2020中考数学《几何》压轴大题专练(30道)

1、2020中考数学几何压轴大题专练(30道)1 . (2019安徽省中考模拟)已知如图 1,在4ABC中，ACB = 90°, BC = AC ,点D在AB上，DS AB交BC于E,点F是AE的中点(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明；(2)如图2,将4BDE绕点B逆时针旋转a (0°< a< 90°),其它条件不变，线段 FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；BF的范围.(3)将4BDE绕点B逆时针旋转一周，如果 BC = 4, BE=2j2,直接写出线段11(3)在(2)题中，连接BD分别交 x|2 x 4 于M、N ,你还能用旋转的

2、思想说明图I垩32 . (2019山东省中考模拟)正方形 ABCD中，E是CD边上一点，(1)将VADE绕点A按顺时针方向旋转， 使AD、AB重合，得到VABF ,如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是, AFB .(2)如图2,正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且 PAQ 45，试通过旋转的方式说明:DQ BP PQ2-22BM2 DN2 MN2.3 . (2019内蒙古自治区中考模拟)如图 ，9BC内接于aOBB是。的直径，CD平分 UCB交4O于点D,交AB于点F,弦AEACD于点H,连接CE、OH.延长AB到圆外一点 P,连接PC若PC2=PB PA,求证：PC是AO

3、的切线；（2）求证：CF AE=AC BC;若竺 二3, ZO的半径是 J13,求tan "EC和OH的长.BF 24 .（2017营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与 CBM的平分线 BF相交于点F.（1）如图1,当点E在AB边得中点位置时：通过测量DE、EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是 ;连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想；（2）如图2,当点E在AB边上的任意位置时， 猜想此时DE与

4、EF有怎样的数量关系， 并证明你的猜想.5 . （2019山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1,在RtAABC中，AB=AC=2, ABAC =90°,点D为BC的中点，以 CD为一边作正方形 CDEF , 点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形 CDEF绕点C旋转，连接BE, CE, AF ,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，直接写出线段AF的长.6 . (2019山东省中考模拟)如图1,在Rt ABC中， A 90 , AB

5、AC ,点D、E分别在边 AB、AC上，AD AE ,连结DC ,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置，连结 MN、BD、CE ,判断 PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把 ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD 4 , AB 10,请直接写出 PMN面积的最大值.7 .(2018河南省中考模拟)已知：在VABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF/BC, 交BE的延长线于F ,连接CF .1求证：四边形 ADCF是平行四边形;2填空：当A

6、B AC时，四边形ADCF是 形;当 BAC 90o时，四边形ADCF是 形.8 D C8. (2019江苏省中考模拟)如图，矩形ABCD中，AB 6 , BC 8,点E在BC边的延长线上，连接DE , 过点B作DE的垂线，交CD于点M，交AD边的延长线于点 N .(2)在(1)的条件下，求BM的长;(3)设CE x , BN y ,求y关于x的函数解析式，并直接写出 x的取值范围9. (2019河南省中考模拟) 如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GX BC ,垂足为点E,GFA CD,垂足为点F.(1)证明与推断：求证：四边形 CEGF是正方形；AG，一.推断：的值为BE(

7、2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 a角(0°V a< 45°),如图(2)所示，试探究线段 AG与BE之间 的数量关系，并说明理由：(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B, E, F三点在一条直线上时， 如图(3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6 , GH=2 后,则 BC=10. (2018山东省中考模拟)如图 ,在 ABC中，BAC=90° , AB=AC，点E在AC上(且不与点 A, C重合)，在4ABC的外部作 ACED,使CED=90 , DE=CE ,连接AD ,分别以 AB, AD为邻边作平行四边形ABFD

8、，连接AF .(1)请直接写出线段 AF, AE的数量关系 (2)将4CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图,连接AE ,请判断线段 AF, AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图的基础上，将4CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变, 结合图写出证明过程；若变化，请说明理由.11. (2019哈尔滨市双城区第六中学中考模拟)如图，点 M是正方形ABCD的边BC上一点，连接 AM , 点E是线段AM上一点，4CDE的平分线交 AM延长线于点F.如图1,若点E为线段AM的中点,BM ： CM =1： 2, BE =厢,求 AB 的长;(2)如图 2,

9、若 DA = DE ,求证：BF+DF = J2AF .12. (2017湖北省中考模拟)如图 1,在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H(1)求证：HE = HGPE PA (2)如图2,当BE=AB时，过点 A # APADE于点P连接BP,求的值PB(3)在(2)的条件下，若 AD = 2, AADE =30 °,则BP的长为圉113. （2019陕西省中考模拟）（1）问题发现如图1, AACB和DCE均为等边三角形，点填空：那EB的度数为;线段AD、BE之间的数量关系为 .（2）拓展研究如图2, AACB和4DCE均为等

10、腰直角三角形,A、D、E在同一条直线上，连接 BE.ACB = DCE = 90°,点 A、D、E 在同一条直线上， CM为4DCE中DE边上的高，连接BE,请判断AAEB的度数及线段 CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3,在正方形 ABCD中，CD = 2j2,若点P满足PD = 2,且BPD = 90°,请直接写出点 A至ij BP的距离.鼠14. （2019浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B坐标为（4, 6）,点P为线段OA上一动点（与点 O、A不重合），连接CP,过点P作P曰CP交AB于点D,且PE = PC,

11、过点P作PFAOP且PF = PO （点F在第一象限），连结 FD、BE、BF ,设 OP = t.(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示)： ;(2)四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；(3) 4BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出 t；若不能，说明理由.15. (2019江西省中考模拟)某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程:麋作发现在等腰AABC中，AB = AC,分别以AB和AC为腰，向4ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连 接DE,其中F是DE的中点，连接AF,则下列结论正确的是 (填序号即可)1DE ABC>

12、AF=BC: AFBC; 整个图形是轴对称图形;2 数学思考在任意AABC中，分别以AB和AC为腰，向AABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接DE ,其中F是DE的中点，连接 AF ,则AF和BC有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程 类比探索在任意AABC中，仍分别以AB和AC为腰，向AABC的内侧作等腰直角三角形，如图 所示，连接DE , 其中F是DE的中点，连接 AF,试判断AF和BC的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由.图1图2图316 .(2017湖北省中考模拟)如图1,ABCD为正方形，将正方形的边 CB绕点C顺时针旋转到CE,记BCE=a, 连接BE, DE,过点C作C

13、F ADE于F ,交直线BE于H .(1)当 a =60时，如图 1 ,贝UBHC=;(2)当45° V a< 90°,如图2,线段BH、EH、CH之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式： (不需证明)；(3)当90。 “V 180。，其它条件不变(如图 3), (2)中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不 成立，写出你认为成立的结论，并简要证明.17 . (2018山东省中考模拟)矩形 ABCD中，DE平分 ADC交BC边于点E, P为DE上的一点(PEVPD), PM PD , PM 交 AD 边于点 M.(1)若点F是边CD上一点，满足

14、PFAPN ,且点N位于AD边上，如图1所示.求证： APN=PF; DF+DN=DP;(2)如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PFAPN ,此时点N位于DA边的延长线上,如图2所示；试问DF, DN, DP有怎样的数量关系，并加以证明.18. (2019云南省中考模拟)在矩形ABCD中，AB=12 , P是边AB上一点，把4PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G,过点B作B8 CG ,垂足为 E且在AD上,BE交PC于点F(1)如图1,若点E是AD的中点，求证： 4AE*ADEC ;(2)如图2, 鹏证：BP=BF ；当 AD=25 ,且 AEVDE 时，求 cos PCB

15、的值;当BP=9时，求BE?EF的值.19. (2018广东省中考模拟)已知：如图1在Rt ABC中，C=90°, AC=8cm , BC=6cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动，速度为lcm/s;连接PQ,设运动的时间为t秒(0vtv5),解答下列问题:(1)当为t何值时，P8BC ;(2)设4AQP的面积为y (cm2),求y关于t的函数关系式，并求出 y的最大值；(3)如图2,连接PC,并把APQC沿QC翻折，得到四边形 PQPC,是否存在某时刻t,使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时 t的值；若

16、不存在，请说明理由.20. (2018江苏省中考模拟)如图 1,在矩形 ABCD中，AD =3, DC = 4,动点P在线段DC上以每秒1个单位的速度从点 D向点C运动，过点P作P8 AC交AD于Q,将APDQ沿PQ翻折得到4PQE.设点P的运动时间为t (s).(1)当点E落在边AB上时，t的值为;(2)设4PQE与4ADC重叠部分的面积为 s,求s与t的函数关系式；(3)如图2,以PE为直径作/0 .当40与AC边相切时，求 CP的长.21. （2019山东省中考模拟） 4ABC中，BAC=90° , AB=AC，点D为直线BC上一动点（点 D不与B,C重合），以AD为边在AD右

17、侧作正方形 ADEF ,连接CF ,（1）观察猜想如图1,当点D在线段BC上时， BC与CF的位置关系为： . BC, CD, CF之间的数量关系为： ;（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论 , 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.（3）拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G ,连接GE ,若已知AB=2 J2 , CD=:BC ,4请求出GE的长.22. （2019四川省成都市簇锦中学中考模拟）如图，四边形 ABCD的顶点在 心 上，BD是4O的直径，延长CD、BA交于点E,连接 AC

18、、BD交于点F ,作AH ACE,垂足为点 H ,已知 AADE = AACB .(1)求证：AH是4O的切线；(2)若 OB = 4, AC = 6,求 sin MCB 的值;A(0, 4), B(3, 4), P 为线段 OA 上一动点,23. （2019浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中,过O, P, B三点的圆交 x轴正半轴于点 C,连结 AB, PC, BC,设OP=m.(1)求证：当 P与A重合时，四边形 POCB是矩形.(2)连结 PB,求tan ABPC 的值.(3)记该圆的圆心为 M,连结 OM, BM,当四边形 POMB中有一组对边平行时，求所有满足 条件的m的值.(

19、4)作点O关于PC的对称点O ,在点P的整个运动过程中，当点 O落在 “PB的内部(含边界) 时，请写出 m的取值范围.24. (2017内蒙古自治区中考模拟) 如图，AB为()直径，C、D为()上不同于A、B的两点， ABD=2A BAC , 连接CD .过点C作CM DB ,垂足为 E,直线AB与CE相交于F点.(1)求证：CF为的切线；.3(2)当 BF=5, sinF 时，求 BD 的长.525. (2019广西壮族自治区中考模拟)如图， 4ABC内接于(), CBGHA , CD为直径，OC与AB相交于点E,过点E作EFA BC ,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点 P,连接BD

20、.(1)求证：PG与()相切；(2)若正=5 ,求正的值；AC 8 OC(3)在(2)的条件下，若 ()的半径为8, PD=OD ,求OE的长.26. (2019内蒙古自治区中考模拟)在RtABC中，BC=9 , CA=12 , ABC的平分线 BD交AC与点D,DS DB交AB于点E.(1)设()是4BDE的外接圆，求证： AC是()的切线;(2)设()交BC于点F,连结EF,求正的值.AC2527. (2018河南省中考模拟)(1)问题：如图1,在四边形ABCD中，点P为AB上一点， DPC必A=4B=90°.求证：AD- BC=AP BP .(2)探究：如图2,在四边形 ABC

21、D中，点P为AB上一点，当 ADPCAA=AB=0时，上述结论是否依然成立.说明理由.(3)应用：请利用(1) (2)获得的经验解决问题：如图3,在4ABD中，AB=6 , AD=BD=5 .点P以每秒1个单位长度的速度，由点 A出发，沿边 AB向点B运动，且满足 ADPC-A .设点P的运动时间为t (秒)，当DC的长与 ABD底边上的高相等时，求 t 的值.28. (2019福建省中考模拟)如图，OA是4O的半径，点 E为圆内一点，且 OAOE, AB是。的切线,EB交4O于点F, BQAAF于点Q.如图1 ,求证：OE4AB ;(2)如图2,若AB=AO,求AFBQ的值;如图3,连接OF

22、, AEOF的平分线交射线 AF于点P,若OA = 2, cosaAB= 4 ,求OP的长.29. (2019江苏省中考模拟)平面上，Rt ABC与直彳至为CE的半圆。如图1摆放，B = 90°, AC = 2CE点D随半圆O旋转且4ECD=m, BC = n,半圆。交BC边于点D,将半圆。绕点C按逆时针方向旋转,始终等于 ACB,旋转角记为 a (0° < a < 180(1)当 a= 0°时，连接 DE,则CDE=°, CD =; BD(2)试判断：旋转过程中 的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明;AE(3)若 m=10, n = 8

23、,当a= 4ACB时，求线段 BD的长；(4)若m = 6, n = 4j2,当半圆。旋转至与4ABC的边相切时，直接写出线段 BD的长.30. (2018广东省中考模拟)如图， 4ABC是()的内接三角形，点 D在？C上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDCE为菱形.(1)求证：AC=CE ;(2)求证：BC2-AC2=AB?AC ;(3)已知()的半径为3.AB 5右二一，求BC的长；AC 3AB 当为何值时，AB?AC的值最大?AC2020中考数学几何压轴大题专练（30道）参考答案1 . （2019安徽省中考模拟）已知如图1,在4ABC中，ACB = 90°, BC

24、= AC ,交BC于E,点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2,将4BDE绕点B逆时针旋转 a （0°< a< 90°）,其它条件不变，线段 否变化，写出你的结论并证明；D 在 AB 上，DEA ABFD与线段FC的关系是（3）将4BDE绕点B逆时针旋转一周，如果 BC = 4, BE=2，2,直接写出线段BF的范围.【答案】（1）结论：FD=FC, DF ±CF .理由见解析；（2）结论不变.理由见解析;【解析】解：（1）结论：FD=FC, DF ±CF .理由：如图1中，1ADE = ±ACE=9

25、0°,AF= FE,±DF =AF = EF =CF, ±±FAD= ±FDA, 1FAC= ±FCA,± J_DFE = ±FDA + ±FAD = 2 1FAD , ±EFC = XFAC+ ±FCA = 2 1FAC,±CA=CB, _bACB = 90°,±±BAC = 45°,±±DFC = ±EFD + ±EFC = 2 (XFAD+XFAC) =90°,±DF =

26、 FC, DFXFC.(2)结论不变.理由：如图2中，延长AC到M使得CM = CA,延长ED到N,使得DN = DE,连接BN、BM . EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O.图二XBCAM, AC = CM,±BA= BM,同法 BE=BN,1ABM= ±EBN = 90°,±±NBA= ±EBM ,XABNXMBE ,LAN = EM, 11BAN= ±BME ,，AF = FE, AC=CM,±CF= 1EM , FCXEM,同法 FD = 1 AN, FDUN, 22±FD = FC,&#

27、177;±BME + ±BOM= 90 °, 1BOM = ±AOH ,±±BAN + ±AOH = 90°,，LAHO = 90°,±AN ±MH , FDXFC.（3）金 BF 3短当点E落在AB上时，BF取得最大值，如图 5 所示，1BC 4, AC BC, ACB 90 , 1AB 4V2 ,，F 是 AE 的中点，±EF=1 AB BE , 2又 BE 2、, 2,±BF BE EF BE 1 AB BE 272 - 472 242 3亚, 22即BF的最

28、大值为3J2 .当点E落在AB延长线上时，BF取得长最小值，如图 6 所示，XBC 4, AC BC, ACB 90 , ±AB 4v2，1 A，F 是 AE 的中点，±AF =- AB BE ,2又BE 2应，1_ 1；_±BF AB AF AB AB BE 4 短4 垃 2 盘 垃, 22即BF的最小值为22 .J PC s P图I图2图3图6综上所述，2 BF 3 2【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题， 属于中考压轴题

29、.2. （2019山东省中考模拟）正方形 ABCD中，E是CD边上一点，（1）将VADE绕点A按顺时针方向旋转， 使AD、AB重合，得到VABF ,如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是, AFB .（2）如图2,正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且 PAQ 45，试通过旋转的方式说明：DQ BP PQ2-22BM2 DN2 MN2.（3）在（2）题中，连接BD分别交 x|2 x 4 于M、N ,你还能用旋转的思想说明【答案】（1） BF, AED； （2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）、±± ADE绕点A按顺时针方向旋转，使 AD、AB重合

30、，得到± ABF,± DE=BF, 1 AFB=± AED ,(2)、将，ADQ绕点A按顺时针方向旋转 90 °,则AD与AB重合，得到LABE,如图2,则上 D=L ABE=90 , 即点 E、B、P共线，±EAQ=L BAD=90 , AE=AQ , BE=DQ , ± ± PAQ=45 ,± ± PAE=45°± ± PAQ=± PAE± ± APEX ± APQ SAS),± PE=PQ而 PE=PB+BE=PB+DQ

31、 ,±DQ+BP=PQ;(3)、，四边形 ABCD 为正方形，± ± ABD=± ADB=45° ,如图，将±ADN绕点A按顺时针方向旋转 90°,则AD与AB重合，得到XABK,贝UABKfLADN=45 , BK=DN , AK=AN , 与(2) 一样可证明 1AMN_±AMK ,得到 MN=MK , ±± MBA+L KBA=45° +45 ° =90°BMK为直角三角形，± BK2+BM 2=MK 2, ±BM2+DN2=MN 2.考点

32、：（1）、旋转的性质；（2）、全等三角形的判定与性质；（3）、勾股定理；（4）、正方形的性质.3. （2019内蒙古自治区中考模拟）如图 ，必BC内接于 AOAB是AO的直径，CD平分 "CB交4O于点D,交AB于点F,弦AEACD于点H,连接CE、OH.（1）延长AB到圆外一点P,连接PC若PC2=PB PA,求证：PC是AO的切线； （2）求证：CF AE=AC BC;若工 =3, ZO的半径是 而，求tan "EC和OH的长.BF 2【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） tan必EC= 3 , OH = 1.2【解析】(1)证明：: PC2=PB FA, /PC

33、PB =PAPC.BPC= ±APC,-., 1PBC ± _LPCA, ，BAC= LPCB,连接OC,如图所示DAO=OC,-.±ACO=，BACFCO= J_PCB.AB 是上O 的直径，LACB=90° ,.BCO+LACO=90° ,.BCO+ ±PCB= 90 °PCO=90°. OC是半径,.- PC是1O的切线.(2)证明：.AB是，O 的直径,UCB=90 °. CD平分 DCB,DCD= ±FCB= 45°. AHCD ,/±CAE= 45 = ±

34、;FCB.在BCE与±CFB中，1CAE= ±FCB,必EC= ±FBC,BCE ± ±3FB ,-.空=些, CF BC CF AE=AC BC. CD平分 LACB,FM=FN.S ±ACF= 1 AC FM= 1 AF CQ,22S1BCF= 1BC FN= ”F CQ, 221 八1 “g -AC FM CQ AFSVACF _ 2_ 2SVBCF 1BC FN -CQ BF 22AF ACBF BCACAB是，O 的直径，. LACB=90 且 tan JABC=BCAF 3=且，aec= BBC,BF 2AC 3. tan

35、 JAEC= tan _ABC=BC 2设 AC=3k,BC=2k,.在 Rt 1ACB 中，AB2=AC2+bc2 且 AB=2 后, . (3k)2+ (2k)2= (2 后)2, . k=2(k=-2 舍去),AC=6,BC= 4,.FCB=45° ,CHK=90° , .±K= 45 = ±CAE, HA=HC=HK ,CK=CA= 6. CB=4, / BK=6-4=2, OA=OB,HA=HK , OH是 LABK 的中位线,1 OH=1 BK= 1.2【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性

36、质、三角形中位线定理等知识的综合应用.4.（2017营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与 CBM的平分线BF相交于点F.图I图2（1）如图1,当点E在AB边得中点位置时：通过测量 DE、EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是 ;连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ，请证明你的猜想;(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时， 猜想此时DE与EF有怎样的数量关系， 并证明你的猜想.【答案】（1） 1DE=EF； ±

37、;NE=BF；理由见解析；（2） DE=EF,理由见解析. 【解析】解：（1） ±DE=EF； ±NE=BF；理由如下：，四边形ABCD为正方形，± AD=AB , 1 DAB=± ABC=90° ,1N, E分别为AD, AB中点，± AN=DN= Lad, AE=EB= 1 AB , 22± DN=BE, AN=AE ,±± DEF=90°,±± AED+-X FEB=90°,X±±ADE< AED=90 ,±± F

38、EB=± ADE又，AN=AE ,±± ANE=± AEN,又口 A=90,±± ANE=45°,±± DNE=180 - 1 ANE=135° ,又，CBM=9 0 , BF 平分，CBM,±± CBF=45°, ± EBF=135°,ADE FEB在，DNE 和，EBF中 DN EB , DNE EBF±± DNEL± EBF（ASA）, ± DE=EF, NE=BF .（2） DE=EF ,理由如下：

39、在DA边上截取 DN=EB ,连接 NE,，四边形ABCD是正方形，DN=EB ,±AN=AE,±± AEN为等腰直角三角形，±± ANE=45°,±± DNE=180)°- 45° =135,°，BF平分，CBM, AN=AE ,±± EBF=90° +45° =1,35°±± DNE=! EBF,±± NDE-+X DEA=90°, ± BEF+X DEA=90°

40、 ,±± NDE=1 BEF,ADE FEB在，DNE 和，EBF 中 DN EB ,DNE EBF±± DNEL± EBF(ASA ),± DE=EF.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明LDNE与，EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键.5. （2019山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图1,在RtAABC中，AB =AC=2, ABAC =90°,点D为BC的中点，以 CD为一边作正方形 CDEF , 点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 （2）（

41、拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形 CDEF绕点C旋转，连接BE, CE, AF ,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，直接写出线段 AF的长.【解析】解：(1)在 RtXABC 中，AB=AC=2 ,根据勾股定理得，BC=、,2ab=2 "2，点D为BC的中点，±AD=1bC= J2, 2、，四边形CDEF是正方形，± AF=EF=AD=四,± BE=AB=2 , ± BE=72 AF ,故答案为BE=近AF ；(2)无变化;如图 2,在 RtXA

42、BC 中，AB=AC=2 ,CA± ± ABC=± ACB=45 , ± sin ± ABCCB在正方形 CDEF 中，±FEC=1 ±FED=45°, 2在 RtCEF 中，sin ±FEC=CF 巫 CE 2 ',CF CA工一 一，CE CB± ± FCE=± ACB=45°, ± ± FCE ± ACE=± ACB - 1 ACE, ± ± FCA=± ECBBE CB 一 一口

43、ACF口 BCE， =近,±BE= V2 AF,AF CA，线段BE与AF的数量关系无变化；(3)当点E在线段AF上时，如图2,由（1）知，CF=EF=CD= . 2，在 RtBCF 中，CF=V2，BC=2T2,根据勾股定理得，BF=遍，1 BE=BF - EF=娓-霹,由（2）知，BE= 2z AF , ± AF= 73 - 1,当点E在线段BF的延长线上时，如图 3,CA在 RtABC 中，AB=AC=2 , ±±ABC=LACB=45 , ±sin ±ABC=caCBCACB在正方形 CDEF 中，±FEC=1 &#

44、177;FED=45°, 2在 RtCEF 中，sin ±FEC=CF 显XCFCE 2 ' CE± ± FCE=± ACB=45°, ± ± FCB+X ACB=± FCB+X FCE, ± ± FCA=± ECBBE CB -_口 ACF 口 BCE， =五,±BE=/2 AF, AF CA '由（1）知，CF=EF=CD=、工,在 RtBCF 中，CF=, BC=2 无，根据勾股定理得，BF=、. 6 , J_ BE=BF+EF=、, 6 +、

45、, 2 ,由（2）知，BE=AF, ±AF=73+1 -即：当正方形 CDEF旋转到B , E, F三点共线时候，线段 AF的长为J3 - 1或J3 +1 .6. （2019山东省中考模拟）如图1,在Rt ABC中， A 90 , AB AC ,点D、E分别在边 AB、AC 上，AD AE ,连结DC ,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ；(2)探究证明把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图 2的位置，连结 MN、BD、CE ,判断 PMN的形 状，并说明理由；(3)拓展延伸把 ADE绕点A在平面内自由旋转，若 AD

46、 4 , AB 10,请直接写出 PMN面积的最 大值.【答案】(1) PM PN , PM PN ; PMN是等腰直角三角形，理由见解析；(3) PMN面积的49最大值为竺. 2 【解析】解：(1)，点P、N是CD、BC的中点1 、 XPN/BD , PN -BD 2，点P、M是CD、DE的中点一 1± PM /CE , PM -CE2± AB AC, AD AE±BD CE±PM PNXPN/BD± DPNADC± PM /CE± DPMDCA± BAC 90± ADC ACD 90± MP

47、N DPM DPN DCA ADC 90±PM PN（2）结论：VPMN是等腰直角三角形.证明：由旋转知，BAD CAE，AB AC, AD AEXAABDA ACE SAS ± ABD ACE , BD CE 11，由三角形中位线的性质可知，PN - BD , PM -CE22±PM PNXVPMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM /CE、 DPMDCE同（1）的方法得， PNBD、 PNCDBC± DPNDCB PNC DCB DBC29± MPN DPM DPNDCE DCB DBCBCE DBCACB ACE DBCACB ABD

48、DBCACB ABC ± BAC 90± ACB ABC 90± MPN 90XVPMN是等腰直角三角形；（3），由（2）得，VPMN是等腰直角三角形,AN，连接AM, AN,如图:±MN最大时，VPMN的面积最大 ，DEBC且DE在顶点A上面时，MN最大值 AM，在VADE 中，AD AE 4, DAE 90± AM 22，在 VABC 中，AB AC 10, BAC 90AN 5.2，MN 最大值 AM AN=7j2121121- - 2 49，SVPMN 最大值2 PM 2 - MN -7V2-2故答案是：（1） PM PN, PM PN

49、 ; （2） VPMN是等腰直角三角形，理由见解析；（3） VPMN面积一 49的最大值为竺2【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强.7 .（2018河南省中考模拟）已知：在VABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF/BC, 交BE的延长线于F ,连接CF .1求证：四边形 ADCF是平行四边形;2填空:当AB AC时，四边形ADCF是 形;当 BAC 90o时，四边形ADCF是 形.【答案】（1）见解析；（2），矩；，菱.【解析】证明：QAF/BC,在VAEF和VDEB中AFE

50、 EBD.AFE DBE Q FEA BED , AE DEVAEF XVDEB AAS .AF BD.AF DC .又Q AF/BC ,四边形ADCF为平行四边形；2当AB AC时，四边形ADCF是矩形；当 BAC 90o时，四边形ADCF是菱形.故答案为矩，菱.【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出VAEF XVDEB是解题关键.8 . （2019江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB 6 , BC 8,点E在BC边的延长线上，连接DE ,（3）设CE x , BN y ,求y关于x的函数解析式，并直接写出 x的取值范围35【答案】（1）见解析；（2）

51、BM 8痴；（3） y M36 , 0 x -. 3y x2【解析】解：（1）证明：±BD=BE, BML D吐 ± DBN=L EBN2B，四边形ABCD是矩形，AD± BC± ± DNB= ± EBN± ! DBN=1 DNB± BD=DN又，BD=BaBE=DN 又，ADLBd 四边形 DBEN是平行四边形又，BD=BE ±平行四边形DBEN是菱形(2)由(1)可得，BE=BD= 5yAAD2 =10，CE=BE-BC=2UE Rt ± DCE中，DE= JCD2 CE2 =2 加由题意易

52、得 ±MBC=EDC ,又，DCE=BCD=90±± BCM± DCE,BC BM 8±1-DC DE 6BM=»m=8 而2.103(3)由题意易得 LBNAhEDC , ±A=± DCE=90 ±± NABU DCE, BN ABDE CE,一y 6.x2 36 x± y=6x一36 ,其中 0<x< 9 x2【点睛】此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用9 . （2019河南省中考模拟） 如图（1）,已知点G在正方形 ABCD的对角线AC上，GEA BC ,垂足为

53、点巳GF CD,垂足为点F.（1）证明与推断：求证：四边形 CEGF是正方形;AG，一.推断：的值为BE (2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 a角(0°V a< 45°),如图(2)所示，试探究线段 AG与BE之间的数量关系，并说明理由：(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B, E, F三点在一条直线上时， 如图(3)所示，延长CG交AD于点H.若AG=6 , GH=2 板,则 BC=【答案】(1)，四边形CEGF是正方形；L& ; (2)线段AG与BE之间的数量关系为 AG= J2 BE ； (3)10 .5【解析】(1)，小

54、边形ABCD是正方形，± ± BCD=90°, ± BCA=45° ,±GE1 BC GF± CD,±± CEG=L CFG=1 ECF=90°,，四边形 CEGF 是矩形，±CGE=L ECG=45 ,± EG=EC,，四边形CEGF是正方形；，由，知四边形CEGF是正方形，± ± CEG=L B=90: 1 ECG=45,CG±V2 , GE! AB ,CEBECGCE故答案为.2 ；(2)连接CG,ADgC由旋转性质知 ±BCE

55、ACG=,在 RtCEG 和 RtXCBA 中，CE _ 72 CB _ 亚cG -V cA""2" '，”暨 5,CE CB± ± ACGL ± BCEG CA ”，BE CB，线段AG与BE之间的数量关系为 AG=近BE；(3)，CEF=45,点 B、E、F 三点共线,±± BEC=135°,± ± ACGL ± BCE±± AGC4 BEC=135°,±± AGHH CAH=45° ,±

56、77; CHAUAHG,± ± AHGL ± CHA,AG GHAH±,AC AHCH设 BC=CD=AD=a ,贝U AC= & a,则由AGACGH /日 62.2得 LAH , 2a AH± AH= - a3则 DH=AD AH= a CH= Jcd2 dh 2 =20 a332 a上 AG AH63X由得 l! ,AC CH、.2a.10a3解得：a=3 J5 ,即 BC=3 J5 ,故答案为3,5 .【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与

57、性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键10. （2018山东省中考模拟）如图 ,在 ABC中，BAC=90° , AB=AC，点E在AC上（且不与点 A, C 重合），在4ABC的外部作 ACED,使CED=90 , DE=CE ,连接AD ,分别以 AB, AD为邻边作平行四边 形ABFD ,连接AF .（1）请直接写出线段 AF, AE的数量关系 ;（2）将4CED绕点C逆时针旋转，当点 E在线段BC上时，如图,连接AE ,请判断线段 AF , AE的数 量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将4CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变， 结

58、合图写出证明过程；若变化，请说明理由.【答案】（1）AF= J2AE； （2） AF= J2AE,证明详见解析；（3）结论不变，AF= J2 AE ,理由详见解析解：(1)如图，中，结论：af=j，ae.理由：，四边形ABFD是平行四边形，±AB=DF,± AB=AC ,±AC=DF,± DE=EC,±AE=EF,±± DEC=1 AEF=90°,AEF是等腰直角三角形，±AF=>/2 AE .(2)如图，中，结论：AF=近AE .理由：连接EF, DF交BC于K.，四边形ABFD是平行四边形，&#

59、177; AB± DF,± ± DKE=± ABC=45° ,± EKF=180 - 1DKE=135°,±± ADE=180 - 1 EDC=180° - 45° =135±± EKF=± ADE±± DKC=1C ,± DK=DC,± DF=AB=AC ,± KF=AD ,在1 EKF和± EDA中，EK DK EKF ADE, KF AD±± EKF±±

60、; EDA± EF=EA, 1 KEF=± AED,± ± FEA=± BED=90°,±± AEF是等腰直角三角形, ，AF=在AE .(3)如图，中，结论不变，AF=展AE.理由：连接EF,延长FD交AC于K.±± EDF=180- 1 KDC- ± EDC=135° - 1 KDC,± ACE= (90 ° - ± KDC) + ± DCE=135° - 1 KDC,±± EDF=± ACE± DF=AB , AB=AC ,± DF=AC在1 E