1)b>l例6.设f(x) = lnx + m", mCR,若对任意

56、b>a>0,芈)一f(a)<1恒成立，求x'b -a的取值范围.解：:对任意b>a>0, *? f< 1包成立，b a对任意b>a>0,f(b) b f(a) ab a . F(x) = f(x) x= lnx+mx 在(0, + 00止递减.F'x)=1 m 100在(0, + 8 比恒成立 x x/x mx2<Q 即 mAx2+ x, x (0, + oo)1二 mW例7.已知函数f(x) =xlnx x>a _ ,中辽y9 . 9y & yq，其中a>Q如果对于任忠x1，x2CR,x2 十 2x 3 x =a且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),求a的取值范围.解