2012019年5年考研数学一真题

1、2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1)设函数f(x)在(-8,+g)连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为()(2)设丫=1+限-1|ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yr+ay，+by=cex的一个特解,23则:(A)a=-3,b=-1,c=-1.(B)a=3,b=2,c=-1.(C)a-3,b=2,c=1.(D)a=3,b=2,c=1.(3)若级数an条件收敛，则x=73与x=3依次为曷级数nan(x-1)n的:n1n1(A)收敛点，收敛点.(B)收敛点，发散点.(C)发散点，收敛点.(D)发散点，发散点.(4)设D是第一象限中曲

2、线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=J3x围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy=D二1(A)3d-sin1271f(rcos-,rsin-)rdr(B)42sin21二1.院d&产*甘f(rcos9,rsin9)rdr42sin2?(A)0(B)1(C)2(D)3(11)若函数由方程ex+xyz+x+cosx=2确定，则dz1)=(12)设口是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则11i(x2y3z)dxdydzQ(C)噌f(rcosu,rsini)dr(D)13cH72siF2.-,(5)设矩阵A=穷多个解的充分必要条件为(A)a更

3、C,d正 C(B)1呼8f(rcos仇rsin8)dr若集合夏=1,2,则线性方程组Ax=b有无a三二，d,三Q(D)a三二，dci(6)设二次型f(Xi,X2,X3)在正交变换x=Py下的标准形为2y2+y2y2,其中P=(己2,备)，若Q=(9,-a,e2),则f(x1,X2,X3)在正交变换x=Qy下的标准形为222222222222(A)2y1-y2y3(B)2y1y2-y3(Q2y1-(D)2y1y2y3(7)若AB为任意两个随机事件，则(A)P(AB)P(A)P(B)(B)P(AB)之P(A)P(B)(C)P(AB)P(A)2P(B)(D)P(AB)-P(A)2P(B)(8)设随机

4、变量X,Y不相关，且EX=2,EY=1,DX=3,则E-X(X十丫2)j=(A)-3(B)3(C)-5(D)5、填空题(9)(10)2(-51cosx十|x)dx=20HI02-12H|02(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题(15)设函数f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在XT0是等价无穷小， 求a,b,k值。(16)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0wI,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与直线x=x及x轴所围成的区域的面积为4,且fo2求f(x)的表达式。(17)已知函数f(x,y)=x+y+x

5、y,曲线C:x2+y2+xy=3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.(18)(本题满分10分)(I)设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x)u(x)v(x)(n)设函数u(x),U2(x).Un(x)可导,f(x)=u(x)u2(x).Un(x)，写出f(x)的求导公式.(19)(本题满分10分)已知曲线L的方程为Jz=J2xy，起点为A(0,亚,0),终点为B(0,衣,0),计算曲z=x,线积分I=L(yz)dx(z2-x2y)dy(x2y2)dz(20)(本题满分11分)设向量组%，豆2p3是3维向量空间U3的一个基，1=2%+203,邑=2口

6、2,3=%+(k+1)%。0(13)门阶行列式00III0III-1(I)证明向量组Pl,P2,P3是13的一个基；(n)当k为何值时，存在非零向量亡在基叫,与基日1,%瓦下的坐标相同，并求出所有的to(21)(本题满分11分)2-31门-20、3-3相似于矩阵B=0b0-2aJ、031(i)求a,b的值.(n)求可逆矩阵P,使得P/AP为对角阵.(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为(I)求Y的概率分布；(n)求EY.(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1f(x;【)=1-二,0其中日为未知参数，X1,X2.Xn为来自该总体的简单随机样本(I)求8的矩估计.(n)求e的

7、最大似然估计，0设矩阵A=-1f(x)=2 2-x-xln20对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数xx_1其他2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.(1)若反常积分兄1一dx收敛，则()ab0 x1xAa二1且b1Ba1且b1Ca：1且ab1Da1且ab12x-1,x：二1已知函数f(x)=I1，则f(x)的一个原函数是()lnx,x-12-2x-1,x:：1lx-1,x：1AFx=BFx=xInx7,x_1xI

8、nx1)-1,x二12-2x-1,x1x-1,x；1CFx=DFx=IxInx11,x_1xInx-11,x_1(3)若y=(1+x2)-,1+x2,y=(1+x2)+J1+x2是微分方程y+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=()不x,x0(4)已知函数f(x)=111，则()-,-x0),记p=pxMN+。2,则()(A)p随着N的增加而增加(B)p随着cr的增加而增加(C)p随着N的增加而减少(D)p随着cr的增加而减少1(8)随机试验E有二种两两不相容的结果A1AA3,且三种结果发生的概率均为-，将3试3E独立重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A

9、2发生的次数，则X与Y的相关系数为()、填空题：9/4小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x10tln(1+tsintdtL21-cosx(10)向量场A(x,y,z)=(x+y+zj+xyj+zk的旋度rotA=(11)设函数f(u,v)可微，z=z(x,y)由方程(x+1Z-y2=x2f(x-z,y)确定，则dzq,i厂x(12)设函数f(x)=arctanx2,且f(0)=1，则a=1ax九-1000八10(13)仃歹U式=.00九-1432人+1(14)设x1,x2,.,xn为来自总体N(N,。2)的简单随机样本，样本均值x=9.5,参数N的置信度为0.95的双侧置

10、信区间的置信上限为10.8,则N的置信度为0.95的双侧置信区间为.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答理绡,指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.冗冗(15)(本题满分10分)已知平面区域D=“田：2WrW2(1+cos0),WBE5，计1122J算二重积分xdxdy.D(16)(本题满分10分)设函数y(x)满足方程y+2y+ky=0,其中0k1.(9)limx_0(I)证明：反常积分0-y(x)dx收敛；(11)若丫(0)=1,丫(0)=1,求(y(x)dx的值.(17)(本题满分10分)设函数f(x,y)满足色曳0=(2乂+1)627，且f(0,y)=y+1

11、,Lt是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分I(t)=f、(x,y)dx+(x,y)dy,并Lt；xjy求I的最小值(18)设有界区域 C 由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，工为 G 整个表面的外侧，计算曲面积分I=x21dydz_2ydzdx3zdxdyy1(19)( 本 题 满 分10分 ) 已 知 函 数f(x)可 导 ， 且f(0)=1,0f(x)- ，设 数 列 % 满 足xn+=f(xn)(n=1,2.),证明:(I)级数(xn+-xn)绝对收敛;limxn存在，且0limxn2.(20)(本题满分11分)设矩阵A=L1aJ1-a-1-2)当a为何值时，方

12、程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解？0-11、(21)(本题满分11分)已知矩阵A=2-301000,(I)求A99(II)设3阶矩阵B=(%p3)满足B2=BA,记B100=(01,久，久)将3，葭久分别表示为巴,口2,63的线性组合。(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)在区域D=(x,y，0 x1,x2y4上服从均匀分布，令1,Xu在x=0处连续，则b,x0则(A)f1f-1(B)f1|f)1f(小巾-“(3)函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量n(1,2,2)的方向导数为()(A)12(B)6(C)4(D)2(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前

13、方10(单位：m)处，如下图中，实线表示甲的速度曲线v=w(t)(单位:m/s)虚线表示乙的速度曲线v=V2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s),则(A)t0=10(B)15飞：二20(C)t0=25(D)t025(A)E-aaT不可逆(B)E+口口T不可逆(C)E+2aaT不可逆(D)E-2aT不可逆210100B=020c=020,则：001_002_200(6)已知矩阵A=021001-(5)设a为n维单位列向量,E为n阶单位矩阵，则(A) A与C相似，B与C相似(B) A与C相似，B与C不相似(C) A与C不相似，B与C相似(

14、D) A与C不相似，B与C不相似设A,B为随机事件，若0P(A)1,0P(B)P(BA)BP(BA)P(BA)D.P(BA”P(BA)1n(8)设Xi,X2Xn(n至2)来自总体N(N,1)的简单随机样本，记X=X.tny则下列结论中不正确的是:(A)(XiN)2服从72分布22(B)2(XnXi)服从/分布n(C)(XiX)2服从72分布11(D)n(X均2服从工2分布二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。一、1,一f(x)一2/已知函数1+x，则f(0)-(10)微分方程y“+2y+3y=0的通解为y=(11)若曲线积分jXdx-aydy在区域口=伏丫42+丫21内与路径无关，则a

15、=_Lxy-1二n1(12)哥级数(1)nxn在区间(-1,1)内的和函数S(x)=n=1101(13)设矩阵A=112,%,4,%为线性无关的3维列向量组，则向量组011-A：1,A：2,A：3的秩为x-4(14)设随机变量X的分布函数为F(x)=0.5(x)+0.5.上，其中(x)为标准正,2(9)态分布函数，则EX=三、解答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)(本题满分10分)(16)(本题满分10分)(17)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x3+y33x+3y2=0确定，求y(x)得极值(18)(本题满分10分)f(x)在0,1上具有2阶

16、导数，f(1)A0,limjx)(0 x0 x证(1)方程f(x)=0在区间(0,1)至少存在一个根方程f(x)+f(x)+f(x)f=0在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根(19)(本题满分10分)设薄片型物体S是圆锥面Z=收+y2被柱面Z2=2x割下的有限部分，其上任一点弧度为u(x,y,z)=9,x2y2z2o记圆锥与柱面的交线为C(1)求C在xOy平面上的投影曲线的方程求S的质量M(20)(本题满分11分)三阶行列式A=(%,%,%)有3个不同的特征值，且=%+奠2(1)证明r(A)=2(2)如果P=%+a2+a3求方程组Ax=b的通解(21)(本题满分11分)222设f(XI,X

17、2,X3)=2%x2+ax3+2X1X28XIX3+2%X3在正交变换x=Qy下的标准型为y2+%y；求a的值及一个正交矩阵Q.(22)(本题满分11分)设函数f(U,V)具有2阶连续偏导数,y=f(ex,cosx),求dydxxd2ydx2x=0设随机变量XY互独立，且X的概率分布为PX=0=PX=2=1，Y概率密度为2,2y,0二y：二1y一0,其他求PYMEY(2)求Z=X+Y的概率密度(23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量N是已知的，设n次测量结果为2用1出相互独立，且均服从正态分布N(N,。2),该工程师记录的是n次测量

18、的绝对误差4=Xj-%。=1,2,|,n),利用Zj,z2,|h,zn估计仃(I)求Z1的概率密度(II)利用一阶矩求仃的矩估计量(III)求仃的最大似然估计量2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题-、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的(1)下列函数中，在x=0处不可导的是()(A)f(x)=|xsinx(B)f(x)=|xsin洞(C)f(x)=cosx(D)fx=cos.x(2)过点(1,0,0)(0,1,0),且与曲面z=x2+y2相切的平面为()(D)x=y与2x2y-z=2(6)设A、B为n阶矩阵，记r(X)为夕1阵

19、X的秩,(X,Y)表示分块矩阵，则()(A)rA,AB=rA(B)rABA=rA(A)z=0与*+y_z=1(B)z0f2x2y-z2(3)QO1nn02n32n1!(A)sin1cos1(C)2sin12cos1(B)2sin1cos12sin13cos1(4)设M=1(1+x2UX，NJTxJ.01xJ27rx-dx,K=J2式1+Jcosxdx,则()-2e2(A)MNK(C)KMN1(5)下列矩阵中与矩阵0011-1、(A)0111001Z11-1、(C)010(B)MKN(D)KNM10、11相似的为()0L10-1(B)011001U0-1(D)0101001(C)rA,B=max

20、。A,rB?(D)rA,B=rATBT(7)设随机变量X的概率密度4I2.f(x,两足f(1+x尸f(1x)，且gf(x)dx=0.6，则PX0,Xne+=eXn-1(n=1,2,|)，证明2收敛，并求limXn.n0(20)(本题满分11分)设实二次型f(X),X2,X3)=(X1,-X2+X3)2+(X2+X3)2+(x+ax3)2，其中a是参数.(I)求f(X1,X2,X3)=0的解;(II)求f(X1，X2,X3)的规范形.(I)求a;(II)求满足AP=B的可逆矩阵P.(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为px=1=px=-1=,丫服从参数为九的泊松分令Z

21、=XY.(I)求Cov(X,Z；(II)求Z的概率分布.(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1f(x,。)=e-,-二：x:;人,(21)(本题满分11分)已知a是常数，且矩阵A=2a30可经初等列变换化为矩阵7咒1a2B=011L1b2-其中仃w(0,一)为未知参数，X1,X2，川，Xn为来自总体X的简单随机样本.记的最大似然估计量(I)求名(II)求E;湃口D(c?).2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：I小小物,好小题4分，此聋5K下列年在给出的四个选项中.只有一个选项是符合筋行姿求的.L当m,若工工tanJT匕/是同脸把书小，WJ*.=A.LB.2.C3

22、.D.4.一x|xLJ0,也如图所示.有 3 张平面两两相交，交战相互平行.它们的方程外|工十明沙+%/=(,二 1，23)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为&N.则Ar(J)=2,r()=yB.rM)=2E=2.C,r()=1,r()=2.D=LrGO=L7 .设.露 JT 为随机事件,惠网用=网砌的充分堡要条件是A.”HUS)=N+明.0.0.汽通=汽用汽琦.匚国画=P(BA.P(BA.D.P(Ati)=D.P(Ati)=8 一设胞机变吊 X 与 F 相互独立.用都要从正态分布河分/八则尸|*一“1A.4无关，而与有关庄与有关.而与江：无关 C.与，/都有美口与后都无关二，城空翘；9-14 小题，括小腾 4 分,共 24 分.立设函数与/蚓可导.r=/(siny-sinx)+,则一生+!华=cosjfi)xi)xcosyi