2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上第一次联考数学(解析版)

1、第1页共6页20202021学年湖北省部分重点中学(那阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学)高二上学期第一次联考数学试题一、单选题1 .设集合 A = (x,y)l2x+y = 3, 8 = (x,y) I y =/,则 Ap|8=()A. (1,1)B. (-3,9) C. (1,1),(-3,9)D. 0【答案】c【解析】由题意可知实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】集合A = (x,y)l2x +)，= 3, B = (xiy)y = x2x = -3y = 9y = x£x = 1由解得： ，或<2x + y = 3 y = 1所以 4n8= (1,1),

2、(3,9)故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2 .已知直线/在x轴上的截距是-5,在),轴上的截距是6,则直线/的方程是()A. 6x-5y+ 30 = 0B, 6x+5y-30 = 0C. 6x-5y-3O = OD. 6x + 5y + 30 = 0【答案】A【解析】由直线的截距式方程直接得出答案.【详解】直线/在x轴上的截距是-5,在)'轴上的截距是6所以直线/的方程为+2=1,即6X-5)，+ 3。=。 5 6故选：A【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题.3 .若关于x的不等式-r+ 4x > 2mx的解集为x 10 < x < 2,

3、则实数?的值为()A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】根据题意得x = 0和x = 2是方程/+4x = 2吠的实数根，再代入求解即可 得答案.【详解】解：根据题意得x = 0和x = 2是方程+4.v = 2吠的实数根，所以4+8 = 4z，解得7 = 1.故选：B.【点睛】本题考查根据二次不等式解集求参数，是基础题.4 .设圆M的圆心为(3,5),且与直线X 7y + 2 = o相切，则圆M的方程为()A. (x + 3+(y-5=32B. (x + 3)2+(y + 5)2 =32C. + y2 -6x + 10y + 2 = 0D. x2 + y2 - 6x +1 O

4、y - 2 = 0【答案】C【解析】由已知条件求出半径，即可得出答案.【详解】.直线与圆相切，故圆的半径为，"：>7 + 2|=与 =4',./=32， "+>5V2所以圆加的方程为(工一3+()，+ 5)2=32,即/+、2-6_¥ + 10)，+ 2 = 0.故选:C【点睛】本题结合直线与圆的位置关系，考查圆的方程，属于容易题.5.在口43C。中，点E、尸分别是边的中点，座、8户分别与AC交于R、 了两点，Ef = xAB + yAl5(xyyR)t 则x + >=()A. 1B. iC, 1D.26336【答案】D【解析】设赤=%*

5、=22通+ %通，根据瓦凡3共线，解得义，同理设cf = jLiCA = 2pCF + CD,根据解得从，进而得到4了 = 然后用而.而表示七丁，再根据方=入而+以而求解.【详解】如图所示:AR = AAC = 2AAE + AAB因为瓦凡8共线，所以34 = 1,解得3设守=pCA = 2/CF + jliCD ,因为尸1,8, 所以3 = 1,解得=!, 2 所以AT=AC3. . 9 . 2 所以et=at-ae=：ac-ae=£ab 又七丁 = xAB + yAD ,21所以x =工36所以x+y = ?, 6故选：D【点睛】 本题主要考查平而向量的线性运算，共线向量定理和基

6、本定理，还考查了运算求解的能 力，属于中档题.6.设。为平面，。，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若R/a, blla ,则B.若_La, a±b» 则/MaC.若a_La, a!lb.则_LaD.若。与/?相交，且。夕，贝帅。【答案】C【解析】A.利用空间两直线的位置关系判断：B.利用空间直线与平面的位置关系判断:C.利用线面垂直的性质定理判断：D.利用直线与平面的位置关系判断.【详解】A.若aa, blla,则&力平行，相交或异面，故错误：8.若。_1夕，£_lB，则与。平行或在平面内，故错误:C.若a_La, a!1b>则由线而垂直

7、的性质定理知，正确：D.若。与相交，且。，则与。平行或相交，故错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间直线，平面间的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7.已知圆C：F + /=4上恰有三个点到直线/：）, = %+的距离等于,则实数人的取值是（）A.B. 2, 一立C. 5/2 9 -2 D. 2 9 2【答案】A【解析】由己知条件得圆心0（00）到直线/:尸X+%的距离4=1,由此能求出结果.【详解】 解:?圆 O：.F+y2=4,直线 l：y=x+b.圆。上恰有三个点到直线/的距离等于1,，圆心0（0.0）到直线l:y=x+b的距离d=l.,飞一解得:=虚或人=一忘故选:A.【点

8、睛】本题考查直线与圆的的位置关系，求参数，属于基础题.8 .已知。</?<c且a+/?+c = 0,则下列不等式恒成立的是（）A. a2 <b2 < c2 B. ab1 < cb2 C. ac< beD. ab < ac【答案】C【解析】。+人+。= 0且。<<c, a<0,c>0.:.ac < be.选c.9 .在长方体ABC。-4与GA中，已知底面ABC。为正方形，尸为AA的中点， AD = 2, A4=J5,点。为正方形A3CD所在平面内的一个动点，且满足 QC = y/2QP .则线段BQ的长度的最大值是（）A.

9、2B. 4C. 6D.前三个答案都不对【答案】C【解析】先以。点为坐标原点，分别以OA，DC,。所在方向为x轴，3'轴，z轴 正方向，建立空间直角坐标系，由题意得到。9,2,0）, P（l,0，V3）, 8（2,2,0）,设 Q（、y,o）,由qc = "。，得到（x 2）2+G，+ 2f=4,再由圆上的点与定点距离 的问题，即可求出结果.【详解】以。点为坐标原点，分别以OA, DC,所在方向为1轴，轴，z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为在长方体A8c。一 AeGA中，己知底面48CQ为正方形，P为4。的中点,AD = 2，A4, = 5/3 »所以C

10、(0,2,0),夕(1,0,0), 8(2,2,0),因为点。为正方形A8CD所在平面内的一个动点，设 Q（x,yo）,因为。=皿，所以 J/+（y 2）2 = &并-1）2 + 3 ,整理得：a-2）2+ （y +2）2 =4即点。可看作圆（x - 2）2 + （y + 2）2 = 4上的点，又 BQ = V（A-2）2+（y-2）2 ,所以80表示圆（x 2）2 + （y+ 2>=4上的点与定点2）之间的距离，因此忸QL ="仁2> + （2-2> + r = 4 + 2 = 6 （其中，表示圆（1一2）2 + （了 + 2）2=4的半径.）故选：C.【

11、点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，涉及圆上的点到定点距离的最值，灵活运用转化 与化归的思想即可，属于常考题型.10.过aABC所在平面a外一点P,作PO_L。，垂足为。，连接24, PB, PC, 则下列结论错误的是（）A,若PA = PB = PC, ZC = 90°,则点。是A8的中点B.若PA = PB = PC,则点。是AA8C的外心C.若PA1PB, PB上PC, PClPAf则点。是A43C的垂心D.若PA = BC = 2, PB = AC = 3f尸C = A8 = 4,则四面体018c外接球的表面 积为297【答案】D【解析】应用直线与平面垂直的判定和性质，平

12、面几何中三角形的重心、垂心和外心以 及外接球半径的的知识，即可解决.【详解】解：过三角形A5C所在平面外的一点P,作尸O_L平而a,垂足为0,连出、PB、PC, 对于A、B选项，若R=PB=PC,连接04, OB, 0C,则04=03=。，则。为三角形 ABC的外心；又NC=90。，则。为AB的中点.故A、8正确.对于。选项，若以，P8, PBLPC, PCLPA,则阴L平而P8C,从而B4_L8C,又尸。_1_平面ABC,则尸。_LBC,所以8C_L平而出0,从而8C_LA。，同理ABJ_C。，ACA.B0,故。为三角形的垂心，故C正确.对于D选项，由尸A = 8C = 2, PB = AC

13、 = 3, PC = AB = 4,知四面体B48c对 棱相等，故如图，要求四面体外接球的表面积，即求以该四而体的棱作为而对角 线的长方体的外接球的表而积，设长方体的棱长为“/，c ,则=(2+c2) +(6/2+Z?2) + (2+c2) = 2(6/2+Z?2+c2) = 29,所以长方体的体对角线为和=故 r = L y/ci2 +b2 +c2 2等，故D错.故选：D.【点睛】：.四而体PABC外接球的表面积为S = 4r2 = 4笈本题主要考查空间的线而位置关系-垂直，以及外接球表面枳的求法，解题时要结合平面 几何的基础知识，同时考查逻辑推理能力，是一道中档题.11 .已知K满足3&q

14、uot;+3戈=4,超满足3i=3x-5,则再+=（）A. 2B. 3c. 4D,前三个答案都不对【答案】B【解析】把芭满足3、+3x = 4, 超满足33T=3大一5,转化为演是函数y = 3*+3x和 ），=4的图象的交点的横坐标，超是函数丁 = 33-*+3（3-%）和y = 4的图象的交点的横 坐标，结合函数的对称性，即可求解.【详解】由题意，引 满足 3' + 3x = 4 , x?满足 3，-' = 3x 5»即再满足 3、+ 3x = 4，%2 满足 3J + 3(3 - x) = 4,即占是函数y = 3、+3%和y = 4的图象的交点的横坐标，.G是

15、函数'=33-1 + 3(3 - x)和y = 4的图象的交点的横坐标，3设函数y = 3、+ 3x上任意一点的坐标为P(%，)关于x =的对称点为。,田， 2x +x = 32=3 x,可得，即，代入函数y = 3、+3x,可得丁 = 33一工+ 3(3-幻，bi = y = y'3 即函数y = 3V+ 3x与y = 33T + 3(3一©的图象关于x =-轴对称，所以_L = 3,所以m+x, =3.22-故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性的判定及应用，其中解答中得出函数)，=3、+ 3x与3)，=33-、+3(3-x)的图象关于x = j轴对称是

16、解答的关键，着重考查推理与运算能力, 属于中档试题.二、填空题cos(a + /7),贝Jcos/7 =1412 .已知。，夕都是锐角，cosa = l【答案】y 【解析】根据cosZ? = cos(c + Z7) a,结合已知条件即可求解.【详解】 因为a,/为锐角，所以，Ova + /?vn, sin a = Jl -cos' a =» sin (a + 夕)=- cos2 (a + /7) =,: cos p = cos (2 + /7)-a = cos(<z + /7)cos a+ sin(a + /3)sina 故答案为：1 5646_1 A 71472【点睛

17、】本题主要考查“给值求值”的解法应用，同角三角函数基本关系的应用，以及两角差的 正弦公式的应用，属于基础题.13 .在AA3C中，8c = 5&，AB = 10, A = -t 则3=.6【答案】编【解析】由正弦定理一f二二，求得sinC = Y2,得出。=。或。=牛，进而 sin A sinC244求得4的大小，得到答案.【详解】a c. 当 lOxsin 后由正弦定理=，可得8n_csinA_6_，2smA smC SinC- 近 F因为cw（o,/r）,可得c =工或。=3, 44当。=工时，B = 7r-A-C = 7r- = , 46 4 126412当c3时,71 I、7

18、乃 故答案为：sk .【点睛】 本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理，求得角。的大小是解 答的关键，着重考查推理与运算能力.14.已知直线/的倾斜角等于直线3x-4y+ 4 = 0的倾斜角的一半，且经过点(2,-3),则直线/的方程为.【答案】x - 3y ll=。【解析】先求出直线3工-4)，+ 4 =。的斜率，即可得倾斜角，从而求出直线/的倾斜角和斜率，再结合点(2,-3),即可得直线/的方程【详解】设直线3x - 4y + 4 = 0的倾斜角为a ,则 tan a =一, 4因为直线/的倾斜角等于直线3x 4y+ 4 = 0的倾斜角的一半，所以直线/的倾斜角为二，2所

19、以直线/的斜率为tan1,22 tan3由二倍角公式可得tana =二=二，即3tan2 g+ 8tang-3 = 0 ,1-tan2 42223tany-l tany+ 3 = 0,因为ee0,4),所以界呜，即 tan 4 > 0,所以 tan 3 = 1 ,22 3所以直线/的方程为：y + 3 = l(x-2),即 x-3y-ll = 0,故答案为：x-3)， U = 0【点睛】本题主要考查了求直线的方程，涉及求直线的斜率，以及正切的二倍角公式，属于中档题.15 .在一ABC中，ADLBCt 垂足为。，且BD:QC:AO = 2:3:6,贝ijcos ZBAC =【答案】显或述

20、210【解析】由 M:QC:AO = 2:3:6,设 5O = 2/, = 3/,4O = 6/, />0,分垂足为D在线段BC上和线段CB的延长线上两中情况，然后用余弦定理求解即可.【详解】由 BQ:DC:AD = 2:3:6,设 8O = 2/,OC = 3/,4O = 6/, />0,若垂足为。在线段8C上，则 48 =+(6/=2屈，AC = J(3f)2+)2 =3内AB2+AC2-BC2 40 + 45-2572cos .BAC =/尸=2ABAC 2-2V10-3x/52若垂足为。在线段C8的延长线上，BC = t则 AB = JadIBD? =+(0)2 =2河，A

21、C = yj(3f)2 +(a)2 = 3 6cos /BA c =曲 + AC" = "7=逑 2AB AC2-25/10-35/510故答案沏号或叫【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，注意图形的不同情况，属于基础题.三、解答题16 .已知点A(l,2), 8(3,4).（1）求直线A3的倾斜角（2）在x轴上求一点使得以A.M. 3为顶点的三角形的面积为10.【答案】-：”（9,0）或 4【解析】（1）由斜率公式，求得攵= tana = l,进而求得直线A3的倾斜角:（2）由（1）得到直线A3的方程工一丁 + 1=0,设点M。,。），利用点到直线的距离公式，求得点M到

22、直线A3的距离，结合三角性的面积，列出方程，即可求解.【详解】4-2(1)由题意，点A(l,2), 8(3,4),可得女= 1112 = ；j- = 1,又因为ae0,4）,则直线的倾斜角a为:.（2）由（1）可得直线A3的方程为：xy + i = o.设点 W0）,则M到直线A8的距离为d贝巴8x2y/2x 21+ 1|F=10解得f=9或/ = 11，所以M的坐标为M(9,0)或也(11,0).【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，直线方程的求解，以及点到直线的距离公 式的综合应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.17 .在 AA3C 中，角 A, 8, C 的对边分别是。，

23、b, c,且 2 sin 8 = 5c tan C.(1)求上+ ”的值;c(2)记边A3的中点为。，若A8 = 2,求中线CO的长度.【答案】(1)6： (2) VT7.【解析】(1)已知等式中由正弦定理和余弦定理同时化角力边可得；(2)在AACD中由余弦定理表示出AC?,在的中由余弦定理表示出A8一两式相加后可求得中线CO的长.【详解】(1)由题设条件可得：2asin8 = 5c,即a' +b -ccosC-2ab即:a2 +h2=6(2) /+=6。2 = 24,设CQ = x,则在 AAC。中，由余弦定理得，C£>2+AO22C0A£)cosNCD4

24、= AC2,即 x2 +1 - 2x cos cos ZCDA = b2:在 MCD 中，由余弦定理得，CD2+BD?-2CDBDcgs/CDB = BC2,HP x2 +1 - 2acoscos ZCDB =又 cos ZCDA+cos Z.CDB = 0, + 得，2x2+2 = a2+b2,故V=ll，所以CO = JTT.因此，中线co的长度JiT.【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理，正确选择正弦定理和余弦定理进行边角互化是解题的关 键，本题属于中档题.本题中得出中线长公式：aA8c中，BC = a,CA = b,AB = c, 边A8上的中线长为4 =18.设a = (G,2),

25、= (sin2acos2x),函数/(x) = a6 + m ,且已知函数/(x)在区间。目上的最大值为6第1页共6页(1)求实数川的值;(2)求使得/(x)之5成立的x的取值集合.【答案】(1)3：(2) < xk7T<x<- + k(k eZ) .【解析】 由已知化简得"x)=2sin2x + * j + ? + l,根据定义域得到2x +37t 7/r的正弦值的范围，找到最大值可得答案:N；求定义域解不等式即可. 乙【详解】(1) f (x) = V5sin 2x+2cos2 x+m=>/3 sin 2x + cos 2x + m +1=2 sin 1

26、2x + 看 J + ? +17t时，2x + e6K 7%?，-6则sinj2x + 有最大值1,+ 4 > 5 sin| 2x + > ,/(x)的最大值为2 +， + 1=6,得加=3.(2)令f (x)之5,得2sin 2x+ 6有2十 2k/r42x +=工至+ 2A/r(AeZ), 666解得X的取值集合,xk7T<x<- + k(keZ)【点睛】本题考查正弦型三角函数的化简、三角函数的最值、值域对应的定义域等性质，属于基 础题.19.设直线/: 3x+4y 19+/l(2x + y6) =。，(9e7?).(1)求证：直线/恒过定点M,并求出定点M坐标；(

27、2)若直线/在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；(3)设直线/与X轴、),轴的正半轴交于点A , B,求当(点M为(1)中的 定点)取得最小值时直线/的方程.【答案】(1)证明见解析，M坐标。，4)； (2) 4工一,，=。或工+)，-5 = 0：(3)x + y-5 = 0.3x + 4y-19 = 0【解析】(1)根据直线方程，列出方程组-',八，求解，即可得出定点坐标: 2x+y-6 = 0(2)根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解，即可得出结果；(3)设4,0), 8(0力)5> 0力> 0),则直线/的方程可设

28、为< +工=1,根据直线 a b过定点得到：+，= 1,再由411MBl = 4/加，结合基本不等式求解，即可得出结果.【详解】3x + 4v-19 = 0C N八，解得2x+y-6 = 0(1)因为/:3x+4y-19 + /l(2x+y-6) = 0,x = 1则定点M为。，4)； 1)' = 4 (2)因为直线/在两坐标轴上的截距相等，19当直线过原点时，19 62=0,则人=一一，此时直线/的方程为4x y = 0： 6当直线不过原点时，直线方程化为(3 + 2/1"+(4+/1)，一19-6/1 = 0,则3 + 22 = 4+4,解得4=1,所求直线为1+y

29、-5 = 0；综上，直线方程为4xy = 0或文+)，-5 = 0；(3)设A3,0), B(0,b)(a>0,b>0),则直线/的方程可设为)+工=1, a b1 4又直线/过点M(l,4),则+ = 1, a h而MA MB = A/U . M总=(1 一 ”, 4) . (一12 -4)AlH J 1 414Z? 4a 14b 4a= a + 4-17 = (a + 4Z?) + 17 1> 2.1=8a b) a b a b当且仅当。=h = 5时等号成立，此时直线I的方程为x+y-5 = 0.【点睛】本题主要考查求直线过定点问题，考查求直线的方程，属于常考题型.20

30、.如图，已知平面。，0 ,且PC La. PD上0, C,。为垂足.(1)试判断直线/与8的关系，并证明你的结论；(2)设直线/与平面PC。交于点4,点Bd,若二面角a-/一#的大小为120。，且尸。=尸。=A3 = 2,求平面PCB与平面PCA所成的锐二面角的大小.【答案】(1)直线/与CO是垂直关系，证明见解析；(2)【解析】(1)由条件可得，尸C_L/，PDJJ,则，/_L平而尸CD,从而可得答案.(2)由PC_La,所以PC _L AC, PC IBC, N8C4就是所求二面角的平面角，则根据条件可得NCPO = 60 ,然后求出A8,8c即可.【详解】(1) VPC±6Z,

31、 PD10，PCJJ, PD11,又 PCcPD = P，/_L 平面 PC。CQu平而PCD，所以 UCD即直线/与CO是垂直关系.（2）连接AC, A。，则;PCdLAC, PD±AD由（1）有/_L平而 PC。，则 AC_L/, ADll所以二而角a - /一月的平面角为NC4£> = 120，P、C、A、。四点共圆，所以ZCPD = 60V AC=AD,又8 = 2,/. AC = AD = -=, 邛49：AB = 2. ：.BC = -=>V3;PC 工a ,所以 PC_LAC, PC IBCN8cA就是所求二面角的平面角sin ZBCA = - = -，所以N8C4 = 2BC 23即平面PCB与平而PCA所成的锐二而角的大小为：.【点睛】本题考查线线位置关系的判断，考查求二面角，属于中档题.21.已知圆C的圆心在直线3x-> =。上，与x轴正半轴相切，且被直线/：工一），=0截得的弦长为2".（1）求圆C的方程；（2）设点4在圆C上运动，点8（7,6）,且点M满足丽=2丽店，记点M的轨迹为求的方程，并说明r是什么图形；试探究：在直线/上是否存在定点r（异于原点O）,使得对于r上任意一点夕，都有PO"为一常数，