推荐14课题学习最短路径问题-同步练习

1、13.4课题学习最短路径问题根底知识根本技熊_/ r FM ' / H I1 k 11 T J ! B P %_!,、,VB1.最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直 线的交点即为所求.如下列图,点A, B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA + CB最短, 这时点C是直线l与AB的交点.(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关 于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,那么与该直线的交点即为所求.如下列图,点A, B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA + CB最短,

2、 这时先作点B关于直线l的对称点B',那么点C是直线l与AB'的交点.为了证实点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C',连接AC' ,BC',B' C ,证实 AC + CBvAC' + C' B.如下：证实：由作图可知,点 B和B'关于直线l对称,所以直线l是线段BB'的垂直平分线.由于点C与C'在直线l上,所以 BC = B' C, BC' = B' C .在AB' C 中,AB' v AC' + B' C',所以 AC + B

3、' Cv AC' + B' C',所以 AC + BCvAC ' + C B.【例1】 在图中直线l上找到一点 M,使它到A, B两点的距离和最小.分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点,然后连接对称点和另一个点,与直线 l的交点M即为所求的点.解：如下列图：(1)作点B关于直线l的对称点B'(2)连接AB'交直线l于点M.(3)那么点M即为所求的点.点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,然后用“两点之间线段最短解决问题.2 .运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质, 将所求线段之和

4、转化为一条线段的长, 是解决 距离之和最小问题的根本思路, 不管题目如何变化, 运用时要抓住直线同旁有两点, 这两点 到直线上某点的距离和最小,这个核心,所有作法都相同.警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.解决这类最值问题时, 要认真审题,不要只注意图形而忽略题意要求,.审题不清导致答非所问.3 .利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时, 过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大, 如果两点在一条直线的异侧时, 过两点的直 线与原直线的交点处构成的线

5、段的和最小, 都可以用三角形三边关系来推理说明, 通常根据 最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变 为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线 段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.【例2】 如图,小河边有两个村庄 A, B,要在河边建一自来水厂向 A村与B村供水.(1)假设要使厂部到 A, B村的距离相等,那么应选择在哪建厂(2)假设要使厂部到 A, B两村的水管最短,应建在什么地方分析：(1)到

6、A, B两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,又要在河边,所以作 AB的垂直平分线,与 EF的交点即为符合条件的点.(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短,可联想到“两点之间线段最短,作A(或B)点关于EF的对称点,连接对称点与 B点,与EF的交点即为所求.解：(1)如图1,取线段AB的中点G,过中点G画AB的垂线,交EF于P,那么P到A,1B的距离相等.也可分别以 A、B为圆心,以大于2AB为半径回弧,两弧交于两点,过这两 点作直线,与EF的交点P即为所求.(2)如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A',连接A' B交EF于P ,那么P至U A, B 的距离和最短.【例3】 如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂 直的桥,应如何选择桥的位置