空间直角坐标系向量的坐标表示和空间向量基本定理

1、、选择题课时提升作业(四十八)1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 ()(A)y轴上(B) xOy平面上(C) xOz平面上(D) yOz平面上2. 已知点B是点A(3,7,-4)在xOz平面上的射影，则|OB|等于 ()(A) (9,0,16)(B)25(C)5(D)133. 以棱长为1的正方体ABCD -ABCD的棱AB,AD,AAi所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示,则正方形 AABiB的对角线交点的坐标为()(A)(0, , )(B)( ,0,)222 21 1111(C)( , ,0)(D)(,)2 22 2 24. 点M(x,y,z)在坐标平面xOy内的射影

2、为 M,Mi在坐标平面yOz内的射影为为Ms,则M3的坐标为()(A) (-x,-y,-z)(B) (x,y,z)(C)(0,0,0)且ka- b与a-3 b互相垂直，则k的值是k+v+z(D)(:,5.已知向量x+y+z x+y+233)a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),1320(A)1(B) (C)-(D)-=9156.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=(3,入，)平行，则入=()29(A)(B)22(C)-(D)-7. 正方体不在同一表面上的两个顶点为A(-1,2,-1),B(3,-2,3), 则正方体的体积为 (A)8(B)27(C)64(D)1288. 有以下命题：如果

3、向量a, b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a, b的关系是不共线;O,A,B,C为空间四点,且向量浙繭，潮费_ 一不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C 定共面；已知a, b, c是空间 的一个基底,则a+b, a- b, c也是空间的一个基底.其中正确的命题是()(A)(B)(C)(D)9. (2013 济宁模拟)设 OABC是四面体,Gi是厶ABC的重心,G 是 OG上一点,且 OG=3GG若LL儿=x_C+y二+z_,则(x,y,z)为()1113 2 3(A)(B)(,)NNNNNN111222(C) ( ,)(D)( ,)J 2 2JJJ二、填空题10. (能力挑战题)正

4、方体ABCD -A B C D的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点，当弦 MN的长度最大时，卩剤的取值范围是.11. 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P,使它与点P(4,1,2)的距离为.iC,则该点的坐标为 12. 已知a=(2,-1,3), b=(-1,4,-2), c=(7,5,入),若a, b, c三个向量共面，则实数入=13. 已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若三卩=2二匚，则 | 门的值是 14.如图，直三棱柱 ABGA1BC1 中,AB=AC=1,AAi=2, / B1AG=90

5、 ,D 为 BB 的中点， 直线GD与AC的夹角的余弦值为 三、解答题 15.如图所示，在空间直角坐标系中，BC=2,原点O是BC衍1的中点，点A的坐标是(=,0),点D在平面yOz 上,且 一/ BDC=90 , / DCB=30 .设向量貞:和1(：的夹角为0 ,求cos 0的值.答案解析1.【解析】选C.由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上.2. 【解析】选C.由题意得点B的坐标为(3,0,-4),故 |0B|=4 !匚二-=5.3. 【解析】选B.由题意知所求点即为ABi的中点，由于A(O,O,O),B i(1,0,1),所以ABi的中点坐标为C ,0, J2 24. 【解析】选C.

6、依题意得,Mi的坐标为(x,y,0),M 2的坐标为(0,y,0),M 3的坐标为(0,0,0).【变式备选】在空间直角坐标系中，点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为 M,则点M 关于原点对称的点的坐标为()(A)(-2,0,-3)(B)(-3,0,-2)(C)(2,0,3)(D)(-2,0,3)【解析】选C.由题意得,点M 的坐标为：-2,0,-3),故点M 关于原点对称的点的坐标为(2,0,3).【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧(1) 关于哪个轴对称，对应轴上的坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.(2) 关于坐标平面对称，另一轴上的坐标变为原来的相反数，其余不变(3

7、) 关于原点对称，三个坐标都变为原来的相反数.(4) 空间求对称点的坐标的方法，可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆5. 【解析】选 D. .ka-b=(k+1,-k-2,k-1), a-3 b=(4,-7,-2),(k a-b) 1(a-3 b),4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,20C.由a b得,=一=77,解得店-二di A Z6. 【解析】选7. 【解析】选C.设正方体的棱长为a,根据条件则有/Ia=- _厂，解得 a=4, 所以体积为43=64.8. 【解析】选C.对于，“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底 ，那么a,b的关系一定是共 线”，所以错

8、误.正确.9. 【解析】选 A.!)：；“=)圍,+F3：:*i=L- x(H对Z-=-=陽+-(般联诫)+(切谢* *i|由 0G=3GG i 知，06=2。6 弓 0A+OB+OC)，ill(x,y,z)=(,).A Z10. 【解析】因为 MN是它的内切球的一条弦，所以当弦 MN经过球心时,弦MN的长度最大，此时MN=2,以A 为原点建立空间直角坐标系如图根据直径的任意性，不妨设M,N分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为 M(1,1,2),N(1,1,0),设 P 点 坐标为 P(x, y,z),贝UTTT TF Y=(1-x,1-y,2-z),匸訂=(1-x,1-y,-z),所以

9、pV=(1-x) 2+(1-y) 2-z(2-z),即甲=(x-1) 2+(y-1) 2+(z-1) 2-1.bfr因为点P为正方体表面上的动点，所以根据x,y,z的对称性可知，卩剤的取值范围与点P在哪个面上无关，不妨设点 P 在底面 A B C D 内，此时有 0 x 2,0 y 2,z=0,所以此时 4二 . =(x-1) 2+(y-1) 2+(z-1) 2-1=(x-1) 2+(y-1)2,所以当 x=y=1 时，-:=0,此时-.最小，但当 P 位于*l!*正方形的四个顶点时，卩划最大,此时有 =(x-1)2+(y-1)2=2,所以口 的最大值为2,所以0 iT *FY申仝 即F W的

10、取值范围是0,2.答案:0,211. 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得，|PP|=-, 1 ?,即:-: 一=厲(x-4) 2=25.解得x=9或x=-1.点 P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).答案:(9,0,0)或(-1,0,0)【变式备选】在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为【解析】设点 C的坐标为(0,0,z), 由条件得|AC|=|BC|,即.:-_：-:-,14解得z.14答案:(0,0,)12.【解析】由题意设c=t a+ jib=(2t-仏-t+4 u,3t-2 3),13.【解析】设 P(x,y,z),则剧(x-1,y

11、-2,z-1),FE=(-1-x,3-y,4-z),*1 g由創 1=2二知 x=-,y=,z=3, di H1 s故 P(-,-,3).由两点间距离公式可得|丨|=答案:一14. 【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,1,2).I zAy则-_=(1，-1，-1)，二-=(0,1,-2),| _ _|=-,二,|丄-口=工/|,厂八._ =1, cos=m庇 D%q 15故异面直线C1D与A1C的夹角的余弦值为1515.【解析】(1)如图所示，过D作DE JBC,垂足为E,在 Rt 少DC 中，由 /BDC=90 |!ZDCB=30 ,BC=2,得 BD=1,CD= -，2 .DE=CD sin30 =,2OE=OB-BD cos6