2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：5.1.1 任意角 Word版含解析

1、第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【素养目标】1了解任意角的概念，能区分各类角的概念(数学抽象)2掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角(直观想象)3理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题(数学运算)4能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养必备知识探新知基础知识知识点1角的概念角可以看成一条_射线_绕着端点旋转所成的图形思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？提示：根据旋转方向，

2、射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向知识点2角的表示顶点：用o表示；始边：用oa表示，用语言可表示为起始位置；终边：用ob表示，用语言可表示为终止位置思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？提示：(1)不是的虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定(2)角的三要素是顶点、始边、终边知识点3角的分类类型定义图示_正角_一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角_负角_一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角_零角_一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考3：(1)正角、负角、零角

3、是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的(2)不一定零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360，360等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转知识点4象限角如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象

4、限角如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角知识点5终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_s|k360，kz_，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和思考5：反过来，若角，满足s|k360，kz时，角，是否是终边相同的角？提示：当角，满足s|k360，kz时，表示角与相隔整数个周角，即角，终边相同基础自测1下列各角：60，126，63，0，99，其中正角的个数是(b)a1b2c3d4解析正角有126，99共2个2将射线om绕端点o按逆时针方向旋转120所得的角为(a)a120b120c60d2403(2018济南外国语期中)

5、下列各角中，与1 110的角终边相同的角是(d)a60b60c30d30解析1 110336030，所以与30的角终边相同4若30角的始边与x轴的非负半轴重合，现将30角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_690_.解析因为逆时针方向旋转为正角，所以302360690.5图中从oa旋转到ob，ob1，ob2时所成的角度分别是_390_、_150_、_60_.解析题图中(1)中的角是正角，390，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，150，60.关键能力攻重难题型探究题型一任意角的概念例1 下列命题正确的是(c)a终边与始边重合的角是零角b终边和始边都相同的两个角一定相等c在9018

6、0范围内的角不一定是钝角d小于90的角是锐角分析角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量解析终边与始边重合的角还可能是360，720，故a错；终边和始边都相同的两个角可能相差360的整数倍，如30与330，故b错；由于在90180范围内的角包含90角，所以不一定是钝角，c正确；小于90的角可以是0，也可以是负角，故d错误归纳提升关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可【对点练习】 如图，射线o

7、a绕顶点o逆时针旋转45到ob位置，并在此基础上顺时针旋转120到达oc位置，则aoc_75_.解析由角的定义可得aocaobboc45(120)75.题型二终边相同的角例2 已知角2 020.(1)把改写成k360(kz,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.分析先求出，判断角所在的象限；用终边相同的角表示满足的不等关系，求出k和.解析(1)由2 020除以360，得商为5，余数为220.取k5，220，5360220.又220是第三象限角，为第三象限角(2)与2 020终边相同的角为k3602 020(kz)令360k3602 020720(kz)

8、解得6k3(kz)所以k6，5，4.将k的值代入k3602 020中，得角的值为140，220，580.归纳提升1.把任意角化为k360(kz，且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值3象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角|k360k36090，kz第二象限角|k36090k360180，kz第三象限角|k360180k360270，kz第四象限角|k360270k360360，kz(2)轴线角：

9、角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上|k360，kz终边落在x轴的非正半轴上|k360180，kz终边落在y轴的非负半轴上|k36090，kz终边落在y轴的非正半轴上|k360270，kz终边落在y轴上|k18090，kz终边落在x轴上|k180，kz终边落在坐标轴上|k90，kz【对点练习】 若将例题中“角2 020”改为“315”，其他条件不变，结果如何？解析(1)36045，是第一象限角(2)与315终边相同的角为k360315(kz)，令360k360315720(kz)，解得k(kz)，所以k0,1,2.将k值代入k360315中，得所求角为315，45和405.题型三象限

10、角的确定例3 若是第一象限角，则2，分别是第几角限角？分析由是第一象限角可知k360k36090(kz)，则2，的范围分别为2k36022k360180(kz)，k180k18045(kz)再通过对整数k分类讨论即可得结果解析因为k360k36090(kz)，所以2k36022k360180(kz)所以2是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角又k180k18045(kz)，所以当k2n(nz)时，n360n36045.所以是第一象限角当k2n1(nz)时，n360180n360225，所以是第三象限角故是第一、三象限角归纳提升已知角所在象限，判角n，(nz)所在象限的方法(1)若已知角是

11、第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略(2)由的象限确定2的象限时，应注意2可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出如135，而2270就不再是象限角【对点练习】 若是第二象限角，那么和90都不是(b)a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析是第二象限角，k36090k360180，kz，k18045k18090，kz，即终边是第一或第三象限角，而显然是第三象限角，90是第四象限角，故选b课堂检测固双基1与457角终边相同的角的集合是(c)a|k360457，kzb|k36097，kzc|k360263，kzd|k360263，kz解析457与97角终边相同，又97角与263角终边相同，又263角与k360263角终边相同，应选c2215是(b)a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角3下列各组角中，终边相同的是(b)a390，690b330，750c480，420d3