二次根式的基本定义

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义. 注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。根指数省略不写。不能从化简结果上判断，如，I都是二次根式。2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。但前提条件是必须是大于或 等于0.3、 如果是给定的式子，就是有意义的。、4、 形如b (a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时, 写成假分数。5、式子匕兰表示的是非负数。& L.W+b(a三-和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。 二次根式定义：【例 1】以下各式.,2) . 5,3)

2、. x 以下各式中，一定是二次根式的是A、 a B、10 C、 a 1 D、 a 1 在需、皿、衣、斤壬、V3中是二次根式的个数有个 2,4) 4,5)( )2,6) 1 a,7) a2 2a 1，其中是二次根式的是 填序号.变式练习：4、式子：购；$6；-1；3 + 2'中是二次根式的代号为A.B.CD.【例2】假设是正整数，最小的整数门是 A.6B. 3C. 48D. 2变式练习：1、： 是整数，那么满足条件的最小正整数n的值是A. 0B. 1C. 2D. 52、二次根式j50d是一个整数，那么正整数a最小值是.1、 二次根式具有双重非负性。 (a|釘;: 02、如果式子中既含有二

3、次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式 中的被开方数是非负数，分式中的分母不为 0.3、 如果式子中含有零指数幕或负整数指数幕，有意义的条件是，度数不为0.+ 1【例3】式子 有意义的x的取值围是变式练习：1、使代数式亠卫有意义的x的取值围是x 4A、x>3B x> 3C、x>4D、x>3 且 x工42、 使代数式x2 2x 1有意义的x的取值围是3、 如果代数式厂m有意义，那么，直角坐标系中点 P m n的位置在Jmn A、第一象限B、第二象限C、第三象限D第四象限【例4】假设y= x 5 + 5 x +2021,那么x+y=变式练习：1、假设x 11 x

4、(x y)2，那么x y的值为A. 1 B . 1 C . 2 D . 32、假设x、y都是实数，且y= 2x 33 2x 4，求肖的值3、当a取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。4、假设实数a、b、c满足E = +|a+b|=" 卅，那么2a-3b+c2的值 为.肿二 9 4-+ 9 y=° + "，求2x+y的算术平方根.二次根式整数局部小数局部： a是,5整数局部，b是、5的小数局部，求a 的值。b 21、假设3的整数局部是a,小数局部是b,那么.3a b2 I2、假设17的整数局部为x,小数局部为y,求x 的值. 二次根式性质：1.

5、 非负性：a(a 0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( a)2 aa 0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负 数或非负代数式写成完全平方的形式：a (.a)2(a 0)3. a2 |a| a(a 0)a(a 0)注意：1字母不一定是正数.2能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.3可移到根号的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负 号留在根号外.4. 公式a2|a| a(a 0与(a)2 aQ 0)的区别与联系a(a 0)1 a2表示求一个数的平方的算术根，a的围是一切实数.2( a)2表示一个

6、数的算术平方根的平方，a的围是非负数.3 a2和(.a)2的运算结果都是非负的.【例5】假设a2,b23 c 40那么a b c .变式练习：1、假设 m 3(n 1)20 ,那么mn的值为。2、x,y为实数，且x 13 y 2 20 ,那么x y的值为A. 3B.- 3C. 1D. 13、直角三角形两边x、y的长满足丨x2 4|+ y2 5y 6 = 0,那么第三边长4、假设a b 1与& 2b 4互为相反数，那么2005a b【例6】如果J怎口= 2- x，那么x取值围是A. x<2B. xv 2C. x>2D. x>2【例7】化简二次根式aa 22的结果是 aA

7、a 2(B)a 2(C) a 2(D)变式练习:1、把二次根式a a化简，正确的结果是A.叮aD. a2、0v av 1,化简B. Ma3、假设化简-斜一“岂'的结果为2x-5，那么x的取值围是任意实数B、1兰x乞4 c、>14、假设实数a、b、c在数轴的位置，如下列图，那么化简-| b- c| =.5、:实数a，b在数轴上的位置如下列图，化简:厉+叽2卫匚纽-|a-b|.6，I*二1| = 2見/ -空+匹-扣丄-4兀+ 1的值。最简二次根式1最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不 含能开得尽方的数或因式，被开方数中每个因数式的指数都小于根指数2, 都是1

8、； 分母中不含根号.化最简根式时注意1被开方数是带分数的要化成假分数。2被开方数学是小数的要化成分数。3被开方数中含有能开方的多项式时，要先因式分解再开方。 同类二次根式可合并根式：几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数一样，这几个二次根式就 叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例7】在根式1最简二次根式是A . 1) 2) B.3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4)2、以下根式中，不是.最简二次根式的是A.7B. 3C. 1D. 2 23、以下根式不是最简二次根式的是D. 0.1yA. a2 1B. 2x 1C.，2b4【例8】以下根式中能与 3是合并的是A. 8 B.27C.25 D.【例9】-将a根号外的因式移入根号的结果练习:化简: 分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代 数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用、a . a a来确定，女口：. a与.a，: a b与、a b , . a b与a b等分别互为有理化因式。bj分别互为有理化因式两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 a