初二竞赛专题选讲之——分式

1、初中数学竞赛专题选讲分式一、内容提要1 .除式含有字母的代数式叫做分式.分式的值是由分子、分母中的字母的 取值确定的.1分式A中,当BW0时有意义；当A、B同号时值为正,异号时值为负,B反过来也成立.分子、分母都化为积的形式时, 分式的符号由它们中的负因 数的个数来确定.假设A、B及A都是整数,那么 A是B的倍数,B是A的约数.BA .一切有理数可用 百来表不,其中A是整数,B是正整数,且A、B互质.2 .分式的运算及恒等变形有一些特殊题型,要用特殊方法解答方便.二、例题,一 八, x2 - 2x - 3 一.一 一 一 一,例1. x取什么值时,分式 x 2 2X 3的值是零?是正数是负数x

2、 2x解:x2 -2x -32x(x 1)(x-3)x(x 2) 0-1-23以零点一2, 1, 0, 3把全体实数分为五个区间,标在数轴上如上图当x= 1,x=3时分子是0,分母不等于0,这时分式的值是零；当x< 2, 1<x<0, x>3时,分式的值是正数;负因数的个数是偶数当一2<x<1, 0<x<3时,分式的值是负数;负因数的个数是奇数例2. m取什么值时,分式 2m+7的值是正整数?m 7朝 2m 7 2m-2 9 9斛：x4x - 2x 2x4当例3.计算+ x1x - 3x -1x39>2且m 1是9的约数时,分式的值是正整数

3、m -1即 m1=1, 3, 9, - 9解得 m=2,4,10, 8.答：略解：用带余除法得,原式=1 + + 1 +1 1 x 1 x -3 x-1 x 33(x -1)-3(x + 1) + (x+3) (x3)(x 1)(x -1)(x -3)(x 3)一6x2 -148222x -9 (x -1)(x-9)4.(a+b) : (b+c) : (c+a)=3 :4: 5 求 a ： b ： c_ a2 - abc bc解：设 a+b=3k,贝U b+c=4k,c+a=5k,全部相力口得 2 (a+b+c) =12k,即 a+b+c=6k,得 a=2k, b=k, c=3k分别减上列各式

4、. a： b ： c =2 ： 1 ： 3 a2 ab c bc(2k)2 -2k k2(3k)2 + kx 3k例5. 一个两位数除以它的两个数位上的数字和,要使商为最小值, 两位数；如果要使商为最大值呢解：设这个两位数为 10x+y,那么0vxW9,0WyW9求这个y取最小值0时,9xx y一 八,9x ,八一, ,y取最大值9时,分式9的值最小；当x yx取最大值9,9x ,八一分式的值最大.x y答：商为最小值日的两位数是19,商为最大值时的两位数是三、练习90.1 . a=时,分式aa 2的值是a -62 .2x -2y _z = 0' 那么分式、x +2y + z = 02

5、 x 2 x22一 y - z22y z3,假设x和分式妇2都是整数,那么x=x -14.直接写出结果： x 2 +=(x+ 1) 2 -x x2 1,1、(x + +2) - ( x+ ) =xxx111、(1H) (1 一 一 + -2)=x x x5.化简繁分式,并指出字母x取什么值时它没有意义.11+-1+x6. x取什么值时分式x2 -x -2的值是零是正数是负数?x -2 x -4 x 2x -3x -11 -x 1 x 1 x21 x42令 6x 7x 2py x2 2x1x 1023x 8x 4x2 -x -2x2 -48.解方程:x 9 x 10x 8 x 9 x 5 x 6

6、x3 2x2 x 1金工=2x-12x 2x 4x-b-c x-c-a+=3 (其中1 1+ +b c:0)9 .xy :yz : z x=3 ： 2 ： 1,求x : y :yzzxb -c c-a10 . awbwc且 =求证： ax+by+cz=0. x y y z z x11 .： =-= 求：(x+y) : z 的值z x y12 .由三个非零且相异的数字组成的三位数,除以这三个数字和, 其商的最小值是多少ax 3 ,a14. 一 m13 .在保证分母不等于 0的前提下,分式 b *5中的x不管取什么值分式 的值都不变,问 a和b之间的关系应满足什么条件求证：(a2+b2+c2) (m2+n2+p2)=(am+bn+cp)2练习题参考答案1. -22. 13. 2, 0, 6, - 4-1-1一一 14. 1十一 x+ 一2-3(x+ 一)x3xxQ 11-1 1 H十 -一(x+ -)x xx5 . x= 1, 2, 1.5 时没有意乂6 .仿例1,四个零点一3, 1, 2, 3把实数分为五个区间- 38 8 8x -'56x88x -37. 2 8-T(x2 -1)(x2 -9)1 -x8x 28. x= 7 *： - 19.