第一轮总复习课件(理数)：第52讲互斥事件的概率、条件概率及相互独立事件的概率新课标高中数学

1、1.了解互斥事件的概率、两个互斥了解互斥事件的概率、两个互斥事件的概率加法公式，能利用此公式求事件的概率加法公式，能利用此公式求有关事件的概率有关事件的概率.2.了解条件概率和相互独立事件同了解条件概率和相互独立事件同时发生的概率，理解时发生的概率，理解n次独立重复试验次独立重复试验的模型及二项分布的模型及二项分布.1.已知事件已知事件A、B的概率都大于零的概率都大于零,那么那么( )CA.如果如果A与与B互斥，则与也互斥互斥，则与也互斥B.如果如果A、B不是相互独立事件，那么它们不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件一定是互斥事件C.如果如果A、B是相互独立事件，那么它们一是相互独立事件，

2、那么它们一定不是互斥事件定不是互斥事件D.如果如果A+B是必然事件，那么它们一定是是必然事件，那么它们一定是对立事件对立事件2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ,甲获胜的概率是甲获胜的概率是 ,则甲不输的概率是则甲不输的概率是 .1213563.甲、乙两人独立解同一道题甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的甲解决这道题的概率是概率是0.7,乙解决这道题的概率为乙解决这道题的概率为0.8,那么恰那么恰有一人解决这一道题的概率是有一人解决这一道题的概率是( )BA.0.56 B.0.38 C.0.44 D.0.94 只有甲解决这道题的概率为只有甲解决这道

3、题的概率为0.7(1-0.8) =0.14;只有乙解决这道题的概率为只有乙解决这道题的概率为0.8(1-0.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为故恰有一人解决这一问题的概率为0.4+0.24=0.38,选选B.4.在在4次独立重复试验中，随机事件次独立重复试验中，随机事件A恰好发恰好发生生1次的概率不大于其恰好发生次的概率不大于其恰好发生2次的概率次的概率,则事件则事件A在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率p的取的取值范围是值范围是 .0.4,1) 依题意依题意,得得 p(1-p)3 p2(1-p)2,解得解得p0.4.又又p1,故故0.4p 0 ,称称 .为在事件为在事件A

4、发生的条件下发生的条件下,事事件件B发生的条件概率发生的条件概率.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+P(An)P(B|A)()( )P A BP A 5.相互独立事件相互独立事件 . ，这样的两个事件叫做相互独立事件，这样的两个事件叫做相互独立事件. 6.相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等两个相互独立事件同时发生的概率，等于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 积 ， 即于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 积 ， 即P(AB)= .一般的一般的,如果事件如果事件A1、A2、An相 互 独 立相 互 独 立,则 有则 有P

5、(A1A2An)= .事件事件A(或或B)是否发生对事件是否发生对事件B(或或A)发生发生的概率没有影响的概率没有影响P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)7.独立重复试验独立重复试验 若若n次重复试验中次重复试验中, . ,则称这则称这n次试次试验是独立的验是独立的.8.n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率 如果在一次试验中某事件发生的概率是如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是次的概率是 . 如果设如果设q=1-p,则则Pn(k)就是就是(p+q)n的

6、展开式的展开式中的第中的第(k+1)项项,故故Pn(k)= pk(1-p)n-k也叫也叫做做 .每次试验结果的概率每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果都不依赖于其他各次试验的结果Pn(k)= pk(1-p)n-kknCknC1111二项分布公式二项分布公式例例1 一个口袋里共有一个口袋里共有7个白球个白球4个红球，现个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？一个红球的概率是多少？ （方法一）记（方法一）记“三个球中至少有一个三个球中至少有一个红球红球”为事件为事件A，“三个球中恰有一个红球三个球中恰有一个红球”为事件为事件

7、A1，“三个球中有两个红球三个球中有两个红球”为事件为事件A2，“三个球全是红球三个球全是红球”为事件为事件A3，则，则A=A1+A2+A3,且这三个事件两两互斥且这三个事件两两互斥,故得故得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= = . (方法二方法二)记记“三个球全是白球三个球全是白球”为事件为事件,且是且是A的对立事件，则的对立事件，则P( )= = , 故得故得P(A)=1-P( )= .1221347474333111111CCCCCCCC2633A37311CC733A2633 在求某些稍复杂的事件的概率在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件时通常有两种

8、方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率件的概率. 从标有从标有1，2，3，4，5，6，7的的7个个小球中取出一个，记下它上面的数字，放小球中取出一个，记下它上面的数字，放回并搅动，再取出一球，记下它上面的数回并搅动，再取出一球，记下它上面的数字，若两个数字之和大于字，若两个数字之和大于11或两个数字之积或两个数字之积小于小于11就能中奖，问中奖的概率是多少？就能中奖，问中奖的概率是多少？ 从从7个小球中有放回地两次取球，两个数个小球中有放回地两次取球，两个数字之和大于字之和大于

9、11的概率是的概率是 ，两个数字之积小于，两个数字之积小于11的概率是的概率是 = ,因为两个数字之和大于因为两个数字之和大于11与与两个数字之积小于两个数字之积小于11是两个互斥事件，所以中是两个互斥事件，所以中奖的概率为奖的概率为 + = .649214937649372749 本题是有放回地取球本题是有放回地取球.如果是不放如果是不放回地取球，则可用数对标记列举出来回地取球，则可用数对标记列举出来.例例2 在在100件产品中有件产品中有95件合格品，件合格品，5件件不合格品不合格品.现从中不放回地取两次，每次现从中不放回地取两次，每次任取一件任取一件.试求：试求： (1)第一次取到不合格

10、品的概率；第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率次取到不合格品的概率. 设设A=第一次取到不合格品第一次取到不合格品，B=第第二次取到不合格品二次取到不合格品.(1) P(A)= =0.05.(2)根据条件概率的定义计算，需要先求出根据条件概率的定义计算，需要先求出事件事件AB的概率的概率.P(AB)= = ,所以有所以有P(B|A)= = = .510051004991495()( )P ABP 1.在等可能性事件的问题中，求条件在等可能性事件的问题中，求条件概 率 通 用 的 方 法

11、是 利 用 条 件 概 率 公 式概 率 通 用 的 方 法 是 利 用 条 件 概 率 公 式P(B|A)= ,这就需要求出这就需要求出P(AB)和和P(A),用用到原来的概率知识到原来的概率知识.2 .本 题 中 可 以 计 算 事 件本 题 中 可 以 计 算 事 件B的 概 率 为的 概 率 为P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) = + = =0.05,可见，条件可见，条件概率概率P(B|A)P(B).5100()( )P ABP A599499951005100例例3 甲、乙两人独立地破译甲、乙两人独立地破译1个密码，个密码，他们能译出密码的概率分别为他们能译出密码的

12、概率分别为13和和14，试求：试求：（1）两人都译出密码的概率；两人都译出密码的概率；（2）两人都译不出密码的概率；两人都译不出密码的概率；（3）恰有恰有1人译出密码的概率；人译出密码的概率；（4）至多至多1人译出密码的概率人译出密码的概率. 设设“甲译出密码甲译出密码”为事件为事件A，“乙乙译出密码译出密码”为事件为事件B，则，则A与与B相互独立相互独立.(1)P(AB)=P(A)P(B)= = .(2)P( )=P( )P( )=(1- )(1- )= .(3)P=P(A + B)=P(A)P( )+P( )P(B)= (1- )+(1- ) = .(4)P=1-P(AB)=1- = .1

13、314112ABAB1314112BABA131413145121121112 要分清要分清“互斥事件互斥事件”与与“相互独立相互独立事件事件”的概念，以及的概念，以及“互斥互斥”与与“独立独立”的概念的概念. 如右图所示，开关电路中，如右图所示，开关电路中，开关开关S1、S2、S3开或关的概率均开或关的概率均为为 ,且是相互独立的且是相互独立的,求灯亮的概求灯亮的概率率.12 设事件设事件A、B、C分别表示分别表示S1、S2、S3关关闭，则闭，则S1、S2同时关闭或同时关闭或S3关闭时灯亮，即关闭时灯亮，即AB 或或 ABC或或 C或或 BC或或A C发生发生,故故P=P(AB )+P(AB

14、C)+P( C)+P( BC)+P(A C)=P(A)P(B)P( )+P(A)P(B)P(C)+P( )P( )P(C)+P( )P(B)P(C)+P(A)P( )P(C)=5( )3= ，即灯亮的概率为即灯亮的概率为 .ACBABCA BABCABAB125858 分类讨论时要注意不重复不遗漏分类讨论时要注意不重复不遗漏.例例4 对某种抗癌新药的疗效进行试验，对某种抗癌新药的疗效进行试验，假定该药对某种癌症的治愈率为假定该药对某种癌症的治愈率为80%，现，现有有10名患者同时服用此药，求其中至少名患者同时服用此药，求其中至少有有6人被治愈的概率人被治愈的概率(精确到精确到0.01). 记记

15、“一病人被治愈一病人被治愈”为事件为事件A，则，则P(A)=0.8,则至少有则至少有6人被治愈的概率为：人被治愈的概率为：P=P10(6)+P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10)= 0.860.24+ 0.870.23+ 0.880.22+ 0.890.2+ 0.810=0.97.610C710C810C910C1010C 甲、乙两个篮球运动员甲、乙两个篮球运动员,投篮的命投篮的命中率分别为中率分别为0.5和和0.8,每人投篮两次每人投篮两次. (1)求甲投进两球且乙至少投进一球的求甲投进两球且乙至少投进一球的概率；概率； (2)若投进一个球得分，未投进得若投进一个球得分，未

16、投进得0分，求甲、乙两人得分相同的概率分，求甲、乙两人得分相同的概率. (1)设设“甲投进两球且乙至少投进一球甲投进两球且乙至少投进一球”为事件为事件A,“甲投进两球甲投进两球”为事件为事件B,“乙至少乙至少投进一球投进一球”为事件为事件C,则则A=BC.由由P(B)=0.50.50.25，P(I)= 0.8(1-0.8)+0.820.32+0.640.96,得得P(A)=P(B)P(C)=0.250.960.24.(2)设设“得分相同得分相同”为事件为事件M,则则P(M)=0.520.82+ 0.5(1-0.5) 0.8(1-0.8)+(1-0.5)2(1-0.8)20.50.64+0.50

17、.32+0.250.040.33.12C12C12C 本题中的本题中的“得分相同得分相同”意指意指“两人两人得分均为得分均为0分分”或或“两人得分均为分两人得分均为分”或或“两人得分均为分两人得分均为分”.1.求复杂的互斥事件的概率求复杂的互斥事件的概率,一般有两种一般有两种方法：方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分一是直接求解法，将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；是否完

18、备；二是间接求解法二是间接求解法,先求出此事件的对立事先求出此事件的对立事件的概率件的概率,再用公式再用公式P(A)=1-P( ),若解决若解决“至至多多”“”“至少至少”型的题目，此方法显得比较方型的题目，此方法显得比较方便便.A2.解题时注意解题时注意“互斥事件互斥事件”与与“对立对立事件事件”的区别与联系，搞清楚的区别与联系，搞清楚“互斥事件互斥事件”与与“等可能性事件等可能性事件”的差异的差异.3.解概率问题时，一定要根据有关概解概率问题时，一定要根据有关概念，判断是否为条件概率或等可能事件，念，判断是否为条件概率或等可能事件，或互斥事件，或相互独立事件，还是某一或互斥事件，或相互独立

19、事件，还是某一事件在事件在n次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生k次等次等概率的情况，以便选择正确的计算方法概率的情况，以便选择正确的计算方法.4.解题过程中，要明确条件中解题过程中，要明确条件中“至至少少 ” “” “ 至 多至 多 ” “” “ 恰 好恰 好 ” “” “ 都 发都 发生生”“”“都不发生都不发生”和和“不能发生不能发生”等等词语的意义，以及它们的概率之间的词语的意义，以及它们的概率之间的关系和计算公式关系和计算公式.5.如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B也都相互独立也都相互独立.学例1 (2008湖南卷湖南卷)甲、

20、乙、丙三人参加了甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签面试合格者可正式签约约.甲表示只要面试合格就签约甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约乙、丙则约定定:两人面试都合格就一同签约两人面试都合格就一同签约,否则两人都否则两人都不签约不签约.设每人面试合格的概率都是设每人面试合格的概率都是 ，且，且面试是否合格互不影响面试是否合格互不影响.求：求：（1）至少有至少有1人面试合格的概率人面试合格的概率;（2）签约人数签约人数的分布列和数学期望的分布列和数学期望.12 设事件设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙分别表示甲、乙、丙面试合格面试合格.由题意知事件由题意知

21、事件A、B、C相互独立，相互独立，且且P（A）=P（B）=P（C）= .（1）至少至少有有1人面试合格的概率是人面试合格的概率是1-P( )=1-P( )P( )P( )=1-( )3= ； （1）“至少至少”问题可转化为对立事问题可转化为对立事件的概率关系求解；（件的概率关系求解；（2）用概率的乘法）用概率的乘法公式求随机变量的概率，定义法求期望公式求随机变量的概率，定义法求期望.12ABCABC1278(2)的可能取值为的可能取值为0，1，2，3.P（=0）=P( B )+P( C)+P( )=P( )P(B)P( )+P( )P( )P(C)+P( )P( )P( )=( )3+( )3

22、+( )3= ;P(=1)=P(A C)+P(AB )+P(A C)=P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P( )ABCAA B CACABABC12121238BCBBCBC=( )3+( )3+( )3= ；P(=2)=P( BC)=P( )P(B)P(C)= ；P(=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= ；所以，所以，的分布列是的分布列是的期望的期望E=0 +1 +2 +3 =1.A12381212A18183838181838381818 (2008四川卷四川卷)设进入某商场的每一位设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种，购买乙种商品的概率为商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品是相互独立的是相互独立的. (1)求进入该商场的求进入该商场的1位顾客购买甲、乙两种位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；商品